精品解析：河北省石家庄市平山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷（R） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. 全体实数 C. D. 2. 下列函数中，y是x正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 4，5，6 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A B. C. D. 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 11. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 12. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 14. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 15. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，；④不等式的解集是，其中正确的结论有__________．（只填序号） 16. 如图，在边长为1的正方形中，为边上任意一点（不与点重合），交于点，过点且垂直于的一条直线分别交于点．连接，将沿着翻折，点落在点处．的中点为，则的最小值为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度（）与所挂物体质量（）满足函数关系．表格是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． 0 2 5 15 19 25 （1）求与的函数关系式； （2）当弹簧长度为21cm时，求所挂物体的质量． 19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 20. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 6 2 （1）表格中的 ______， _______； （2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______； （3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数． 21. 如图，对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：为菱形； （2）过点B作于点E．求的长． 22. 图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图． （1）当时，求关于x的函数表达式； （2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费； ②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？ 23. 某公司计划购买两种设备共100台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的．已知两种设备的单价分别是1000元/台、1500元/台，设购买种设备台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用（元）与的函数关系式； （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？哪种方案最省钱，为什么？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元/台，种设备单价下调了元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出的值． 24. 如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． （1）求点的坐标； （2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷（R） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. 全体实数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的概念，对选项逐个判断即可，形如的函数为正比例函数． 【详解】解：A．不是正比例函数，不符合题意； B．不是正比例函数，不符合题意； C．是正比例函数，符合题意； D．不是正比例函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数的概念，解题的关键是理解正比例函数的概念． 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生作调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校300名八年级学生是总体 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D. 样本容量是6 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．该校300名八年级学生每周课外阅读时间是总体，原说法错误，故本选项不合题意； B．抽取的50名学生每周课外阅读时间是总体的一个样本，原说法错误，故本选项不合题意； C．每个八年级学生每周课外阅读时间是个体，说法正确，故本选项符合题意； D．样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象；总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘除法运算法则判断C和D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 【详解】解：A、，不可以构成三角形，故不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； C、，可以构成直角三角形，故符合题意； D、，不可以构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合题意即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（k、b为常数），当时，随的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 8. 如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，，进而得到，，即得，，由平行四边形的性质可得，即可得到，，，据此可判断求解，掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∴一定正确的是， 故选：． 9. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理可得，由可得，进而得到，即可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得：，，，， 则，， 矩形面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 12. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①可求，，即可求解；②设，由，可求，从而可得，即可求解；③过作轴交轴于点，由，可求，再由，即可求解；④过作轴交于，连接，过作轴交轴于，，即可求解． 【详解】解：①当时，； 当时，， 解得：； ，， ，， ， 故①正确； ②设， ， 由翻折得：，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 故②正确； ③如图，过作轴交轴于点， ， 由②得：，，， ， 解得：， ， ， ， 故③正确； ④如图，过作轴交于，连接，过作轴交轴于， ，， 四边形是菱形， ， 在和中 ， ()， ， 由③中，知 的横坐标为， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法，直角三角形全等的判定及性质，勾股定理，面积转化法，菱形的性质，掌握相关的判定方法及性质，解法是解题的关键． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法计算法则即可求解． 【详解】解：=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 14. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【解析】 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键． 15. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，；④不等式的解集是，其中正确的结论有__________．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a,b看,与y轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面,则哪个函数值大． 【详解】解:①的图象从左向右呈下降趋势，正确； ② 与y轴的交点在负半轴上， ,另一条直线与y轴交于正半轴，所以，故②正确; ③两函数图象的交点横坐标为3， 当时, ，故③正确； ④当时,，故④错误； 故正确的判断是①②③． 故答案为: ①②③． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数的图象有四种情况，由k，b的符号决定． 16. 如图，在边长为1的正方形中，为边上任意一点（不与点重合），交于点，过点且垂直于的一条直线分别交于点．连接，将沿着翻折，点落在点处．的中点为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点M作于T，连接，则四边形是矩形，可得，证明，得到；再证明四边形是矩形，，进而证明，得到，则，可得是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可得，则，证明，得到，则点在直线上运动，故当时，有最小值，则，据此可得答案. 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为G、H，过点M作于T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时是等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形推出点的运动轨迹是解题的关键. 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答 （2）先把二次根式进行化简，再从左往右依次进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序、准确地进行计算，是解题的关键． 18. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度（）与所挂物体质量（）满足函数关系．表格是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． 0 2 5 15 19 25 （1）求与的函数关系式； （2）当弹簧长度为21cm时，求所挂物体的质量． 【答案】（1） （2）当弹簧长度为21cm时，所挂物体的质量为3kg 【解析】 【分析】（1）把，代入中，即可计算出的值，即可得出答案； （2）把代入中，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 解得：， 与函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当弹簧长度为21cm时， 即， 解得：， 当弹簧长度为21cm时，所挂物体的质量为3kg． 【点睛】本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式即函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 19. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【小问1详解】 解：如图即为补全的图形； 【小问2详解】 证明：由作图知：OA=OC，OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 20. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 6 2 （1）表格中的 ______， _______； （2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______； （3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数． 【答案】（1）4，5 （2）4，4 （3）390人 【解析】 【分析】（1）由题中的数据即可求解； （2）根据中位数、众数的定义即可解答； （3）由样本估计总体，即可解答． 【小问1详解】 解：根据给出的数据可得：，， 故答案为：4，5； 【小问2详解】 解：该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下： 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， 其中出现次数最多的为4，有6次，故众数为：4， 中位数为第10，第11个数的平均数，为， 故答案为为：4，4； 【小问3详解】 解：由样本可知参加志愿者活动次数不低于4次的人数占比为：， 所以估计该校八年级600名学生参加志愿者活动的次数不低于4次人数为：（人）． 【点睛】本题考查了频数分布表，众数、中位数、样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． 21. 如图，的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：为菱形； （2）过点B作于点E．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，，然后设，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：在中 ，，． 即： 为菱形． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形 ， 于点E 设 则： 解得：． 的长为． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图． （1）当时，求关于x的函数表达式； （2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费； ②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？ 【答案】（1） （2）①车费为元；②选择甲品牌比选择乙品牌节省元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式以及求函数值等知识． （1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）①将代入（1）中的函数表达式计算即可． ②利用待定系数法求出关于x的函数表达式，将分别代入，中计算并比较大小，求其差值即可． 【小问1详解】 解：当时，设，将和代入表达式， 则有， 解得， 【小问2详解】 ①∵小明选择甲品牌共享电单车到B地， ∴当时，， ∴车费为4.5元； ②小明到C地的路程为， ，由图象可得，选择甲品牌更省车费， 此时，， 设，代入， 得， ， ， ∴当时， ； （元） ∴选择甲品牌比选择乙品牌节省元． 23. 某公司计划购买两种设备共100台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的．已知两种设备的单价分别是1000元/台、1500元/台，设购买种设备台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用（元）与的函数关系式； （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？哪种方案最省钱，为什么？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元/台，种设备单价下调了元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）6种方案；买80台A种设备，20台B种设备时最省钱，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买两种设备的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）根据题意“种设备数量不低于种的，且不高于种的”，列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，从而得到购买方案，进而根据一次函数的性质确定最省钱的方案； （3）根据题意列出与的函数关系式，分系数和时，根据一次函数的性质，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得：， 又∵取整数， 可取75，76，77，78，79，80这6个整数， 该公司按计划购买两种设备有6种方案； ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴此时， ∴买80台A种设备，20台B种设备时最省钱； 小问3详解】 解：根据题意可得： ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，最小， ， 解得：，不符合，舍去， 当时，即时，随的增大而增大， 当时，最小， ， 解得：， 综上所述，． 24. 如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． （1）求点的坐标； （2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①是，；②或 【解析】 【分析】（1）先求出，得到，，再由正方形的性质可得，解之即可得到答案； （2）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①过点作轴，如下图： 由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时； 综上，点坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$