精品解析：浙江省宁波市海曙区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期七年级数学学科期末试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列变形是因式分解是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　) A B. C. D. 7. 如图，，点在上，，的延长线交的延长线于点，则图中与相等的角（不含）共有（ ） A 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 8. 在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就座.设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意，下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 9. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 长方形 D. 长方形 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ________． 12. 从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样等式_____________ 13. 若是一个完全平方式，则n的值是 _______ 14. 若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为____________________ 15. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为________ 16. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 三．解答题（第17-22题各6分，第23-24题各8分，共52分） 17. （1）计算： （2）化简：． 18. 分解因式： （1） （2） 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 21. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度； （3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？ 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24. 在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期七年级数学学科期末试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，计算正确； C.，原式错误； D.，原式错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 3. 宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“30万”用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A选项，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； B选项，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； C选项，是整式的乘法，故本选项不符合题意； D选项，符合“把一个多项式转化成几个整式积的形式”，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 5. 光线在不同介质中传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 6. 已知是二元一次方程组解，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴ 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 7. 如图，，点在上，，的延长线交的延长线于点，则图中与相等的角（不含）共有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠AGE=∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP，即可得出答案． 【详解】∵AB∥EF, ∴∠AGE=∠GEF, ∠GBP=∠BPF ∵EF∥CD, ∴∠GEF=∠EHC, ∠PCD=∠EPC=∠BPF, ∵GE∥BC, ∴∠EHC=∠BCD, ∴∠AGE =∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP. 共6个角与∠AGE相等. 故选:B 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，以及等量代换等.主要考查学生的推理能力. 8. 在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就座.设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意，下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有嘉宾x名，共准备了y张桌子，根据“每桌坐12人，则空出3张桌子；每桌坐10人，则还有12人不能就坐”列出方程组即可. 【详解】设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意可得，. 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键. 9. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断． 【详解】解：①∵6＝1×6＝2×3， ∴F（6）＝，故本小题正确； ②∵16＝1×16＝2×8＝4×4， ∴F（16）＝＝1，故本小题正确； ③∵n2﹣n＝n（n﹣1）， ∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确； ④∵n是一个完全平方数， ∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小， ∴F（n）＝1，故本小题正确． 综上所述，说法正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键． 10. 已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 长方形 D. 长方形 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，，分别表示出，，，，由，计算得到，即可得到答案． 【详解】解：设，，，， 把长方形分割成四个小长方形， ，，，，， ，，，， ， ， 已知长方形的面积， 要求阴影部分的面积，还需知道长方形的面积， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，根据计算得到是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 12. 从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式_____________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法分解因式．运用公式法进行分解，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若是一个完全平方式，则n的值是 _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先利用完全平方公式把已知等式的左边展开，然后根据完全平方式的结构特征，列出关于，的方程，解方程即可． 【详解】解：，是一个完全平方式， ，， 解得：，， 故答案为：． 14. 若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为____________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．根据已知条件，利用换元法列出关于，的方程，解方程求出，即可． 【详解】解：关于，的方程组的解为， 关于，的方程组中，， 解得：，， 关于，的方程组的解为：， 故答案为：． 15. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为________ 【答案】74 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，根据题意正确列出代数式、掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得， ， ， 故答案为：74． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了根据方程的解的情况求参数，首先最简公分母为0，求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出的值． 【详解】解：当时，或， 原分式方程可化为：， 去分母，得， 整理得， 分式方程无解， ， ， 把或，分别代入， 得或， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 三．解答题（第17-22题各6分，第23-24题各8分，共52分） 17. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数及整式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． （1）先计算零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算减法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）提取公因式即可得出答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将方程组化简，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， ①②，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 方程组可化为， ②，得③， ①③，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 20. 先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， 时，原式． 21. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案； （2）设度，则，，根据平行线的性质得出，进而列出，求出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设度，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题关键． 22. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，A组所在扇形圆心角为 度； （3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？ 【答案】（1）50，画图见解析 （2）36 （3）估计全校取得优秀成绩的同学约有805名． 【解析】 【分析】此题考查了频数（率）分布直方图，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）根据组的人数除以占的百分比，求出本次调查的学生总数，进而求出组的学生数，补全条形统计图即可； （2）求出组占的百分比，乘以360求出组在所在扇形的圆心角度数即可； （3）根据样本中优秀的百分比，乘以1750估计出全校成绩优秀的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：（名）， 组学生为（名）， 补全条形统计图，如图所示： 故答案为：50； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度； 故答案为：36； 【小问3详解】 解：根据题意得：（名， 则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； （3）购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 24. 在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10；（4）2 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可； （4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积， ， ， ； （3）在直角中，，三边分别为、、， 由（1）（2）结论可知：， ，， ， ； （4），，周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ，，， ，， 长方形的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$