精品解析：广东省潮洲市2023-2024学年高二下学期教学质量检测数学试题

潮州市2023—2024学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回. 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 函数在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 2. 某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 01 0.3 0.1 0.1 则（　　）． A. 0.4 B. 1.2 C. 1.6 D. 2.8 4. 的展开式中的系数为（　　）． A 60 B. 120 C. 15 D. 30 5. 已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 6. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A. B. C. D. 7. 近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表： 1 2 3 4 5 12 15 19 24 30 由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人 A 36.5 B. 37 C. 35.2 D. 35.6 8. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ） A. 0.59 B. 0.41 C. 0.48 D. 0.64 （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 是的极小值，是的极大值 B. 是的极大值，是的极小值 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 10. 某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　） A. 被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 B. 被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 C. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法 11. 如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 13. 已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是________． 14. “杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________． 三、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在公差为3的等差数列中，，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 10 15 25 20 20 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角余弦值． 19. 已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． （1）求抛物线的方程； （2）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州市2023—2024学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回. 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 函数在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由，则，， 所以函数在处的切线斜率为， 故选：C 2. 某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩，试卷满分150分，统计结果显示，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 所以， 所以． 故选：B 3. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.1 0.1 则（　　）． A. 0.4 B. 1.2 C. 1.6 D. 2.8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率之和等于1，求得，再结合期望的公式求出． 【详解】依题意可得， 所以． 故选：D. 4. 的展开式中的系数为（　　）． A 60 B. 120 C. 15 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为：（且）， 故该展开式中的系数为． 故选：A 5. 已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导根据函数的单调性得，分离常数，结合令在单调递增，解出答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即，得在上恒成立， 令，易得在单调递增， 所以，即，所以． 故选：B. 6. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等边三角形性质与离心率定义计算即可得. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 因为，所以椭圆的离心率为． 故选：A. 7. 近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表： 1 2 3 4 5 12 15 19 24 30 由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人 A. 36.5 B. 37 C. 35.2 D. 35.6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，然后代入回归方程可求出，再将代入回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，，代入，得，解得， 所以关于的回归直线方程为， 当时，． 故选：D 8. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ） A. 0.59 B. 0.41 C. 0.48 D. 0.64 【答案】A 【解析】 分析】 【详解】设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”， R＝“第二次取出的球是红球”， 则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝， P(R|B)＝， P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝×＋×＝0.59. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 是的极小值，是的极大值 B. 是的极大值，是的极小值 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断. 【详解】由图知，，， 当时，；当时，； 当时，；当时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，． 故选：BD 10. 某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　） A. 被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 B. 被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 C. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D. 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出从9人中任意选4人，共种，再分别求出被选中的4人中恰有1名高一学生和被选中的4人中恰有1名高二学生的方法数，利用古典概率的求法，可判断选项A、B；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，分甲和乙都不入选，和甲乙恰有1人入选两种情况求解，判断C、D. 【详解】被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，A正确； 被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，B错误； 如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选， 包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种； 第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法， 则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选， 共有种选法，C正确，D错误． 故选：AC 11. 如图、在长方体中，，，，，分别是，，的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明平面平面，即可判断A；证明平面，即可判断B；根据棱锥的体积公式结合等体积法，判断C；确定点的轨迹是平面与平面的交线，即直线，利用等面积法求得最小值，即可判断D. 【详解】对于A，连结，．，分别是，的中点．则， 平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，∴平面平面， 又∵平面，∴平面，∴A正确； 对于B，由题意知四边形为正方形，则， 又平面，平面， 故，平面， ∴平面． 又∵平面，∴，故B选项正确； 对于C，，∴C选项是正确的； 对于D，因为平面，而平面平面，且点在平面内， 则点的轨迹是平面与平面的交线，即直线， 所以的最小值在时取到． 此时在中，，，，上的高为， ∵，∴，故D错误． 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是选项D的判断，解答时要能根据题意确定轨迹形状，进而利用等面积法求解. 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先算2名老师都不站在两端的站法；再算站3名学生的站法，结合分步乘法计数原理解得答案. 【详解】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法， 故不同的站法共有种． 故答案为：. 13. 已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，利用曲线存在与直线垂直的切线，可得成立，即可确定实数的取值范围． 【详解】，∴， ∵曲线存在与直线垂直的切线， ∴有解，∴， 故实数的取值范围是． 故答案为： 14. “杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用二项式系数，得，再进行组合数计算即可.利用裂项相消求得前项和. 【详解】由题意知，． 故答案为：，. 三、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在公差为3的等差数列中，，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式； （2）根据分组求和法可求的前项和． 【小问1详解】 ∵等差数列满足，公差为3， 所以， 所以 ， 则 ， ∴数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴ 所以⋯ ， 所以 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，最小值为 17. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 10 15 25 20 20 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关 （2）分布列见解析，期望值为2.5分 【解析】 【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论； （2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可. 【小问1详解】 优秀 非优秀 合计 男 10 40 50 女 15 35 50 合计 25 75 100 假设: 此次竞赛成绩与性别无关. , 所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 【小问2详解】 p, P(X=0)= P(X=5)=, P(X=10)=, X的分布列为： X 0 5 10 P 期望值E(X)=5×+10×=2.5（分） 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点，使，连结、，先证四边形为平行四边形，所以，从而可得平面； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】 在线段上取一点，使，连结、， 在中，因为，，所以， 所以且， 因为，，且， 所以，且， 所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 因为底面是正三角形，，所以点，点， 点，点，点， 因为，所以点， 则，，， 设平面的一个法向量为． 由，令， 得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为⋅ 19. 已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． （1）求抛物线的方程； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用两点间的距离公式列方程可求出，从而可求出抛物线的方程； （2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围. 【小问1详解】 焦点，，由焦点到点的距离为， 得，解得 所以抛物线方程为． 【小问2详解】 如图所示，显然，直线的斜率不为0， 设直线的方程为：，，， 联立方程组，消去得, 所以，，且（*）, 所以线段的中点的纵坐标为, 因为点在直线上，所以，所以, 因为，，所以， 即, 将，代入上式，所以, 代入（*）得，化简得，所以, 点到的距离, , 所以, 将代入上式，得, 因为 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积问题，解题的关键是设出直线方程代入抛物线方程化简结合根与系数的关系和中点坐标公式表示出点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$