精品解析：山西省朔州市怀仁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

怀仁市2023—2024学年度第二学期八年级期末学业质量监测数学 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三股四弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是（ ） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《几何原本》 D. 《海岛算经》 3. 如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交 于点E，F．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 体育考试是加强学校体育工作的重要抓手，充分发挥体育考试的激励效应，可以促进学生积极参加体育锻炼，提升青少年体质健康水平．今年某校九年级（1）班50名学生的中考体育成绩统计如下表： 成绩（分） 50 49 48 47 46 45 得分人数（人） 19 14 13 1 2 1 该班体育成绩的众数、中位数分别是（ ） A. 19分，14分 B. 50分， 分 C. 50分，49分 D. 49分，47.5分 6. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 7. 如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 8. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和 的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A. 30 B. 35 C. 40 D. 60 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， B. 当时， C. 当 时， D. 当 时， 10. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边 上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若 ，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式有意义的条件是____________. 12. 如图，直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则正方形b的边长为______． 13. 2024年第十四届全国冬季运动会在内蒙古呼伦贝尔市举办，这是北京冬奥会后首次举办的全国冬季项目大型体育赛事．俱乐部准备从三名短道速滑运动员中选一名运动员参加，他们最近几次训练成绩如下表，应派出的队员是______． 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 51.3 50.2 50.1 50.1 方差 0.8 1.3 0.8 1.3 14. 某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 本次实验开始记录的时间是上午 ，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为72克时的时间是______． 15. 如图，正方形的边长为3，点E为边上一点，，将四边形沿所在直线轴对称得到四边形 ，点A，B的对应点分别为F，G，连接交于点M，线段 的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长. 18. 根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如表： 班级 平均数 众数 中位 数方差 八（1）班 a 八（2）班 87 b 表中______，______；两个班级中，成绩比较稳定的是______班． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为 ，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 19. 阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 20. 某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 21. 项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量 ，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当 时， ______；B套餐：当 时， ______． （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3）应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 22. 综合与探究 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点． （1）求直线的函数解析式； （2）直线m垂直平分，垂足为E，交于点D．点P是直线m上一动点，且在直线上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示 的面积； ②当 的面积为8时，点P的坐标为______． 23. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到 ，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形 的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接 ．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接 并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市2023—2024学年度第二学期八年级期末学业质量监测数学 注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三股四弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是（ ） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《几何原本》 D. 《海岛算经》 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理，掌握知识点是解题关键．根据题意即可得出答案． 【详解】解：“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的， 故选：B． 3. 如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交 于点E，F．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得垂直平分，再由平行四边形的性质，可得 ，可判定A；再证明 ，可判定B，C，D，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， 根据条件无法得到 ， ∴无法得到 ，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ，故B、D选项错误，不符合题意； ∴ ， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法计算、以及二次根式的加法计算，求立方根等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则、以及二次根式的加法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原计算正确，故该选项符合题意； B． ，原计算错误，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算错误，故该选项不符合题意． 故选：A． 5. 体育考试是加强学校体育工作的重要抓手，充分发挥体育考试的激励效应，可以促进学生积极参加体育锻炼，提升青少年体质健康水平．今年某校九年级（1）班50名学生的中考体育成绩统计如下表： 成绩（分） 50 49 48 47 46 45 得分人数（人） 19 14 13 1 2 1 该班体育成绩的众数、中位数分别是（ ） A. 19分，14分 B. 50分， 分 C. 50分，49分 D. 49分，47.5分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．先把数据按从小到大的顺序排列，找位于最中间的一个数（或两个数的平均数），以及出现次数最多的数据即可求解． 【详解】解：根据表格中的数据可知，出现次数最多的是50分，因此众数为50分， 将50个数据从小到大进行排序，排在第25和26的均为49，所以中位数是． 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，根据矩形的性质和平移的性质，可以得到的长，然后即可求得四边形的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着射线的方向平移得到， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：A． 8. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和 的中点，顺次连接和 ，得到四边形 ．若，则四边形 的面积等于（　　）． A. 30 B. 35 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形 是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴ ，， ∵ ， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形 是矩形， ∴矩形 的面积为：，即四边形 的面积为30． 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， B. 当时， C. 当 时， D. 当 时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，根据函数图象得出当 时，，当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴根据函数图象可得：当 时，，当时，，故C正确． 故选：C． 10. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若 ，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，设，则，，由勾股定理列方程，可求解． 【详解】解：∵ 设， 则，． 在中，， ， 解得． 则 故选：D 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式有意义的条件是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式定义，二次根式的被开方数非负是解此题的关键． 12. 如图，直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则正方形b的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用 证明，得，再利用勾股定理可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 的面积为，b的边长为， 故答案为：． 13. 2024年第十四届全国冬季运动会在内蒙古呼伦贝尔市举办，这是北京冬奥会后首次举办的全国冬季项目大型体育赛事．俱乐部准备从三名短道速滑运动员中选一名运动员参加，他们最近几次训练成绩如下表，应派出的队员是______． 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 51.3 50.2 50.1 50.1 方差 0.8 1.3 0.8 1.3 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【详解】解：由表可知从平均时间看，丙、丁的成绩最好，其次是乙，甲的成绩最低， 从方差看，乙、丁成绩波动幅度太大，甲与丙成绩最稳定， ∴结合平均时间与方差看，丙发挥优秀且稳定， 故答案为：丙． 14. 某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 本次实验开始记录的时间是上午 ，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为72克时的时间是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数 ，然后令时，解得的值，然后结合起始时间是上午 即可获得答案． 【详解】解：根据表格中的数据可知，当沉沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12， ∴电子秤读数为沉沙时间的一次函数， 设电子秤读数为y（克），沉沙时间为x（小时），一次函数表达式为： ，将点代入解析式中， 可得， 解得， ∴函数表达式为：； 把代入得：， 解得： ， ∵起始时间是上午 ， ∴经过11小时的漏沙时间为． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为3，点E为边上一点，，将四边形沿所在直线轴对称得到四边形 ，点A，B的对应点分别为F，G，连接交于点M，线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折，正方形的性质，勾股定理，连接 ，，根据正方形的性质，可求得，，在 中，，再由折叠可得再由，可求得，再证明，可得，最后求解即可． 【详解】解：连接 ，，如图所示， 四边形为正方形，边长为3，， ，， 在 中，， 四边形沿直线折叠得到四边形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）先求出，，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）∵， ∴， ， ∴ ． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可． 【详解】∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD=12， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：BC= 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键． 18. 根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如表： 班级 平均数 众数 中位 数方差 八（1）班 a 八（2）班 87 b 表中______，______；两个班级中，成绩比较稳定的是______班． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为 ，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 【答案】（1）89；87；八（2）；（2）小文得分为；小明得分为；（3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解，根据方差判断稳定性即可； （2）根据加权平均数的计算方法求出八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分即可； （3）根据平均数，中位线，众数和方差，以及2名选手的得出进行分析判断即可． 【详解】解：（1）八（1）班的10名选手得分中89出现的次数最多，所以众数 ； 将八（2）班10名选手得分从小到大进行排序，排在第5位和第6位的均为87，所以中位数； ∵， ∴两个班级中，成绩比较稳定的是八（2）班； （2）八（1）班小文的比赛得分为：， 八（2）班小明的比赛得分为：； （3）因为八（1）班10名选手得分的平均数，中位数和众数都比八（2）班10名选手高，且在第二轮比赛中八（1）班小文的得分比八（2）班小明得分高，所以八（1）班学生在本次比赛表现更突出． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，加权平均数的计算，根据方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的计算公式． 19. 阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴ ， ∵， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴ ， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 20. 某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】绿化这块空地所需的费用为元 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定 是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 21. 项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． （1）建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量 ，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当 时， ______；B套餐：当 时， ______． （2）图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． （3）应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【答案】（1）①110；② ； （2） 函数图象，如图所示： （3）当每月使用流量不足 时，使用A套餐，当每月使用流量等腰 时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过 时，使用B套餐．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用和不等式的应用，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析． （1）①根据题干提供的信息列式计算即可； ②根据题干提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据解析（1）②得出的函数解析式，画出函数图象即可； （3）分别求出 ， ， 时，x的取值范围，然后再提出建议即可． 【小问1详解】 解：① （元）， 这个月她的手机资费是110元； ②当 时， ， 即 ； 当 时， ， 即 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令 ， 解得： ， 令 ， 解得： ， 令 ， 解得： ， 建议：当每月使用流量不足 时，使用A套餐，当每月使用流量等于 时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过 时，使用B套餐． 22. 综合与探究 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点． （1）求直线的函数解析式； （2）直线m垂直平分，垂足为E，交于点D．点P是直线m上一动点，且在直线上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示 的面积； ②当 的面积为8时，点P的坐标为______． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出的解析式即可； （2）①由题知直线m垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点 的坐标，设点 的坐标为，然后依据可得到 的面积与n的函数关系式； ②由得到关于n的方程可求得的值，从而得到点 的坐标． 【小问1详解】 解：把点，点代入直线得： ， 解得：， 直线的函数解析式： ； 【小问2详解】 解：①∵直线m垂直平分，垂足为E，交于点D， ∴， ∴点D的横坐标为， ∵将代入 得：， ∴点 的坐标为， ∵点 的坐标为， ∴． ∴， ； ②∵， ∴， 解得：． ∴点 的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用、割补法求面积、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合思想思考并解决问题． 23. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接 ，将沿 折叠得到 ，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形 的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交 于点F．连接 ．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接 并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 的长． 【答案】（1）正方形 （2）①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析 （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出， ，根据，证明四边形 为矩形，根据 ，即可证明四边形 为正方形； （2）①根据折叠得出， ，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，， ，证明四边形 为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ， 根据折叠可知：， ， ∵， ∴四边形 为矩形， ∵ ， ∴四边形 为正方形； 【小问2详解】 证明：①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：， ，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知： ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴ ，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形 为矩形， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵ ， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形 为正方形， ∴ ； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $