精品解析：河南省濮阳市南乐县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年河南省濮阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各点，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直 4. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 5. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 6. 下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系：下列说法不正确的是( ) 0 1 2 3 4 5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A. 弹簧不挂重物时的长度为 B. 与都是变量，且是自变量，是因变量 C. 随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长 D. 所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加 8. 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（   ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 10或2 9. 如图，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(　　) A. B. C. D. 10. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 学校要选拔一名短跑运动员，参加校际联赛．小明、小亮、小龙、小江四位同学报名参加，老师对四位同学进行了百米测试，经过3场测试，计算出来他们的平均成绩及方差如下表： 小明 小亮 小龙 小江 根据表中数据，要选拔成绩好且发挥稳定的同学参加校际比赛，应选择 _____． 13. 如图，矩形中，E、F分别是、的中点，已知，则_____． 14. 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ___． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为______． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 17. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93． 八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100． 【整理与分析数据】 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 1 8 a 八年级 1 0 1 5 13 【应用数据】 平均数 众数 中位数 七年级 88 85 b 八年级 88 c 90 （1）由上表填空：a＝_______，b＝_______，c＝______； （2）若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由． 18. 先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ （1）请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； （2）计算：． 19. 在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在平面直角系中画出函数的图象如图所示： （1）函数与函数相交于点，求k； （2）在同一平面直角坐标系中，画出的图象； （3）根据所画的图象，直接写出不等式：的解集是 ． 21. 如图，将矩形纸片沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长交于点F连接． （1）按要求补全图形； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，求的长． 22. 绿城快速路于2022年7月20日正式通车，此路的开通为市民快速前往高铁站提供了方便．该快速路上某小区M到高铁站N相距，甲、乙两名市民从M小区出发前往高铁站N乘坐高铁．甲乘坐公交大巴，乙自行驾驶汽车前往．图中，分别表示甲，乙两人离开小区M的路程与时间的函数关系的图象． （1）甲比乙提前 分钟出发；公交大巴的速度为 ； （2）求乙离开小区M的路程与时间的函数关系式（写出t的取值范围）； （3）点P的坐标是（ ， ），说明图中两函数图象交点P的实际意义． 23. 王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省濮阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各点，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算自变量为2，0，所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：A、当时，，故点不在函数的图象上； B、当时，，故点不在函数的图象上； C、当时，，故点在函数的图象上； D、当时，，故点不在函数的图象上； 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知在一次函数图象上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式是解题的关键． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故A符合题意； B、与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、与是同类二次根式，故C不符合题意； D、与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式和化简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形的性质，菱形的性质即可得；掌握正方形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：正方形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：B． 4. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 5. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元）， 故选C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 6. 下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可用正比例函数的性质和一次函数的性质进行分析即可． 【详解】解：A、的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项合题意； B、的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故此选项不合题意； C、的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项不合题意； D、的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是熟练掌握一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 7. 根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系：下列说法不正确的是( ) 0 1 2 3 4 5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A. 弹簧不挂重物时的长度为 B. 与都是变量，且是自变量，是因变量 C. 随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长 D. 所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加 【答案】A 【解析】 【分析】通过表格中所列举数据，可找到弹簧不挂重物时的长度以及y随x的变化情况，即可判断． 【详解】解：A．通过表格中所列举数据，反映弹簧的长度与所挂的物体的重量之间的变化关系，当时，，即弹簧不挂重物时的长度为，故A错误，符合题意； B．在这个变化过程中，y随x的变化而变化，与都是变量，且是自变量，是因变量，故B正确，不符合题意； C．观察图表数据，随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，故C正确，不符合题意； D．观察图表数据，所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加，故D正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，属于基础题，通过题目中所给数据判断是解决本题的关键． 8. 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（   ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 10或2 【答案】D 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当8是斜边时，第三边长==2； 当6和8是直角边时，第三边长==10； ∴第三边的长为：10或2， 故选D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 9. 如图，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形．平行四边形的对边相等，点的横坐标减去点的横坐标，等于点的横坐标减去点的横坐标，点和点的纵坐标相等，从而确定点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的横坐标减去点的横坐标，等于点的横坐标减去点的横坐标，点和点的纵坐标相等， ∵点，，的坐标分别是，，， ∴点的坐标为． 故选：B． 10. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 12. 学校要选拔一名短跑运动员，参加校际联赛．小明、小亮、小龙、小江四位同学报名参加，老师对四位同学进行了百米测试，经过3场测试，计算出来他们的平均成绩及方差如下表： 小明 小亮 小龙 小江 根据表中数据，要选拔成绩好且发挥稳定的同学参加校际比赛，应选择 _____． 【答案】小江或小明 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据表格数据，比较平均数与方差，根据方差的意义，即可求解． 【详解】解：根据表格，小明和小龙的平均成绩相等且比小亮、小龙要好， 小明的方差较小， ∴选小明， 根据表格，四位平均成绩相差不大，小江的成绩的方差最小， ∴选小江， 故答案为：小江或小明． 13. 如图，矩形中，E、F分别是、的中点，已知，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和勾股定理，设，根据题意得，利用勾股定理得，有题意得，再次利用勾股定理即可求得． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ___． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】如图，连接EF，由题意易得△AHE≌△EGF，则有∠AEH=∠EFG，AE=EF，然后可得∠AEH+∠FEG=90°，则有△AEF是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接EF， ∵AH=EG=2，∠AHE=∠EGF=90°，EH=FG=1， ∴△AHE≌△EGF， ∴∠AEH=∠EFG，AE=EF， ∵∠EFG+∠FEG=90°， ∴∠AEH+∠FEG=90°， ∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF=45°； 故答案为45°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为______． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．由菱形的性质可知，是的中点，进而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为， 故答案为：96． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先计算乘除法，再合并同类二次根式即可求解； （2）先运用完全平方公式及平方差公式化简，再合并同类二次根式即可求解． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 17. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93． 八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100． 【整理与分析数据】 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 1 8 a 八年级 1 0 1 5 13 【应用数据】 平均数 众数 中位数 七年级 88 85 b 八年级 88 c 90 （1）由上表填空：a＝_______，b＝_______，c＝______； （2）若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由． 【答案】（1）10，，90 （2）920人 （3） 解：八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好． 理由：七、八年级的平均分相等；八年级成绩的众数为90，高于七年级学生成绩的众数85；八年级成绩的中位数为90，高于七年级学生成绩的中位数，综合比较，八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）利用20减去其他四个范围内的人数即可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）利用1600乘以成绩不低于90分的学生所占的百分比即可得； （3）根据中位数和众数的意义进行分析即可得． 【小问1详解】 解：， 将七年级20名学生的竞赛成绩按从小到大进行排序为68，75，82，84，85，85，85，85，86，89，90，90，91，92，92，93，95，96，97，100，第10个数和第11个数的平均数即为其中位数， 则其中位数， 因为在八年级20名学生的竞赛成绩中，90出现了4次，次数最多， 所以其众数为， 故答案为：10，，90． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了求中位数和众数、利用样本估计总体、利用中位数和众数进行决策，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 18. 先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ （1）请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； （2）计算：． 【答案】（1）小莉的化简结果正确，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【小问1详解】 小莉的化简结果正确，理由如下： 【小问2详解】 原式 19. 在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定．根据平行四边形的性质可得，，即，再利用等量代换可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 20. 如图，在平面直角系中画出函数的图象如图所示： （1）函数与函数相交于点，求k； （2）在同一平面直角坐标系中，画出的图象； （3）根据所画的图象，直接写出不等式：的解集是 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法，求出的值即可； （2）描点法画出函数图象即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：在函数上 ∴ ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，， ∴过点， ∵图象过点， 画出函数图象如图所示： 【小问3详解】 由图象可知：的解集是． 21. 如图，将矩形纸片沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长交于点F连接． （1）按要求补全图形； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依照题意补全图形； （2）可证，可得，可证四边形是平行四边形，由折叠的性质可得，，可得结论； （3）由勾股定理可求，利用勾股定理列出方程可求的长． 【小问1详解】 依照题意补全图形，如图所示： 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形纸片沿过点A的直线翻折， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 22. 绿城快速路于2022年7月20日正式通车，此路的开通为市民快速前往高铁站提供了方便．该快速路上某小区M到高铁站N相距，甲、乙两名市民从M小区出发前往高铁站N乘坐高铁．甲乘坐公交大巴，乙自行驾驶汽车前往．图中，分别表示甲，乙两人离开小区M的路程与时间的函数关系的图象． （1）甲比乙提前 分钟出发；公交大巴的速度为 ； （2）求乙离开小区M的路程与时间的函数关系式（写出t的取值范围）； （3）点P的坐标是（ ， ），说明图中两函数图象交点P的实际意义． 【答案】（1）5， （2） （3），；甲离开小区（乙离开小区）时，两人相遇（或乙追上甲），此时两人离开小区的路程均为 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得答案； （2）设与的函数关系式是，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）先求解甲的函数解析式，再联立两个解析式，可得P的坐标，再结合图象可得P的含义； 【小问1详解】 解：由图象可得：甲比乙提前5分钟出发；公交大巴的速度为； 【小问2详解】 解：设与的函数关系式是 由图象可知，点在图象上 解得 【小问3详解】 解：∵甲的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 的坐标表示甲离开小区（乙离开小区）时，两人相遇（或乙追上甲），此时两人离开小区的路程均为； 23. 王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 【答案】（1）135，； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）5或 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，求出，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图4， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $