精品解析：辽宁省辽阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试卷

高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. “”是全称量词命题 B. 成等差数列 C. “”是存在量词命题 D. 成等比数列 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列满足，则其公比为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 函数有极值点 B. 奇函数 C. 函数无最大值 D. “”的否定是“” 10. 某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 当这种退烧药在血液中含量为时，能够降低的温度最大 C. 上单调递增 D. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 方程有唯一的实数解 D. 函数有最小值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 设的个位数为，则__________. 14. 已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设依次是等比数列的前3项，其中为正数. （1）求； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数且. （1）当时，求在上的值域； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数为上的增函数，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值与最大值. 18 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 19. 若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制. （1）已知函数在上被控制，求的取值范围. （2）(i)证明：函数在上被1控制. (ii)设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. “”是全称量词命题 B. 成等差数列 C. “”是存在量词命题 D. 成等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词和全称量词判断A,C选项，应用等比中项及等差中项判断B,D选项. 【详解】是存在量词命题，是全称量词命题，A，C均为假命题. ,B为假命题，D为真命题. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得， 所以， 又，则，所以. 故选：D 3. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线斜率为. 故选：A. 4. 若等比数列满足，则其公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可. 【详解】因为， 所以等比数列的公比， 又， 所以， 所以， 即等比数列的公比为. 故选：C. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】因为， 所以能推出，且不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得. 【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D; 因为在上的零点有共三个，排除B. 故选:A. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用函数导数的四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可. 【详解】令，则，所以单调递减． 由， 得，所以． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A 函数有极值点 B. 是奇函数 C. 函数无最大值 D. “”的否定是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导函数的正负性即可判断A选项，利用奇函数的定义可以判断B选项，利用基本不等式可以判断C选项，求存在量词命题的否定规则可以判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以为增函数，则无极值点，A是假命题. 对于B，因为，所以是奇函数，B是真命题. 对于C，，当且仅当时，等号成立，所以函数有最大值，是假命题. 对于D，“”的否定是“”，D是假命题. 故选：ACD. 10. 某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大 C. 在上单调递增 D. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大 【答案】CD 【解析】 【分析】运用导数研究单调性，进而得到极值最值即可. 【详解】， 当时，，所以在上单调递增; 当时，，在上单调递减． 所以均错误，均正确. 故选：CD． 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 方程有唯一的实数解 D. 函数有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值法令，求解判断A；令，求出.令，求出，因为为增函数，且，判断 B；等价于.设，用零点存在性定理判断C;因为，所以函数有最小值，判断D. 【详解】令，得. 因为，所以，即，A正确. 令，得，由，得. 又，所以. 令，得，即，所以， 因为为增函数，且，所以，B正确. 所以等价于.设，因为，所以在上必有一个零点，又， 所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，C错误. 因为，所以函数有最小值，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 设的个位数为，则__________. 【答案】279 【解析】 【分析】先计算确定数列的周期性，再应用数列的周期计算即可. 【详解】因为个位数分别为， 所以数列是周期为4的周期数列，所以. 故答案为：279. 14. 已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用三次函数性质，结合导数和等差数列知识解题即可. 【详解】，令，得，函数单调递减； 令，得或，函数单调递增. 所以的极大值为的极小值为. 因有3个零点，所以解得. 设，则，令，得， 由于，三次函数曲线关于点对称. 若成等差数列，则，解得. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：本题运用导数来研究三次函数的单调性和极值，与零点，对称性，数列知识综合，属于中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设依次是等比数列的前3项，其中为正数. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的性质公式求解即可； （2）运用分组求和,结合对数性质计算即可. 【小问1详解】 依题意可得， 整理得，解得或1. 因为为正数，所以， 所以的前3项依次是，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 . 16. 已知函数且. （1）当时，求在上的值域； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数为上的增函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到的单调性，从而得到其值域； （2）对分和讨论即可； （3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，，因为均为增函数， 所以为增函数， 所以， ， 所以当时，在上的值域为. 【小问2详解】 的定义域为. 当时，因为均为增函数， 所以为增函数，因为， 所以不等式的解集为. 当时，因为均为减函数， 所以为减函数， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意可得， 解得，即的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值与最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可； （2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可； 【小问1详解】 . 令，得； 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，. 由（1）知，在处取得极大值，且极大值为. 当时，在上单调递增， . 当时，， 若，则， 因为，所以. 18. 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得； （2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值. 【小问1详解】 由，则，即， 则数列是以为公差的等差数列，又， 故，即； 【小问2详解】 ①由，则， ， 则 ， 故； ②令，则， 则， 故数列为单调递减数列，又， 故当时，，故， 即当时，恒成立，即定值. 19. 若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制. （1）已知函数在上被控制，求的取值范围. （2）(i)证明：函数在上被1控制. (ii)设，证明：. 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；(ii)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据概念即求在上恒成立，利用导数分类求得的最小值即得； （2）(i)利用导数证明不等式在上恒成立； (ii)根据(i)得利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 令，， 则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以恒成立. 当时，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 (i)要证明函数在上被1控制， 只需证明，即证. 令， 可得. 当时，，即在区间上单调递增， 所以，原命题得证. (ii)由(i)可知，当时，， 则，即， 则有， 即， 故. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$