精品解析：山东省淄博市高青县2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题

2023—2024学年度第一学期期中复习测试题八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A. B. C. ∠ACP=∠B D. ∠APC=∠ACB 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 6. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（ ） A. 12.4 B. 12.5 C. 12.8 D. 16 8. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　) A. 4 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 9. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 10. 如图，在正方形中，F是边上的一点，连结并延长与的延长线相交于点E．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知，则__________． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 13. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 14. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高AB是______m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 17. 如图，四边形为平行四边形，E，F分别在，上，连接交于点O，且． （1）求证：； （2）若平分，证明：四边形为菱形． 18. 如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结． （1）求证：≌； （2）若，请求出的长． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 22. 阅读材料，回答问题： 观察下列各式 11； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 23. 综合与探究 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知在中，，P为上的动点，小亮拿含角的透明三角尺，使角的顶点落在点P，三角尺可绕P点旋转． 猜想证明： （1）如图a，当三角尺的两边分别交，于点E，F时，求证：； （2）将三角尺绕点P旋转到图b情形时，三角尺的两边分别交的延长线，边于点E，F．与还相似吗？（只需写出结论） 深入探究： （3）在（2）的条件下，连接，与是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，与相似？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第一学期期中复习测试题八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. B. C. 7 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为a，利用根与系数的关系得到关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：设另一根为a， 则， 解得：， 故选D． 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故选：A． 3. 如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A. B. C. ∠ACP=∠B D. ∠APC=∠ACB 【答案】B 【解析】 【分析】A．利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可; B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等; C．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可; D．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可． 【详解】解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC． B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等． C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC． D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似．注意:两边对应成比例必须夹角相等． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系内点的特点，根据题意求出菱形的边长是解题的关键． 根据点A、B的坐标，求出的长度，根据菱形的性质，得出，根据轴，即可得出点D的坐标． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为：， 故选：A． 5. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 【答案】A 【解析】 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 6. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由图可知，活动场所的面积可以看作长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可．正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设绿化带的宽度x米，由题意，得：； 故选：D． 7. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（ ） A. 12.4 B. 12.5 C. 12.8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长． 【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m， 由题意得∠ACB＝∠DCE， ∵∠ABC＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴，即， ∴DE＝12.8 即旗杆的高度为12.8m． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 8. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　) A. 4 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案． 【详解】连接BD，交AC于O点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5， ∴ ∴ ∵AC=6， ∴AO=3， ∴ ∴DB=8， ∴菱形ABCD的面积是 ∴BC⋅AE=24， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解决此题的关键是作合理辅助线以及运用等面积法． 9. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，F是边上的一点，连结并延长与的延长线相交于点E．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，由正方形的性质可得，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 据此得到，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为6的菱形，， ，是等边三角形， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为． 14. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高AB是______m． 【答案】9 【解析】 【分析】先统一单位，再根据有两角对应相等的两个三角形相似，可得，，进而求得，再根据，即可解决问题. 【详解】， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 故答案为9 【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∴，点P在线段上． ∵A点的坐标为， ∴，由勾股定理得：； 如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点， ∴点P是的中点， ∴点P的坐标为； 如图2所示，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的额混合运算，二次根式的性质，整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先根据平方差公式以及单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，然后将代入计算求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式 17. 如图，四边形为平行四边形，E，F分别在，上，连接交于点O，且． （1）求证：； （2）若平分，证明：四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， （AAS）； （2） 证明：， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，菱形的判定． （1）根据AAS证明是解题的关键； （2）证出，，得出四边形为平行四边形，证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结． （1）求证：≌； （2）若，请求出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴≌（）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，即可解答 （2）利用全等三角形的性质得出，即可解答 【详解】（1）略 （2）解：∵≌， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用正方形的性质进行求证 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 21. 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 【答案】（1） 证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 22. 阅读材料，回答问题： 观察下列各式 11； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）类比所给三个等式即可解答； （2）根据所给等式得出规律，即可求解； （3）根据规律分别计算出1，，， ， ，然后计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵11； ； ． ， 得出规律： , 即； （3） ． 【点睛】本题主要考查了实数运算相关的规律，解题的关键是根据题意得出这一规律． 23. 综合与探究 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知在中，，P为上的动点，小亮拿含角的透明三角尺，使角的顶点落在点P，三角尺可绕P点旋转． 猜想证明： （1）如图a，当三角尺的两边分别交，于点E，F时，求证：； （2）将三角尺绕点P旋转到图b情形时，三角尺的两边分别交的延长线，边于点E，F．与还相似吗？（只需写出结论） 深入探究： （3）在（2）的条件下，连接，与是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，与相似？说明理由． 【答案】 （1）证明：在中， ， ， ， ， ， ， 又， ， （2）； （3）在（2）的条件下与不相似．当动点P运动到中点位置时，与相似， 证明：同（1），可得， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）找出与的对应角，其中，，得出，从而解决问题； （2）利用（1）小题证明方法可证：； （3）动点运动到中点位置时，与相似，同（1），可证，得 ，而CP=BP，因此 ，进而求出，与相似． 【详解】（1）略． （2）； 理由：∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $