精品解析：湖南省益阳市沅江市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上期期末教学质量监测试卷八年级数学 考生注意： 1．本试卷包括试题卷和答题卷，共有六道大题，试题卷共6页，答题卷共4页． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写校名、姓名和考试号码．考生在答题卷上作答，请务必注意试题序号和答题序号相对应，在试题卷上作答无效． 3．考试时间为120分钟，满分120分．考试结束后将试题卷和答题卷一并交回． 试题卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卷相应的位置） 1. 下列安全标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 禁止通行 B. 严禁烟火 C. 当心溺水 D. 小心有电 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 某班50名学生的身高中，最低为，最高为，在绘制频数直方图时，取组距为，则分成的组数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 在中，下列条件能说明是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 5. 在四边形中，对角线相交于点O，．下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则在平面直角坐标系中，点可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 7. 如图，在中，，D是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，的面积为14，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 9. 小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（ ） A. 20cm B. 40cm C. D. 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B两点重合，且，G是五边形内一点，满足．下列结论错误的是（ ） A. 与一定互补 B. 点G到边的距离一定相等 C. G，B两点之间距离的最大值为6 D. 点G到边的距离的最小值为 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填写在答题卷的空格中） 11. 梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______． 13. 若点在一次函数的图象上，则的值是______． 14. 海拔每升高100米，气温下降约，某地地面温度为，海拔升高x（百米）后温度为，则y关于x的函数表达式为______． 15. 如图，A、B两地是一座山的两端，为修建高速公路需沿方向修一条隧道，工程测量队在地面上确定点O，分别取的中点C、D，量得，则A、B之间的距离是______m． 16. 在平行四边形中，，平分交于点E，则 ______． 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺． 18. 如图1，动点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为，的面积为．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为______． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题为6分，共12分） 19. 一个多边形的每一个内角是它相邻外角的9倍，这个多边形是几边形? 20. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题为8分，共16分） 21. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）判断是什么特殊三角形，并说明理由． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题为9分，共18分） 23. 跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下． 跳绳次数(x) 频数(人数) 频率 20 0.1 40 0.2 70 a b c 10 0.05 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______； （2）将频数直方图补充完整； （3）小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内? （4）若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比． 24. 综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： （1）列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 （2）在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； （4）已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题为10分，共20分） 25. 电动汽车因绿色环保、经济实惠受到越来越多的家庭购买使用，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）的函数图象． （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶的路程； （2）当时，求行驶100千米所消耗的电量； （3）当时，求y关于x的函数表达式； （4）当蓄电池剩余电量10千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，通过计算求出报警时汽车已行驶多少千米? 26. 【探索发现】（1）如图，正方形的对角线交点是正方形的一个顶点，当正方形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，总有．连接，求证：； 【类比迁移】（2）如图2，矩形的对角线交点是矩形的一个顶点，当矩形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，连接，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： 【迁移拓展】（3）如图3，在中，点是斜边的中点，以为顶点的直角绕点旋转时，它的两边分别与直线，相交于点，，当时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期期末教学质量监测试卷八年级数学 考生注意： 1．本试卷包括试题卷和答题卷，共有六道大题，试题卷共6页，答题卷共4页． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写校名、姓名和考试号码．考生在答题卷上作答，请务必注意试题序号和答题序号相对应，在试题卷上作答无效． 3．考试时间为120分钟，满分120分．考试结束后将试题卷和答题卷一并交回． 试题卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卷相应的位置） 1. 下列安全标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 禁止通行 B. 严禁烟火 C. 当心溺水 D. 小心有电 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】∵关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数 ∴关于x轴对称点的坐标是． 故选：C． 3. 某班50名学生的身高中，最低为，最高为，在绘制频数直方图时，取组距为，则分成的组数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图时组数的计算，掌握组数的定义是本题的关键，即数据分成的组的个数称为组数．根据组数（最大值最小值）组距进行计算即可，注意小数部分要进位． 【详解】解：数据的最大值为，最小值为， 这组数据的差是， 组距为， 这组数据应分成，则分成6组． 故选：B 4. 在中，下列条件能说明是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形按角分类，解题的关键是求出三角形中最大内角的度数． 利用三角形内角和定理，结合已知条件求出三角形的最大内角，即可判断． 【详解】解：A、∵，， ∴， 是锐角三角形，故此选项不符合题意． B、∵，， ∴， 是等边三角形，故此选项不符合题意． C、，， ， 是直角三角形，故此选项符合题意． D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是钝解三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 在四边形中，对角线相交于点O，．下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，无法判断四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A 6. 若，则在平面直角坐标系中，点可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算法则，以及坐标位置的确定，牢记平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标的符号是解题的关键． 由有理数的乘法运算法则及可推断出和异号，再根据平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标的符号即可得出答案． 【详解】解：， 和符号相反， 点在第二象限或者第四象限， 选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 7. 如图，在中，，D是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等边对等角，即可解答． 【详解】解：，， ， 为的中点， ， ， 故选：D 8. 如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，的面积为14，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， 即， ∴， 故选：B． 9. 小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（ ） A. 20cm B. 40cm C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B两点重合，且，G是五边形内一点，满足．下列结论错误的是（ ） A. 与一定互补 B. 点G到边的距离一定相等 C. G，B两点之间距离的最大值为6 D. 点G到边的距离的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键是对知识的掌握和运用． 根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断A； 过作，，分别交于，交于，根据且，，可以求出，然后证明，可以判断B；在直角三角形中，，当点、重合时最大，最大为，此时，则最大值为6，可以判断C；延长交于点H，当点、重合时最大，即点G到边的距离的最大值为，则的最小值为，从而可以判断D． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又，四边形内角和是， ， 故A选项正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： 且， ， 又， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ，故B选项正确； ∴四边形是正方形， ∴， 在直角三角形中，，当点、重合时最大，最大为，此时， ∴最大值为6， 即G，B两点之间距离的最大值为6， 故C正确； 延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴当点、重合时最大，即点G到边的距离的最大值为， 则的最小值为， 即点G到边的距离的最小值为， 故D选项错误， 故选：D． 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填写在答题卷的空格中） 11. 梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算划线部分字的总数，再数“国”字个数，根据频率=频数除以总数的定义即可得． 【详解】解：∵在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个， ∴“国”字出现的频率是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷数据总数． 12. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是， 故答案为3． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 13. 若点在一次函数的图象上，则的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题意，将点代入函数解析式即可求得的值，变形即可求得所求式子的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， ， ， ， 故答案为：10． 14. 海拔每升高100米，气温下降约，某地地面温度为，海拔升高x（百米）后温度为，则y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温地面的气温降低的气温．根据地面温度为，海拔每升高100米，气温下降约，可求出与的关系式． 【详解】解：由题意得与之间的函数关系式为：． 故答案为：． 15. 如图，A、B两地是一座山的两端，为修建高速公路需沿方向修一条隧道，工程测量队在地面上确定点O，分别取的中点C、D，量得，则A、B之间的距离是______m． 【答案】1200 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， 故答案为：1200 16. 在平行四边形中，，平分交于点E，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，可证，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺． 【答案】 【解析】 【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设OB=OA=x（尺）， 在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10， ∴x2=102+（x-4）2， ∴x=， ∴OA或OB的长度为（尺）． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 18. 如图1，动点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为，的面积为．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，由图2知，菱形的边长为a，对角线，则对角线为：，当点P在线段上运动时，，即可求解． 【详解】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线， 则对角线为：， 当点P在线段上运动时，， 由图2知，当时，, 即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题为6分，共12分） 19. 一个多边形的每一个内角是它相邻外角的9倍，这个多边形是几边形? 【答案】这个多边形是二十边形 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，一元一次方程的应用．解题的关键在于外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数．设每一个外角的度数为，则每一个内角的度数为，根据一个内角与其相邻外角互补建立方程求解，得到一个外角度数，从而得到多边形的边数，即可解题． 【详解】解：设每一个外角的度数为，则每一个内角的度数为， 则，解得：， 又， ∴这个多边形是二十边形． 20. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】略 四、解答题（本大题共2个小题，每小题为8分，共16分） 21. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 是直角三角形，理由如下： 如图，过点B作轴于点C， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ∴， 又， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，勾股定理及逆定理，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质及勾股定理及逆定理． （1）由，得，可得，再联立方程组求得点B的坐标； （2）过点B作轴于点C，先求得，，，在中，由勾股定理得：，同理可得，再用勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 由，得， ∴， 由得． ∴； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2个小题，每小题为9分，共18分） 23. 跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下． 跳绳次数(x) 频数(人数) 频率 20 0.1 40 0.2 70 a b c 10 0.05 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______； （2）将频数直方图补充完整； （3）小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内? （4）若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比． 【答案】（1），， （2） 根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下： （3）小健的成绩在的范围内 （4）此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为70％ 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题，中考常考题型． （1）根据跳绳次数在的频数和频率求出抽取的人数，再用70除以总人数求出，再用整体1减去其它视力段的频率求出，进而求出b即可； （2）根据（1）求出的数据直接补图即可； （3）根据中位数的定义直接解答即可； （4）跳绳次数在120次以上（含120次）所占的比例乘以即可． 【小问1详解】 抽取的总人数是：（人， 则， ， （人， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 中位数落在第3组内， 小健的成绩在的范围内； 【小问4详解】 此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为． 24. 综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： （1）列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 （2）在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； （4）已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 【答案】（1）0，1 （2） 函数图象如下图： （3）①图象由两条有公共端点的射线组成；②当时，函数有最小值为－3；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；⑤函数图象关于直线对称，……（只需写一条） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据已知函数式，求出对应函数值和自变量值即可； （2）根据表中各对x、y的值描出坐标的点，即可得到函数图象； （3）根据函数图象写出性质即可； （4）利用描点法画出函数的图象，再找出函数的图象在函数图象上方的部分，即可得到解集． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，，解得， ，， 故答案为：0，1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象，得到该函数的性质：①图象由两条有公共端点的射线组成； ②当时，函数有最小值为－3； ③当时，y随x的增大而增大； ④当时，y随x的增大而减小； ⑤函数图象关于直线对称，…（只需写一条）； 【小问4详解】 解：由图象可知，函数与的交点坐标为和， 当或，函数的图象在函数图象的上方， 不等式的解集为或， 故答案为：或． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题为10分，共20分） 25. 电动汽车因绿色环保、经济实惠受到越来越多的家庭购买使用，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）的函数图象． （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶的路程； （2）当时，求行驶100千米所消耗的电量； （3）当时，求y关于x的函数表达式； （4）当蓄电池剩余电量10千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，通过计算求出报警时汽车已行驶多少千米? 【答案】（1）蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶了400千米 （2）行驶100千米所消耗的电量为15千瓦时 （3）当时，y关于x的函数表达式为 （4）报警时汽车已行驶480千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际问题，分析图象提取有用信息进行计算是解题的关键． （1）根据图象上点的坐标直接回答问题即可； （2）根据图象计算即可； （3）利用待定系数法求函数解析式； （4）代入自变量的值计算即可． 【小问1详解】 由图象可知，蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶了400千米 【小问2详解】 行驶100千米所消耗的电量为：千瓦时； 【小问3详解】 当时，设y关于x的函数表达式为， 把点，代入，得 ．解得：． ∴当时，设y关于x的函数表达式为； 【小问4详解】 把代入，解得：， 答：报警时汽车已行驶480千米． 26. 【探索发现】（1）如图，正方形的对角线交点是正方形的一个顶点，当正方形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，总有．连接，求证：； 【类比迁移】（2）如图2，矩形的对角线交点是矩形的一个顶点，当矩形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，连接，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： 【迁移拓展】（3）如图3，在中，点是斜边的中点，以为顶点的直角绕点旋转时，它的两边分别与直线，相交于点，，当时，直接写出线段的长度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， 又四边形都是正方形， ∴，， ∴，即． 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）成立，理由如下： 如图1延长与相交于点，连接． 点是矩形的对角线交点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，又， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）当时，或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，进而可得，根据勾股定理即可得证； （2）如图1延长与相交于点，连接．证明，则，在中，由勾股定理得：，进而即可得证； （3）①如图2，点，分别在线段，时，②如图3，点，分别在线段，的延长线上时，勾股定理得出，，设，代入数据,求得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，或． ①如图2，点，分别在线段，时， 由（2）的结论可得：， 又在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则，又，， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点，分别在线段，的延长线上时， 同理可证得：，， 设，则，又，， ∴， ∴， ∴； 综上：当时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $