内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023- -2024学年下学期高二年级期末考试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 2．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（    ） A．70种 B．140种 C．840种 D．420种 5．已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 6．若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点；②不是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增. 其中正确命题的序号是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 8．设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比q等于（    ） A． B． C．2 D．5 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9．下列结论正确的是（） A． B．（为正整数且） C． D．满足方程的值可能为或 10．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （    ） 参考数据：若，则，，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 11．三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．二项式的展开式中，项的系数为 . 13．一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，用X表示抽到二等品的件数，则D(X) = . 14．在数列中，已知，则 . 四、解答题（共77分） 15．（13分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： (1)X的分布； (2)X的期望与方差； (3)“所选3人中至多有1名女生”的概率. 16．（15分）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3) 证明. 17．（15分）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过． （1）求小李第一次考试即通过的概率； （2）求小李参加考核的次数的分布列及均值． 18．（17分）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 19．（17分）已知函数． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答 案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意：公差 ；故选：B. 2．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即.故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】故选：B. 4．某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（    ） A．70种 B．140种 C．840种 D．420种 【答案】D 【详解】如果按“男女”选出名同学，则方法数有种， 如果按“男女”选出名同学，则方法数有种， 再将选出的名同学安排到个地方，则总的方法数有种.故选：D 5．已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，.故选：C. 6．若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线 故选：D 7．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点；②不是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增.其中正确命题的序号是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】A 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，.则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上单调递增，即④正确； 而在处，左侧单调递减，右侧单调递增，则是函数的极小值点，故①正确； 函数在上单调递增，在上单调递增， 不是函数极值点，故②正确； 函数在处的导数大于，在处切线的斜率大于零，故③不正确.故选：A. 8．设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】由，，得， 则，所以，所以.故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9．下列结论正确的是（） A． B．（为正整数且） C． D．满足方程的值可能为或 【答案】BD 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以（为正整数且），故B正确； 对于C：，又，所以，故C错误； 对于D：因为，所以或， 解得或或或 经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确.故选：BD. 10．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （    ） 参考数据：若，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【答案】ABD 【详解】由，可知，所以平均分为，故A对. 由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对. ,因为，所以C错误. ,因为， 所以超过98分的人数为1，故D正确.故选:ABD 11．三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 【答案】AD 【详解】设事件“此人患了流感”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，由题意可得：， ， 对于A，由全概率公式，可得： ， 所以，故A正确； 对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即， 则，故B项错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由条件概率公式，可得，故D正确；故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．二项式的展开式中，项的系数为 .【答案】80 【详解】二项式的通项公式为：， 令，所以项的系数为，故答案为：80 13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件数，则 .【答案】/ 【详解】依题意， ，所以.故答案为：0.84 14．在数列中，已知，则 .【答案】 【详解】令m=1，得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， ，所以故答案为： 四、解答题（共77分） 15．（13分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： (1)X的分布； (2)X的期望与方差； (3)“所选3人中至多有1名女生”的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：可取0，1，2，， 所以， 分布列如下： 0 1 2 （2）易得； （3）由（1）可知“所选3人中女生人数”的概率为. 16．（15分）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3)证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， （3）当时，单调递增，故． 17．（15分）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过． （1）求小李第一次考试即通过的概率； （2）求小李参加考核的次数的分布列及均值． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【详解】（1）根据题意小李第一次考试即通过包括①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过． ； （2）根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4，则 ， ， ， ， 分布列为 1 2 3 4 E（）= 18．（17分）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）当时， 得.    由已知① 当时，, ②                               ①-②得.                        所以 .                                     所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以.              设数列公差为，      由得                               所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. （2）设，前项和 （3）   即，即，解得 19．（17分）已知函数． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，， 将分别代入和求得，， 则的图象在点处的切线方程为： ，即. （2）因为，求导得， ， 在上单调递减，则恒成立.即. 令，则上式转化为恒成立， 参变分离得，令， 则， 令，解得.当单调递增，当单调递减. 则，故. 学科网（北京）股份有限公司 $$