精品解析：山东省临沂市临沭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度下学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，在中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（ ） A. 变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B. 变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C. 变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D. 变量是的函数，摩天轮的直径是70米 7. 如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用y（单位：元）与购买的数量x（单位：千克）之间的函数图象．由图象可知，购买商品单价最低的商店是（ ） A ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. ， B. y随的增大而减小 C. 当时， D. 方程的解是 9. 如图，点为平行四边形对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 化简：___________． 12. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，为研究出高产水稻付出了毕生心血，他培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某农科所为了解A，B两种杂交水稻苗的稳定情况，在A，B两个品种中各随机抽取了8个样本进行了统计分析，统计结果（千粒质量：g）如下表所示： 样本 1 2 3 4 5 6 7 8 A品种 44.6 45.3 45.3 44.2 44.4 45.7 44.7 45.8 B品种 42.5 45.2 45.5 43.1 45.4 46.8 44.6 46.9 根据统计表，A，B两个品种中，产量较为稳定的是 _________品种． 13. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为__________． 14. 一名考生步行前往考场，5分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达考场一共用了 __________分钟． 15. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以，为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形，…、正方形使得点、、...均在直线l上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的坐标是__________． 三、解答题：（本题共7小题，共72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19. 如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 20. 如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，，求的长． 21. 列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： （1）求，的值，并补全表格； （2）结合表格，函数与的交点坐标是 ，当的图象在的图象上方时，的取值范围是 ． 22. 项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品的信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： （1）设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； （2）设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； （3）若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 23 综合与实践 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明； 深度探究： （2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． ①当时，可以求出的长度．请写出解答过程； ②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度下学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 则的值可以是6 故选：D． 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，正确理解最长边等于较短两边的平方和，则最长边为斜边是解题的关键． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 4. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 5. 如图，在中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=70°，由余角的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=70°， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE=90°-∠D=20°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得∠D的度数． 6. 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（ ） A. 变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B. 变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C. 变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D. 变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 7. 如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用y（单位：元）与购买的数量x（单位：千克）之间的函数图象．由图象可知，购买商品单价最低的商店是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题函数图像，灵活运用数形结合的思想是解题的关键，令购买数量相同，即可解答． 【详解】解：如图， 当购买的数量为a时，即时，直线与④的交点最低， 购买商品单价最低的商店是④， 故选：D． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A. ， B. y随的增大而减小 C. 当时， D. 方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与x轴交点，函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：由图象可得： A、，故A选项错误，不符合题意； B、y随x增大而增大，故B选项错误，不符合题意； C、当时，，故C选项错误，不符合题意； D、一次函数与x轴的交点为，即方程的解是，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解题的关键．如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，进而得到；再说明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 化简：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质“”进行计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，为研究出高产水稻付出了毕生心血，他培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某农科所为了解A，B两种杂交水稻苗的稳定情况，在A，B两个品种中各随机抽取了8个样本进行了统计分析，统计结果（千粒质量：g）如下表所示： 样本 1 2 3 4 5 6 7 8 A品种 44.6 45.3 45.3 44.2 44.4 45.7 44.7 45.8 B品种 42.5 45.2 45.5 43.1 45.4 46.8 44.6 46.9 根据统计表，A，B两个品种中，产量较为稳定的是 _________品种． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，先求出二者的平均数，再求出二者的方差，根据方差越小越稳定即可得到答案． 【详解】解：A产品的平均数为， B产品的平均数为， A产品的方差为： ； B产品的方差为： ； ∵， ∴产量较为稳定是A品种， 故答案为：A． 13. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．根据“”可得到，由勾股定理可得到b的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴b的面积的面积的面积． 故答案为14． 14. 一名考生步行前往考场，5分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达考场一共用了 __________分钟． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了函数图象问题，先求出步行的速度，从而可得一直步行到达考场所需时间，再求出出租车的速度，从而可得他到达考场所花的时间，由此即可得． 【详解】解：一直步行到达考场所需时间为（分钟）， 他到达考场所花的时间为（分钟）， 故答案为：10． 15. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 【答案】 ①. 40 ②. 30或150##150或30 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角： （1）如图所示，过点A作于E，由平行四边形面积计算公式可得，则当最大时，的面积的最大，再由，即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，进而解直角三角形得到，再分当点E在上时，当点E在延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，的面积的最大， ∵， ∴的面积的最大值为， 故答案为：； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在上时，，当点E在延长线上时，． 故答案为：30或150． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以，为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形，…、正方形使得点、、...均在直线l上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点的坐标，同理可得出、…的坐标，、、、、…的坐标，进而得到、…的横、纵坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理，可得出：，…，、、、，…， ∴的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， ∴的纵坐标为3，的纵坐标为7，的纵坐标为15，的纵坐标为31，…， ∴的横坐标为（n为正整数），的纵坐标为（n为正整数）， ∴点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题，共72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简各数，然后先算乘法，再算加减法即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘除法计算法则先算乘方和乘除，然后再算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 19. 如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， 由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 20. 如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再证是等腰直角三角形，根据勾股定理得，进而求出，即可得到结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质与平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 21. 列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： （1）求，的值，并补全表格； （2）结合表格，函数与的交点坐标是 ，当的图象在的图象上方时，的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴正比例函数为：， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 【小问2详解】 解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为． 22. 项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： （1）设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； （2）设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； （3）若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 【答案】（1）； （2） （3）最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元 【解析】 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，列代数式，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）根据每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，即可求出运往C地的商品数；由运往C地的总费用与运往A地总费用相同，即可得到y与x之间的数量关系； （2）根据题意将运往A，B，C三地的总费用相加即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式，结合（2）中总费用关系式，利用一次函数的性质即可得． 【小问1详解】 解：根据题意得：运往C地的商品为件， 运往C地的总费用与运往A地总费用相同， ，即 y与x之间的数量关系为：； 【小问2详解】 解：运往A地的总费用为：， 运往B地的总费用为：， 运往C地的总费用为：， ； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 由（2）知总费用关系式为， ， 随的增大二增大， 当时，总费用有最小值，最小值为（元）， 答：最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明； 深度探究： （2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． ①当时，可以求出的长度．请写出解答过程； ②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①，过程见解析；②的周长不变，为定值12． 【解析】 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）①设，则，然后利用勾股定理求解即可； ②连接，，过点A作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）四边形正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）①设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴； ②的周长不变，为定值12．理由如下： 如图，连接，，过点A作于点M， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长 ， ∴的周长为12． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$