专题03 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题03 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，，则该函数最大值为 . 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【经典例题二 次函数的图象分析与判断】 【例2】（2024高一下·浙江·专题练习）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（22-23高一上·全国·课后作业）二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A．图象的对称轴是直线x=1 B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3 C．当x>1时，y随x的增大而减小 D．当-1<x<3时，y<0 2．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知二次函数，当 时，函数图象的顶点在y轴上,当 时，函数图象的顶点在x轴上；当 时，函数图象经过原点. 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数. (1)若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值； (2)求不等式的解集. 【经典例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例3】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（21-22高三下·全国·阶段练习）函数在（    ）单调递增. A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【经典例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2020·陕西安康·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（20-21高一上·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 【经典例题五 解不含参数的一元二次不等式】 【例5】（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题六 解含有参数的一元二次不等式】 【例6】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一上·山东临沂·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【经典例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 2．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 【经典例题八 一元二次方程根的分布问题】 【例8】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 3．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【经典例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例9】（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【经典例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例10】（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【经典例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例11】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例12】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 1．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）若关于的不等式组解集不为空集，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【经典例题十三 一元二次不等式的实际应用】 【例13】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【经典例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 【例14】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知在上递减的函数，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 【经典例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 【例15】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期末）若函数的值域为，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 1、 单选题 1．（23-24高二下·江西九江·期末）若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知函数，若的最大值与的最大值相等，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 4．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是， 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 8．（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 9．（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 10．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 3、 填空题 11．（23-24高二下·吉林白城·期末）函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 13．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 14．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 15．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25高一上·上海·单元测试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 18．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知集合，集合，其中． (1)若，求； (2)设命题，命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 20．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 1.（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性判断求解. 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 2．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，，则该函数最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】因为， 则当时，取得最大值为. 故答案为： 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【经典例题二 次函数的图象分析与判断】 【例2】（2024高一下·浙江·专题练习）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答． 【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小， 把点代入得，把点代入得， 则的范围介于两者之间，故 ． 故选：D. 1.（22-23高一上·全国·课后作业）二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A．图象的对称轴是直线x=1 B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3 C．当x>1时，y随x的增大而减小 D．当-1<x<3时，y<0 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象结合其性质判断． 【详解】由图象知函数图象与轴的两个交点的横坐标分别是和3，因此B正确； 又，因此A正确； 时，图象向右下，，y随x的增大而减小，C正确； 在时，图象在轴上方，，D错误． 故选：D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知二次函数，当 时，函数图象的顶点在y轴上,当 时，函数图象的顶点在x轴上；当 时，函数图象经过原点. 【答案】 或 /1.5 【分析】当二次函数的对称轴为时，函数图象的顶点在y轴上，求出对称轴即可得第一空答案；当顶点的纵坐标为0时，函数图象的顶点在x轴上，求出函数的顶点坐标，令纵坐标为0，求解即可得第二空答案；当，时，函数图象经过原点，代入求解即可得第三空答案. 【详解】解：由题意可知二次函数的对称轴为：， 所以当对称轴为：，即时，函数图象的顶点在y轴上； 因为二次函数的顶点坐标为：, 所以当，即，或时，函数图象的顶点在x轴上； 当时，，所以当，即时，函数图象经过原点. 故答案为：；或； 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数. (1)若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）由题意可得方程的两根为1和5，利用根与系数的关系即可求得答案； （2）解一元二次不等式即可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象与直线相交于A，B两点， A点的横坐标为1，B点的横坐标为5， 故方程的两根为1和5， 即的两根为1和5， 故， 解得， 此时为，满足， 故m的值为. （2）不等式即， 解得或， 即不等式解集为. 【经典例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例3】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 1.（21-22高三下·全国·阶段练习）函数在（    ）单调递增. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，由此作出函数的大致图象，可得答案. 【详解】依题意，, 作出函数的大致图象如图所示； 观察可知，函数在，上单调递增，在上单调递减， 故选:D. 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据二次不等式的解集与根的关系可得且开口向下，进而根据二次函数的对称轴求得单调递增区间. 【详解】因为关于x的不等式的解集为，故，且，，故，. 故二次函数，开口向下，对称轴为， 故函数的单调增区间为. 故答案为： 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）代入，根据二次函数的性质，得出单调区间，进而结合端点处的函数值，即可得出最值； （2）求出函数的对称轴，分类讨论对称轴与区间的关系，得出函数的单调性，进而得出函数的最小值. 【详解】（1）当时，. ∵的对称轴为， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为． （2）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减， ∴． 综上，. 【经典例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由真子集列不等式组求解可得. 【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”， ∴，则或，解得． ∴实数a的取值范围为． 故选：D 1．（2020·陕西安康·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先解一元二次不等式，求出集合A，再与集合B进行交集运算即可. 【详解】， . 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交运算，属于基础题. 2．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知函数的值域为，且关于x的不等式的解集为．则有如下结论： ①； ②函数图像与直线的两个交点之间的距离等于6； ③若关于x的不等式的解集为，则； ④的值与的大小有关． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据二次函数的性质与一元二次不等式的解之间的关系判断． 【详解】由已知，①错误； 关于x的不等式的解集为．即函数图像与直线的两个交点的横坐标分别为，它们的距离为6，②正确； 由上讨论知，因此把的图象向右平行个单位得函数的图象，从而直线与函数的图象的两个交点间距离也是6，③正确； 由③的分析知，是确定的值，与的大小无关， ④错． 故答案为：②③． 3．（20-21高一上·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 【答案】（1）当时，解集为，当时，，当且时，；（2） 【解析】（1）根据题意变形得，再分情况讨论即可得答案； （2）根据题意并结合（1）得，，解方程即可得 【详解】解：（1）由得，且， 即， 故当时，此时，不等式恒成立，故解集为， 当时，， 当且时，， 故不等式的解集为：当时，解集为， 当时，， 当且时，. （2）由（1）得当不等式的解集为时， 只需满足，且，即：， 解得. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题. 【经典例题五 解不含参数的一元二次不等式】 【例5】（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，且和是一元二次方程的两根， 所以，解得 所以不等式可化为，即， 解得，则不等式的解集是． 故选：A 1．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 【经典例题六 解含有参数的一元二次不等式】 【例6】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 1.（23-24高一上·山东临沂·期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需 综上：所以或， 故选：A． 2．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 对于，即， 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【经典例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解. 【详解】因为开口向上，最小值为， ， 则， 的解集为，所以是的两个不等实根， 即是的两个不等实根， 所以，则， . 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为：． 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的解集，结合赵大宝列式计算即得. （2）由（1）的结论，化不等式为不等式组求解即可. 【详解】（1）由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知，不等式化为，即或， 解，得或，解，无解， 所以原不等式的解集是. 【经典例题八 一元二次方程根的分布问题】 【例8】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，分类讨论的整数的情况，求出参数的范围. 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 1．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 【经典例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例9】（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围. 【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个， 所以方程有两个实根，即， 解得或（舍去）， 当时，又，， 所以要使集合有且只有一个元素，则有， 解得，故． 故选：． 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得的解集为，利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系可得，；的解集为，利用一元二次不等式恒成立可得，进而解不等式，结合题意即可求解； （2）由（1），结合含参一元二次不等式的求法，对a、b进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 所以的根为，，故，化简得，， 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【经典例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例10】（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 2．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得恒有两个不等的实根，对恒成立，求解即可. 【详解】因为恒有两个相异的不动点， 所以恒有两个不等的实根， 对恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【经典例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例11】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C 1．（2023高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，把问题转化为，构造，利用单调性求得最值，即可求解范围. 【详解】当时，由得，则. 令，则根据对勾函数单调性知，在上是减函数， 所以时，则，所以的取值范围是. 故选：A. 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 【答案】 【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立，所以， 所以在上恒成立， 又， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，故a的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【详解】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例12】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 1．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）若关于的不等式组解集不为空集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意有，要满足题意只需，解不等式即可得到答案. 【详解】依题意有，要使不等式组的解集不是空集， 应有，即，解得， 实数的取值范围是， 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 【经典例题十三 一元二次不等式的实际应用】 【例13】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 1．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 2．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 【经典例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 【例14】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 1．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知在上递减的函数，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性和题意可得．根据二次函数的对称性可知要使对任意的，，都有，只要即，列出不等式，解不等式，即可求出结果． 【详解】由于函数的图象的对称轴为， 所以函数的递减区间为 又函数在区间上单调递减， 所以， 所以， 由二次函数的对称性可知，在区间上， 故要使对任意的，，都有，只要，即，可得，解得． 又，所以． 故选：B． 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先确定函数的对称轴方程，然后由对称轴与区间的位置关系，列出不等关系，求解即可；不等关系对恒成立，构造函数，利用二次函数的性质求出，即可得到的取值范围. 【详解】函数的对称轴方程为， 因为函数在上是单调函数， 所以或，解得或， 所以，实数a的取值范围为； 由题意，当时，不等式对恒成立， 即 对恒成立， 令 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时， ， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：； 3．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由得，再由二次函数恒成立得，代入得，从而求得，由此得解； （2）利用二次函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）由题意，得，即， 又对任意实数均有成立， 所以，则，即， 所以，故. 所以 （2）由（1）可知， 则， 则的对称轴为，开口向上， 由于在上是单调函数， 故或，即或. 即实数的取值范围是. 【经典例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 【例15】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分类讨论与，求解范围. 【详解】由的定义域为， 对称轴为, 当时，在单调递减，则，， 而函数的值域为，则，解得，故， 当时，在单调递减，在单调递增， 则，， ，故，解得， 故， 综上所述，的取值范围为， 故选：A 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解. 【详解】若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则二次函数开口向上即； 因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江·期末）若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据函数的值域为得到所以，代入到利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，得 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）由（1）得二次函数的对称轴为，分类讨论，求出当、、时函数的最大值，求出对应的m值即可； （3）由（1）得，易知当时符合题意，分类讨论当、时函数的单调性，列出不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则，故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． （3）， 当时，在R上递增，符合题意； 当时，则，此时函数在上递增，在上递减， 则或或，解得； 当时，，则函数在上递增，在上递减， 则或或，解得， 综上所述，的取值范围为或或. 1、 单选题 1．（23-24高二下·江西九江·期末）若命题“，”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为命题的否定“，”为真命题，用关于的一次函数来考虑，即可求解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题. 令，故，解得. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案． 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 3．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知函数，若的最大值与的最大值相等，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的最值可得，然后由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】，当，， 令，则， 当，即或时，的最大值为， 所以或时，的最大值与的最大值相等. 故选：B. 4．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 2、 多选题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是， 【答案】BCD 【分析】根据一元二次函数的图象与的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图，知，，，，， 即，， 对称轴，则.所以 错误，，正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是，.正确. 故选：. 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式、结合“1”的妙用计算判断ACD；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 8．（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 9．（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解最值判断AB；利用二次函数求解判断CD. 【详解】正实数a，b满足，， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A错误，B正确； 且为，解得或， 所以的解集为，C正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：BC 3、 填空题 11．（23-24高二下·吉林白城·期末）函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程， 解得或， 解方程， 解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或， 此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，分类讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答． 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得. 综上， 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 4、 解答题 16．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 17．（24-25高一上·上海·单元测试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由求解即可； （2）由是方程的根，且求解即可． 【详解】（1）解：∵，则，得， 即，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）∵，则是方程的根，且， 则 解得或． 18．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知集合，集合，其中． (1)若，求； (2)设命题，命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案； （2）由是的必要而不充分条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解． 【详解】（1）， 或． 若，则或，， ； （2）， 若是的必要而不充分条件，则， ，解得． 的取值范围是． 19．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解， （2）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求，进而可求解. 【详解】（1）的解集是，则是对应方程的两个根，故且，解得， 当时，不等式为，满足题意， 故 （2）若不等式的解集为，则，3是对应方程的两个根，且， 则，即， 则不等式等价为， 即， 即， 解得， 即不等式的解集为 20．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【分析】（1）①根据判别式即可列不等式求解， ②由二次函数的性质，结合分类讨论即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【详解】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 学科网（北京）股份有限公司 $$