专题10 随机变量及其分布列9大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布列，汇集四川多地期末真题，覆盖9大高频考点，情境真实且层次分明 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |非选择题|11道解答题|离散型分布列、二项分布、正态分布等|结合乒乓球比赛、成都大运会等真实情境，注重分布列与期望方差综合应用，体现数学建模与数据分析素养，适配高考命题趋势|

专题10 随机变量及其分布列 9大高频考点概览 考点01 写出简单的离散型随机变量的分布列 考点06服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点02利用随机变量分布列的性质解题（常考题型） 考点07正态分布求指定区间的概率（重点题型） 考点03利用均值的性质判断选项是否正确（重点题型） 考点08正态分布的实际应用（重点题型） 考点04二项分布的分布列、均值和方差（高频题型） 考点09正态分布解答题综合 考点05二项分布中相关求解（重点题型） 地 城 考点01 写出简单的离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）小张和小李两位同学进行乒乓球比赛，比赛规则采用5局3胜制（有一方先胜3局即赢得比赛，比赛结束），如果每局比赛小张获胜的概率为，小李获胜的概率是，假设每局比赛结果互不影响. (1)求比赛进行4局且小张获胜的概率； (2)比赛结束时，小张和小李共进行了局比赛，求随机变量的分布列和数学期望. 3 4 5 2．（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 1 2 3 3．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 0 1 2 4．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 6 7 8 9 10 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）高2025届的学子们即将进入高三，为了更加科学高效地进行高考备考复习，避免低效的机械性刷题，某校高二数学备课组对该校高二学生每天的数学作业完成时长进行调研，他们在该校高二学生中随机选取了100人，调研结果如下表所示： 时长（分钟） 人数 10 15 35 30 10 (1)用表格中的频率估计概率，从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在40分钟内完成数学作业的概率； (2)从样本“完成数学作业的总时长在45分钟内”的学生中按分层抽样的方式选取5人，再从这5人中随机选取3人，有X人可以在40分钟内完成数学作业，求随机变量X的分布列和数学期望． 0 1 2 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. (1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? (2)求X的分布列及均值. X 0 1 2 3 P 7．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼项目情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为. (1)请将表格内容补充完整（写出计算过程）； (2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望； (3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率. 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 8．（24-25高二下·四川乐山·期末）某校篮球队举行投篮与传球训练： (1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; (2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 9．（24-25高二下·四川成都·期末）“十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率； (2)用表示成都蓉城队七月与队和B队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 0 1 2 3 4 6 10．（24-25高二下·四川成都·期末）某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动. (1)求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率； (2)用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望. 11．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 0 1 2 3 地 城 考点02 利用随机变量分布列的性质解题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 2．（24-25高二下·四川雅安·期末）若随机变量X的分布列为 X 2 3 4 p a b a 则X的数学期望（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a b a 则X的数学期望（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高二下·四川南充·期末）若离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（    ） A． B．或 C． D． 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知离散型随机变量的分布列为表格所示，则随机变量的均值为 0 1 2 3 A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 7．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则___ 8．（24-25高二下·四川广元·期末）随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 则________． 地 城 考点03 利用均值的性质判断选项是否正确 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知命题：随机变量的方差，则：命题：已知两个不同平面的法向量分别为，若，则．则下列命题中的真命题是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·四川攀枝花·期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·四川乐山·期末）设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 二项分布的分布列、均值和方差 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 0 1 2 3 2．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 0 1 2 3 4 3．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线加工的次品率分别为，生产出来的零件混放在一起，已知生产线加工的零件数分别占总数的. (1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入法） (3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一责任人奖励10元，用表示该责任人由3个零件获得的金额，求的期望及方差. 4．（24-25高二下·四川广元·期末）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (3)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． X 0 1 2 3 4 P 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． X 0 1 2 3 P 6．（24-25高二下·四川成都·期末）某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20岁到34岁之间的会员” 为 1 号会员，占比 20%， “年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比 ，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会员，占比 ，现对会员进行水果质量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 . (1)随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率; (2)从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 ，求 的 分布列和数学期望. 0 1 2 7．（24-25高二下·四川成都·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 0 1 2 8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某校计划从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“中学数学建模”比赛，经过层层选拔，甲、乙两个班级最后进入决赛．规定通过回答1道题目作为最后参赛的依据．现每个班级出4名选手，再从4名选手中各随机抽取2人回答这个题目．已知甲班的4人中有3人可以正确回答这道题目，乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班每个人对题目的回答都是相互独立、互不影响的． (1)分别从甲、乙两个班级的选手中抽取2人，求这4人都能正确回答的概率； (2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望，. 地 城 考点05 二项分布中相关求解 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（多选）（24-25高二下·四川南充·期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（    ） A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D．若，则 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，则______. 5．（24-25高二下·四川达州·期末）已知，，，则______. 6．（24-25高二下·四川宜宾·期末）若随机变量，且，则_________． 7．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知随机变量，则_________． 8．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知随机变量，若，则____________． 地 城 考点06 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品. (1)现有5瓶水果罐头，已知其中3瓶为优级品，2瓶为一级品. （ⅰ）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这5瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出5瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率不小于，求的最小值. 2 3 4 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当最大时求k的值． X 0 1 2 3 P 地 城 考点07 正态分布求指定区间的概率 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 2．（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 4．（24-25高二下·四川达州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.976 B．0.024 C．0.012 D．0.988 5．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 正态分布的实际应用 1．（24-25高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（   ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，，. A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（    ）． A．400 B．600 C．800 D．1200 6．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某校在一次期末中有600人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的，则此次期末中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（    ） A．480 B．240 C．120 D．60 7．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 8．（多选）（24-25高二下·四川资阳·期末）已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（   ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为 B．已知优秀率为，则 C．越大，的值越小. D．越小，评分在的概率越大 地 城 考点09 正态分布解答题综合 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为． （Ⅰ）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （Ⅱ）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取个，求身高位于区间内的人数不超过个的概率； （Ⅲ）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求． 参考数据：若，则，，． 2．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？ (3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）． 附：，，. 3．（2025·四川攀枝花·三模）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率. (I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值. (II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望； (Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由. 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 4．（2025·四川广元·三模）质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 ②若，则，． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机变量及其分布列 9大高频考点概览 考点01 写出简单的离散型随机变量的分布列 考点06服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点02利用随机变量分布列的性质解题（常考题型） 考点07正态分布求指定区间的概率（重点题型） 考点03利用均值的性质判断选项是否正确（重点题型） 考点08正态分布的实际应用（重点题型） 考点04二项分布的分布列、均值和方差（高频题型） 考点09正态分布解答题综合 考点05二项分布中相关求解（重点题型） 地 城 考点01 写出简单的离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）小张和小李两位同学进行乒乓球比赛，比赛规则采用5局3胜制（有一方先胜3局即赢得比赛，比赛结束），如果每局比赛小张获胜的概率为，小李获胜的概率是，假设每局比赛结果互不影响. (1)求比赛进行4局且小张获胜的概率； (2)比赛结束时，小张和小李共进行了局比赛，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析, 【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率列式计算即可. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）比赛进行4局且小张获胜，即：前三局中，小张获胜两局，小李获胜一局，且第4局小张获胜， 所以所求的概率是：. （2）依题意，的所有可能取值分别是3，4，5 ， ， ， 所以的分布列为 3 4 5 . 2．（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进而可列出的分布列，从而求得期望和方差.. （2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率. 【详解】（1）根据题意. ； ； . 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望. 所以的方差. （2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”， 则，，，两两互斥，. 由（1）知，.又. 所以. 同理，. . 由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率. 3．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据题设分析得表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，即可得； （2）由题意，结合对应事件求出对应的概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分， 要使第2轮甲投篮，则第1轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积1分， 所以要使第2轮甲积2分，则甲必投中，故； （2）由题设， 当，第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮且投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮且投中，则， 当，第1轮甲投篮且投中，第2轮甲投篮未投中，或第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮未投中， 则， 当，第1、2轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮且投中， 则， 综上，的分布列如下， 0 1 2 . 4．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)均值为，方差为 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【详解】（1）的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）高2025届的学子们即将进入高三，为了更加科学高效地进行高考备考复习，避免低效的机械性刷题，某校高二数学备课组对该校高二学生每天的数学作业完成时长进行调研，他们在该校高二学生中随机选取了100人，调研结果如下表所示： 时长（分钟） 人数 10 15 35 30 10 (1)用表格中的频率估计概率，从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在40分钟内完成数学作业的概率； (2)从样本“完成数学作业的总时长在45分钟内”的学生中按分层抽样的方式选取5人，再从这5人中随机选取3人，有X人可以在40分钟内完成数学作业，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据表中的数据，求出在40分钟内完成数学作业的频率，从而可得答案； （2）由分层抽样的定义可求出和分钟内完成数学作业所抽取的人数，由题意可得的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望． 【详解】（1）由表中的数据可知，随机选取的100人中，可以在40分钟内完成数学作业的有10人， 所以从该校高二学生中随机选取1人，该生可以在40分钟内完成数学作业的概率为 ； （2）由题意可知，按照分层抽样方式选取5人，其中分钟内完成数学作业的人数为人， 分钟内完成数学作业的人数为人， 则的可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. (1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? (2)求X的分布列及均值. 【答案】(1)31 (2)分布列见解析， 【分析】（1）分高二年级有2名，3名，4名同学入学校队可求总的方法数； （2）随机变量X的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式可求分布列与数学期望. 【详解】（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况： 高二年级仅2名同学入选校队有种； 高二年级仅3名同学入选校队有种； 高二年级4名同学入选校队有种； 高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法． （2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3， 校队由0个女生4个男生组成时，， 校队由1个女生3个男生组成时，， 校队由2个女生2个男生组成时，， 校队由3个女生1个男生组成时，， 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的均值为：． 7．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼项目情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为. (1)请将表格内容补充完整（写出计算过程）； (2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求的分布列和数学期望； (3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率. 【答案】(1)表格见解析； (2)分布列见解析，期望； (3) 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望. （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）设事件C为“甲上午选择羽毛球”，事件为“甲下午选择羽毛球”， 设甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 （2）依题意，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值，则的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 所以． （3）记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】结论点睛：求有两种方法：基于样本空间Ω，求出，则；以A为样本空间，求出A，AB包含的样本点数，则. 8．（24-25高二下·四川乐山·期末）某校篮球队举行投篮与传球训练： (1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; (2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意写出所有可能的取值，分别求出概率，列出分布列，进而求出数学期望； （2）传了次球后，球在甲手上的概率，则当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，由条件确定和的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】（1）根据题意可知，的可能取值为， 由题意可知，， ，， ， 所以的分布列为 所以. （2）由题意传了次球后，球在甲手上的概率， 则，， 当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，球不在甲手上的概率为， 则，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 9．（24-25高二下·四川成都·期末）“十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率； (2)用表示成都蓉城队七月与队和B队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）由题意可知，成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分包括3种情况，且每种情况之间是互斥事件，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望． 【详解】（1）设事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为3分”， 事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为1分”， 事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为0分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为3分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为1分”， 事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为0分”， 事件“成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”． 则． 所以成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为． （2）由题意可知的所有可能取值为， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以的期望 10．（24-25高二下·四川成都·期末）某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动. (1)求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率； (2)用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，所求概率； （2）由题意可取， 则， ， ， 则的分布列如下： 所以. 11．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可； （2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可. 【详解】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. （2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 地 城 考点02 利用随机变量分布列的性质解题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川雅安·期末）若随机变量X的分布列为 X 2 3 4 p a b a 则X的数学期望（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，结合期望公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 由期望公式，可得． 故选：． 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a b a 则X的数学期望（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由期望公式可知，而总体的概率，即可求得 【详解】由 ∴，而 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值 4．（24-25高二下·四川南充·期末）若离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由离散型随机变量的分布列，列出方程组，能求出实数，由此能求出的数学期望. 【详解】解：由离散型随机变量的分布列，知： ，解得， ∴的数学期望. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，是基础题. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知离散型随机变量的分布列为表格所示，则随机变量的均值为 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用离散型随机变量分布列的性质求得到，进而得到随机变量的均值 详解：由已知得，解得： ∴E（X）= 故选C 点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的基本性质，是基础题. 6．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【分析】由数学期望的性质即可求解． 【详解】， 故选：C． 7．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则___ 【答案】 【分析】根分布列的性质求出、，从而求出，再根据方差的性质求出，即可求出. 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 8．（24-25高二下·四川广元·期末）随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 则________． 【答案】1 【分析】计算，然后根据期望的性质可得. 【详解】由题可知：， 所以. 故答案为：1 地 城 考点03 利用均值的性质判断选项是否正确 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知命题：随机变量的方差，则：命题：已知两个不同平面的法向量分别为，若，则．则下列命题中的真命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的性质和面面垂直的向量证明可知命题的真假性，根据含逻辑联结词的命题真假性的判断方法可得到结果. 【详解】命题：，则命题为假命题； 命题：由可得，，则命题为真命题； 对于A，为假命题，A错误； 对于B，为假命题，为假命题，B错误； 对于C，为真命题，为真命题，C正确； 对于D，为假命题，为假命题，D错误. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二下·四川攀枝花·期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用期望、方差的定义计算判断AD；利用期望、方差的性质计算判断CD. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 3．（多选）（24-25高二下·四川乐山·期末）设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，将代入即可判断A；根据二项分布的期望公式和方差公式即可判断BC；根据期望的性质即可判断D. 【详解】因为离散型随机变量满足， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 地 城 考点04 二项分布的分布列、均值和方差 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)事件不相互独立， (2)分布列见解析，1 【分析】（1）计算，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立，利用条件概率公式求，最后利用对立事件即可求解； （2）先求，进而得，利用独立重复试验以及二项分布的数学期望即可求解. 【详解】（1）有序数对共有36种可能结果，其中事件“为偶数”共有18种可能结果，即， 事件，共10种可能结果，， 事件，共6种可能结果，即， 故，则事件不相互独立， 所以， ∴； （2）事件发生的概率为： （或者）， ∴， 所以， ， 的概率分布列为： 0 1 2 3 ， ∴的均值． 2．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【详解】（1）已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有件， 混合后的合格率为，解得. （2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布， 则， 可得， ， ， ， ， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，， 3．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线加工的次品率分别为，生产出来的零件混放在一起，已知生产线加工的零件数分别占总数的. (1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入法） (3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一责任人奖励10元，用表示该责任人由3个零件获得的金额，求的期望及方差. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）由全概率公式计算求解即可； （2）利用贝叶斯公式计算即可； （3）设3个零件中的次品数为，则服从二项分布，再根据题意可得与的关系式，利用二项分布的期望和方差公式结合其性质计算即可. 【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，分别表示“零件为生产线加工”， 由题设，. 由全概率公式， （2）由题意，所求概率为 . （3）设3个零件中的次品数为，则. 因为， 所以， . 4．（24-25高二下·四川广元·期末）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (3)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． 【答案】(1) (2)； (3)分布列见解析，， 【分析】（1）利用概率乘法公式与加法公式计算即可得； （2）利用概率概率乘法公式与条件概率公式计算即可得； （3）得出随机变量X的可能取值后，结合二项分布的性质可得其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布的均值与方差公式即可得其均值和方差. 【详解】（1）设事件{A老师审核通过}，事件{B老师审核通过}，事件{C老师审核通过}， 事件{征文通过筛选}，事件{征文经过复审}， 则，，， ， 所以，每篇征文通过筛选的概率为； （2）， 因此， 已知某篇征文通过筛选，则它经过了复审的概率为； （3）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， 则，， ， ， ， ， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 故，. 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【详解】（1）设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}， 则，，， ，因此， 所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为． （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望为． 6．（24-25高二下·四川成都·期末）某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20岁到34岁之间的会员” 为 1 号会员，占比 20%， “年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比 ，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会员，占比 ，现对会员进行水果质量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 号会员对水果质量满意的概率为 . (1)随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率; (2)从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 ，求 的 分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解； （2）由题意知，利用二项分布求出对应的概率，列出的分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）设事件：随机选取1名会员，其对水果质量满意. 则； （2）的可能取值为，则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 7．（24-25高二下·四川成都·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)0.3 【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可； （2）根据分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据题意分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 因为，解得. （2）由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 可知可取0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的期望为. （3）因为高度在的频率为0.1， 用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1， 由题意可知：，所以. 8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某校计划从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“中学数学建模”比赛，经过层层选拔，甲、乙两个班级最后进入决赛．规定通过回答1道题目作为最后参赛的依据．现每个班级出4名选手，再从4名选手中各随机抽取2人回答这个题目．已知甲班的4人中有3人可以正确回答这道题目，乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班每个人对题目的回答都是相互独立、互不影响的． (1)分别从甲、乙两个班级的选手中抽取2人，求这4人都能正确回答的概率； (2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式结合题意求解即可， （2）由题意可得的可能取值为1，2，利用超几何分布的概率公式可求出相应的概率，从而可求出，的可能取值为0，1，2，利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得分别从甲、乙两个班级的选手中抽取2人，这4人都能正确回答的概率为 （2）由题意可得的可能取值为1，2，则 ，， 所以， 由题意可知的可能取值为0，1，2， 因为乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，所以， 所以. 地 城 考点05 二项分布中相关求解 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式求出. 【详解】随机变量，所以. 故选：C 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）若随机变量服从二项分布且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式结合，求得，利用二项分布的期望公式和性质求解. 【详解】由，解得， 又，， 所以. 故选：C. 3．（多选）（24-25高二下·四川南充·期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（    ） A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，根据超几何分布的定义判断，对于B，根据二项分布的定义判断，对于C，根据二项分布的概率公式求解判断，对于D，根据二项分布的期望公式求出，进而可求出. 【详解】对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为， 所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量服从二项分布，所以A错误，B正确， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确， 故选：BD 4．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，则______. 【答案】 【分析】由二项分布方差公式直接可求. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川达州·期末）已知，，，则______. 【答案】 【分析】先根据二项分布的期望公式求出n，然后利用二项分布的方差公式求出，进而利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又，所以 . 故答案为： 6．（24-25高二下·四川宜宾·期末）若随机变量，且，则_________． 【答案】 【分析】利用二项分布的均值公式计算即得. 【详解】因，由可得，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知随机变量，则_________． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量， 所以，解得. 故答案为：. 8．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知随机变量，若，则____________． 【答案】/ 【分析】利用正态曲线的对称性可求得结果. 【详解】由题意， ∵，且随机变量， ∴对称轴为，到和的距离相等， ∴， 故答案为：. 地 城 考点06 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 2．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解. 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品. (1)现有5瓶水果罐头，已知其中3瓶为优级品，2瓶为一级品. （ⅰ）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这5瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出5瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据古典概型概率计算公式，求出事件概率. （ii）根据不同的检验顺序，分析所有可能的情况，再根据分步乘法计数原理，求出事件概率，写出分布列，计算期望. （2）根据二项分布的概率公式，计算至少有3次抽到优级品的概率，列出不等式，求出参数范围，写出最小值. 【详解】（1）（i）5瓶水果罐头，其中3瓶为优级品，2瓶为一级品，抽出一瓶优级品后，还剩2瓶优级品，2瓶一级品，再抽一级品的概率为； （ii）的所有可能取值为：2，3，4， 当时，即最先抽出两个一级品，则. 当时，分为最先抽出三个优级品，和先抽一个优级品一个一级品，第三个抽一级品两种情况， 则. 当时，前三个为两个优级品一个一级品，第四个为一级品，和第四个为优级品两种情况， 则. 的分布列为： 2 3 4 . （2）记在5次独立重复抽检中，至少有3次抽到优级品的概率为，其中； 则. ； 在单调递增. 又，则. 的最小值为. 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当最大时求k的值． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)k＝2 【分析】（1）由频率和为1，可求，进而可求（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数，利用超几何分布可求得X的分布列，利用期望公式可求数学期望； （2）由（1）可知参加公益劳动时间在（10，12]的概率P＝0.2，可得，进而可得k＝2时，最大. 【详解】（1）由频率分布直方图得： 2（0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01）＝1，解得a＝0.10； 这600名学生中参加公益劳动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：600×0.10＝60人， 600×0.08＝48人，600×0.02＝12人 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在[14，16]内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则其期望为； （2）由（1）可知参加公益劳动时间在（10，12]的概率P＝0.1×2＝0.2， 所以， 依题意，即，解得， 因为k为非负整数，所以k＝2， 即当最大时，k＝2. 地 城 考点07 正态分布求指定区间的概率 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为，， 所以 . 故选：D. 2．（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质可求概率. 【详解】根据题意，随机变量，且， 则则. 故选：A 4．（24-25高二下·四川达州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.976 B．0.024 C．0.012 D．0.988 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布，且， 则，所以，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解即得. 【详解】由随机变量服从正态分布，得，而， 则， 所以. 故选：D 地 城 考点08 正态分布的实际应用 1．（24-25高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【答案】B 【分析】分析可知：，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（   ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，利用正态分布的对称性得出，即可求解. 【详解】由题知，，所以， 得到，所以，得到学生甲的名次大致是. 故选：B. 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，，. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出、的值，结合原则可求得的值，乘以可得结果. 【详解】因为，，则，， 则 ， 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个. 故选：A. 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（    ）． A．400 B．600 C．800 D．1200 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在90分到120分的概率，即可求解作答. 【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为， 由，得， 所以此次数学考试成绩在90分到120分之间的人数约为. 故选：D 6．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某校在一次期末中有600人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的，则此次期末中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（    ） A．480 B．240 C．120 D．60 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求出分数不低于110分的人数的概率后可求得人数． 【详解】因为，所以， 人数为． 故选：C． 【点睛】本题考查正态分布的性质．掌握正态分布曲线的对称性是解题关键． 7．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC 8．（多选）（24-25高二下·四川资阳·期末）已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C正确； 对于D：对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（   ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为 B．已知优秀率为，则 C．越大，的值越小. D．越小，评分在的概率越大 【答案】ABD 【分析】利用正态分布的图象及性质即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由题意可知，，有对称性可知，，故A正确； 对于B，由题意可知，， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以， 不会随的变化而变化，故C错误； 对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”， 因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大， 故D正确； 故选：ABD. 地 城 考点09 正态分布解答题综合 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为． （Ⅰ）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （Ⅱ）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取个，求身高位于区间内的人数不超过个的概率； （Ⅲ）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求． 参考数据：若，则，，． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】（Ⅰ）根据已知条件求出各组的频率，再由平均数和方差的公式即可求解； （Ⅱ）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为，利用二项分别概率公式即可求解； （Ⅲ）分别求出和的值，结合正态分布概率的对称性即可求概率. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：第三组的频率为， 第五组的频率为， 第二组的频率为， 所以五组的频率分别为：， 所以， （Ⅱ）从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为 ， 则随机抽个人，身高位于区间内不超过个的概率为 ， （Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，， 所以 ， 所以. 2．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？ (3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）． 附：，，. 【答案】(1) (2)85 (3)23 【分析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得； （2）先根据矩形面积之和判断达到等级的最低分数为x所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9可得； （3）由题知，所以由可得. 【详解】（1）由 得 （2）由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生. 因为， 记达到等级的最低分数为x，则， 则由，解得 所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上. （3）由题知， 因为 所以 故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人. 3．（2025·四川攀枝花·三模）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率. (I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值. (II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望； (Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由. 【答案】(I) 见解析;（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 见解析. 【详解】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用面积相等求出a、b、c的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高在的概率，再利用二项分布写出的分布列和数学期望. (Ⅲ)先分别计算出和，再看是否满足且,给出判断. 详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15. 记为学生的身高，结合图1可得: ， , , 又由于组距为0.1,所以， （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率， 可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在的概率 . 因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量服从二项分布， 故的分布列为: 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （或 (Ⅲ)由，取 由（Ⅱ）可知，, 又结合(I)，可得: ， 所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的. 点睛：(1)本题不难，但是题目的设计比较新颖，有的同学可能不能适应. 遇到这样的问题, 首先是认真审题，理解题意，再解答就容易了. (2)在本题的解答过程中，要灵活利用 频率分布图计算概率. 4．（2025·四川广元·三模）质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）； (2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 ②若，则，． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为，即小矩形的面积为计算的值，根据图象判断乙的分布比较集中，方差小，甲波动大，方差大； （2）根据频率分布直方图分布计算甲和乙两种食用油质量指标小于等于的频率，和大于的频率，将所求事件分为两种情况求概率； （3）所求事件的概率为 ， ，根据二项分布求期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得； 记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，， 由频率分布直方图可得. （2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于， 事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于， 事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于， 则，， ∴ （3）计算得：， ，由条件得， 从而， ∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是， 根据题意得， ∴. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $