精品解析：山东省潍坊市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 2024.7 本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】由得，，所以. 故选：A. 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正四棱台的体积，再利用，且四棱柱的底面是边长为4的正方形，求解即可． 【详解】因为正四棱台下底面边长是上底面边长的倍， 所以令正四棱台的下底面边长为，上底面边长为， 所以， 由题意可得：，且四棱柱的底面是边长为的正方形， 设四棱柱中水的高度为， 所以，解得，即四棱柱中水的高度为． 故选：B． 5. 已知，，且在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：， 又，，则， 所以. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 7. 如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，分别用含的式子表示出和，再结合已知条件，列方程求解即可． 【详解】在中，，所以， 在中，，所以， 因为，两点间距离为， 所以，解得． 故选：C． 8. 在中，，，，（），则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于的函数，利用函数的观点即可求最小值. 【详解】因为 所以 又因为，，， 所以 所以 当时，，即， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（）的实部为，则（ ） A. 复数的共轭复数 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】首先化简复数，根据实部为，求，再根据复数的相关概念，判断选项. 【详解】因为复数的实部是，所以，解得：，所以， A：复数的共轭复数，错误； B：，正确； C：，错误； D：在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确. 故选：BD. 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期为，故A正确； 因为，所以的图象关于对称，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式（其中，，，为三角形的三边和面积）表示.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值是 C. 当的面积最大时，其内切圆半径为 D. 若角的平分线与边相交于点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合已知条件与两角和的正弦公式，推出，再利用正弦定理角化边，即可判断A；将，代入的计算公式中，结合配方法，即可判断B；设内切圆半径为，结合及选项B所得，即可判断C；设，其中，根据，利用三角形的面积公式，可得，再结合余弦函数的性质，即可判断D． 【详解】对于A，因为， 所以， 所以， 由正弦定理得，故A正确； 对于B， ， 所以当，即时，的面积取得最大值，故B错误； 对于C，由选项B可知，当的面积最大时，，，， 设内切圆半径为， 因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，设，其中，则， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是引入参数，利用等面积法得到，从而转化为的函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为______. 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据正切函数的对称性计算可得. 【详解】因为图象关于点中心对称， 所以，解得， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 13. 如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 14. 函数（）的图象和函数（）的图象的连续两个交点为，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知，即为等腰三角形．    三角函数的周期， 且，取的中点，连接，则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即点纵坐标为，则， ，，解得，即，得， 即的取值范围为． 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可. 【小问1详解】 因为， 又因为，所以，解得， 所以 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 所以， 所以. 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的内切球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解. 【小问1详解】 由题意圆锥的底面半径为，设母线长为，圆锥的高为， 由圆锥的侧面积公式得：，解得，所以. 由圆锥的体积公式得:. 【小问2详解】 如图所示， 圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为， ∵相似于， ∴，即， 解得：，所以内切球表面积：. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若是的中点，且，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【小问1详解】 因为， 又正弦定理可得， 则， 即，所以， 又，所以，所以，又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 在中，由余弦定理可得， 即，所以. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【小问1详解】 因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以. 【小问2详解】 设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. （1）若函数，求函数的“相伴向量”； （2）若函数为向量的“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据相伴向量的概念即可求解； （2）①由函数变换得，令，得，根据题意在内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a的范围； ②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解． 【小问1详解】 由题意，函数 所以的“相伴向量”； 【小问2详解】 因为函数为向量的“相伴函数”， 所以， 由题意，函数， ， 由，可得， 令，则， 根据题意在内有两个不同的实根， 关于的方程的一个根在区间，另一个根在， 当一个根为0时，即，所以， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根是，即，解得， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根在，另一个根在， 则有，解得； 当一个根是1，另一个根在内， 由得， 此时方程为，解得或，不合题意； 综上，a的取值范围是； ② 设为方程的两个不相等的实数根，且， 由①知，，所以，即， ，所以关于对称，则， 所以，即， 由且，可得， 因为，所以， 所以， 所以，又，且 所以，所以， 整理得， 因为，所以，解得或，又， 所以， 所以，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题中，第①题的关键是先图象变换得到，然后得到，换元后构造二次函数，转化为方程在内有两个不同的实根，再进行分类讨论即可得解；第②题的关键是，巧妙的将二次函数及三角函数结合起来，在三角恒等变换后，通过换元，再一次转化为一元二次方程根的分布问题，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 2024.7 本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，（），则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（）的实部为，则（ ） A. 复数的共轭复数 B. C. D. 在复平面内对应点位于第三象限 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式（其中，，，为三角形的三边和面积）表示.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值是 C. 当的面积最大时，其内切圆半径为 D. 若角的平分线与边相交于点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为______. 13. 如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为______. 14. 函数（）的图象和函数（）的图象的连续两个交点为，，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的内切球的表面积. 17. 记内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若是的中点，且，，求. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. （1）若函数，求函数的“相伴向量”； （2）若函数为向量“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$