精品解析：山东省德州市德城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在矩形中，点 的坐标是，则 的长是（ ） A. B. C. D. 6. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 7. 在平面直角坐标系中，若一次函数 的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数 的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 8. 如图，在菱 中，点E是边 上一点，，连接EC．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半轴于点 ，则点 的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 下面的四个问题中都有两个变量： ①圆的面积 与它的半径 ； ②汽车从A地匀速行驶到B地，油箱内的剩余油量 与行驶时间 ； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量 与放水时间 ； ④矩形的面积一定，一边长与相邻的另一边长 . 其中，变量 与变量 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 11. 如图，，点D是射线 上的一个动点，，垂足为C，点E为 的中点，则线段 的长的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 12. 如图，在矩形 中，，P，Q分别是边上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动，下面四个结论中下列结论不正确的是（ ） A. 存在四边形是矩形 B. 存在四边形是正方形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 二、填空题（本大愿共6小题，共24分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 中，，则_____． 15. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是_____________．（填“甲”或“乙”）． 16. 如图，在菱形 中，，以点 为圆心， 长为半径画弧，交对角线 于点 ，则的值是______． 17. 如图， 和 都是等腰直角三角形， 顶点A在 的斜边 上，，则的值为__________． 18. 已知点关于直线（ ）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 21. 如图，在中，连接 ． （1）实践与操作：利用尺规作对角线 的垂直平分线，分别交 ， ， 于点M，O，N，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）猜想与证明：判断四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由降为 ，已知原滑滑板 的长为6米，点E、D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板的正前方留有4米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方8米处的E点有一棵大树，这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：，，．） 23. 某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品16个或乙种产品12个，且每生产一个甲种产品可获利100元，每生产一个乙种产品可获利150元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品， （1）请写出此车间每天获利y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）若要使此车间每天获利不低于17200元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？ 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴， 轴分别交于点 ， ，与直线交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）根据图像，直接写出不等式的解集； （3）若点 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点 ，使是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在正方形 中，点E在射线 上，点M在 的延长线上，为的角平分线，点F为射线上一点，且． （1）如图，当点E在线段 上时， ①补全图形； ②求证：； ③用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． （2）若 ，，直接写出线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题的关键． 2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，二次根式的除法、二次根式的加减法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，所以选项的计算错误，不符合题意； B、，所以选项的计算正确，符合题意； C、，不是同类项，不能进行合并，所以选项的计算错误，不符合题意； D、3，不是同类项，不能进行合并，所以选项的计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法、二次根式的加减法则，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 4. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据y随x的增大而增大，而增大可得到，然后再解不等式即可解答． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ，解得：． 故选C． 5. 如图所示，在矩形中，点 的坐标是，则 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点 作 轴的垂线交于点 ，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点 作 轴的垂线交于点 ，连接． 点 的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出原数据的中位数和众数，分析即可得到应去掉的两个数． 【详解】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7， ∴去掉的两个数可能是6，8，9，10中的任意两个数，不能去掉的数是4和7， 故选：D． 【点睛】此题考查了求数据的中位数和众数，正确理解中位数及众数的求法是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，若一次函数 的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数 的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 8. 如图，在菱 中，点E是边 上一点，，连接EC．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得 ，，，再由等腰三角形的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的正半轴于点 ，则点 的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求得 的长度，进而可求得 的长度，结合点 的坐标，可求得点 的坐标． 【详解】根据题意，可知， ， ∴． 又点 的坐标为， ∴点 的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键． 10. 下面的四个问题中都有两个变量： ①圆的面积 与它的半径 ； ②汽车从A地匀速行驶到B地，油箱内的剩余油量 与行驶时间 ； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量 与放水时间 ； ④矩形的面积一定，一边长与相邻的另一边长 . 其中，变量 与变量 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据圆的面积公式判断即可； ②汽车从A地匀速行驶到B地，油箱内的剩余油量 随行驶时间 的增大而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量 随放水时间 增大而减小判断即可； ④根据矩形的面积公式判断即可； 【详解】圆的面积 与它的半径 不能用如图所示的图象表示，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，根据油箱内的剩余油量 随行驶时间 的增大而减小，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量 随放水时间 增大而减小，故③符合题意； 矩形的面积一定，一边长与相邻的另一边长 不能用如图所示的图象表示，故④不符合题意； 所以变量与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是②③； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 11. 如图，，点D是射线 上的一个动点，，垂足为C，点E为 的中点，则线段 的长的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，正确得出时， 最短是解答的关键．先由直角三角形斜边上的中线性质得到，当时， 最短，此时 最短，证明 是等腰直角三角形，利用勾股定理求得 即可． 【详解】解：∵，点E为 的中点， ∴，故当时， 最短，此时 最短， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，又， 由勾股定理得，则， ∴，即线段 的长的最小值为， 故选：B． 12. 如图，在矩形 中，，P，Q分别是边上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动，下面四个结论中下列结论不正确的是（ ） A. 存在四边形是矩形 B. 存在四边形是正方形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟知特殊平行四边形的判定与性质是解答的关键．根据矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形，， ∴，，，， A、当时，四边形是矩形，故此选项说法正确，不符合题意； B、不存在四边形是正方形， 因为当时，，这与矛盾， 故此选项说法不正确，符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得，则，解得， 故当时，四边形是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； D、当点P与D重合，点Q与B重合时，四边形（即四边形 ）是矩形，故此选项说法正确，不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大愿共6小题，共24分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 中，，则_____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，， ， ； 故答案为：． 15. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是_____________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】观察图象判断甲、乙的方差大小，得出结论即可. 【详解】解：利用图象直接观察甲、乙设计环数的波动情况，会看到甲的波动程度小于乙的波动程度，由此估计甲的方差小于乙的方差，因此应选甲； 故答案为：甲. 【点睛】本题主要考查方差的判断问题，直接观察即可，属于基础题. 16. 如图，在菱形 中，，以点 为圆心， 长为半径画弧，交对角线 于点 ，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 设，连接 交 于点 ，如图所示，根据菱形的性质得到， ，，求得，，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：设， 连接 交 于点 ，如图所示， 四边形 是菱形，，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 的值是， 故答案为：． 17. 如图， 和 都是等腰直角三角形， 顶点A在 的斜边 上，，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质得到是解答的关键．根据等腰直角三角形得，，，，，证明得到 ，，进而得，利用勾股定理可求解． 【详解】解：连接 ， ∵ 和 都是等腰直角三角形，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， 则， ∴， 故答案为：8． 18. 已知点关于直线（ ）的对称点恰好落在坐标轴上，则k的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及轴对称的性质，要熟知对称轴是对称点连线的垂直平分线，本题还利用了中位线的性质及推论，这此知识点要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．求正比例函数的解析式，就是求直线上一点的坐标即可． 当点关于直线（ ）的对称点恰好落在 轴上时，作辅助线，构建点与 轴和 轴的垂线，先根据点 的坐标得出的长，再根据中位线定理和推论得： 是的中位线，所以 ，也可以求的长，表示出点 的坐标，代入直线中求出 的值．当点关于直线（ ）的对称点恰好落在 轴上时，同理，即可求解． 【详解】解：当点关于直线（ ）的对称点恰好落在 轴上时， 设 关于直线的对称点为，连接，交直线于 ，分别过 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则， ∵， ∴， ∴， ∵ 和关于直线对称， ∴ 是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 当点关于直线（ ）的对称点恰好落在 轴上时， 当设 关于直线的对称点为，连接，交直线于，分别过 、作 轴的垂线，垂足分别为、，则， ∵， ∴， ∴， ∵ 和关于直线对称， ∴是的中垂线， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， 解得：； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 【答案】（1）8，8 （2） 七年级的众数是8，八年级的众数是7，七年级的优秀率为，八年级的优秀率为， ∴七年级的学生党史知识掌握得较好． （3）980人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握众数，中位数的计算方法，根据数据作决策，运用样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的计算方法即可求解； （2）根据统计数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数据即可求解． 【小问1详解】 解：七年级抽取学生的成绩中8分出现次数最多，所以众数为8； 由图可知，八年级的中位数是第8名同学的成绩，即8， 故答案为：8；8 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数有980人． 21. 如图，在中，连接 ． （1）实践与操作：利用尺规作对角线 的垂直平分线，分别交 ， ， 于点M，O，N，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）猜想与证明：判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，再由平行四边形的性质得到 ，证明得到，进而证明四边形为平行四边形，由此即可证明四边形为菱形． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 垂直平分 ， ，， 四边形 为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 降为 ，已知原滑滑板 的长为6米，点E、D、B、C在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板的正前方留有4米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方8米处的E点有一棵大树，这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：，，．） 【答案】（1）米 （2）可行， 理由如下： 在中，，． ∴． 在 中，． ∴． 那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是． 因此，此方案是可行的． 【解析】 【分析】（1）在 中利用勾股定理求出，然后根据含 角的直角三角形的性质求出 即可． （2）本题实际要求的是 的前方长是否超过4米，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就可行，反之，则不可行． 【小问1详解】 解：∵在 中，， ∴ ， 由勾股定理得：， ∴， ∴ ∵在中，， ∴米， ∴改善后滑滑板会加长米 答：改善后滑板长米． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，含 角的直角三角形的性质，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的关键． 23. 某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品16个或乙种产品12个，且每生产一个甲种产品可获利100元，每生产一个乙种产品可获利150元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品， （1）请写出此车间每天获利y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）若要使此车间每天获利不低于17200元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？ 【答案】（1） （2）6名 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出函数关系式和不等量关系是解答的关键． （1）直接根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列出不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，则剩下名工人生产乙种产品， 根据题意，， 故此车间每天获利y（元）与x（人）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，， 解得，则， 答：至少要派6名工人去生产乙种产品才合适． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴， 轴分别交于点 ， ，与直线交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）根据图像，直接写出不等式的解集； （3）若点 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点 ，使是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点 的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）根据点 是两直线的交点，联立方程求解即可； （2）根据图中一次函数的图象在一次函数的图象上方的 取值范围求解； （3）根据等腰直角三角形的性质，结合点 的坐标分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点 ， 故联立方程组，得， 解得：， ∴点 的坐标为． 【小问2详解】 解：根据图象可得一次函数的图象在一次函数的图象上方时，， 故不等式的解集为． 【小问3详解】 解：①若是以 为腰的等腰直角三角形，且O为直角顶点时， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图： 当时， ②若，为等腰直角三角形，则轴，且， ∴点 与点关于 轴对称， ∴； 若，为等腰直角三角形，则轴，且， ∴点 与点关于 轴对称， ∴； 当 时，是等腰直角三角形，则点 在 轴或 轴上， ∵， ∴， 若，点在 轴上， ∴； 若，点在 轴上， ∴； 综上，点 的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数的与二元一次方程组的关系，一次函数与不等式的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论是解题关键． 25. 在正方形 中，点E在射线 上，点M在 的延长线上，为的角平分线，点F为射线上一点，且． （1）如图，当点E在线段 上时， ①补全图形； ②求证：； ③用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． （2）若 ，，直接写出线段 的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③，证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①先根据题意补全图形即可； ②由正方形的性质可得，再由角平分线的定义可得，由此证明得到，再由三角形内角和定理和等边对等角得到，则； ③如图所示，在 上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）分两种情况，通过证明 ， ， 之间的数量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②∵四边形 是正方形， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③，证明如下： 如图所示，在 上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点E在 上时， ∵在正方形 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）的结论可知， ∴； 如图所示，当点E在 延长线上时， 在射线 上截取，连接， 同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $