第十七章 一元二次方程重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

第十七章 一元二次方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 3．（2024九年级·上海·专题练习）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 5．（2024·上海青浦·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 6．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）方程的解是 ． 8．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的根为 ． 9．（23-24八年级下·上海松江·期中）二项方程的根是 ． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：= ． 11．（22-23八年级上·上海静安·阶段练习）把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则= ． 14．（2024·上海松江·二模）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 15．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则该方程的另一个根是 ． 16．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为 ． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 18．（23-24八年级下·闵行·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    三、解答题（7小题，共64分） 19．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 20．（22-23八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)用配方法：． (3)； 21．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 24．（22-23八年级·上海·假期作业）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 25．（23-24八年级下·闵行·期中）如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求t的值？ (2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 26．（23-24八年级下·杨浦·期中）阅读材料题： 我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴ ∴的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：　 　； (2)代数式有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 一元二次方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键，根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．，是一元二次方程； B．，不是整式方程，选项B不符合题意； C．原方程可整理得：，是一元一次方程，选项C不符合题意； D．当时，选项D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 3．（2024九年级·上海·专题练习）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，根据“当一元二次方程有实数根时，根的判别式”可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤． 【详解】解：出错的步骤是③， 应该是在②步的基础上，两边同时加上4， 得， 故选：C． 5．（2024·上海青浦·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 6．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】将方程变形后，直接开平方求解即可． 【详解】解： ∴ 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的根为 ． 【答案】，/ 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由得或， ∴，． 9．（23-24八年级下·上海松江·期中）二项方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程变形为，令，则，解得，则，据此解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 令， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先将原式等于0，解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：令 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程得出是解题关键． 11．（22-23八年级上·上海静安·阶段练习）把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 【答案】 【分析】先移项，再利用配方法，即可求解． 【详解】解：移项得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由得， ∵常数项为， ∴且， 解得：， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则= ． 【答案】2 【分析】把代入方程即可得出的值，再由二次项系数不为0得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是0， ， ， ， ， ， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式，其中是解题的关键． 14．（2024·上海松江·二模）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 【答案】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以且判别式，建立关于的方程，解方程即可求出的值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且判别式， 解得：． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则该方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴该方程的另一个根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根为则． 16．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为 ． 【答案】24 【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为和，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为和， 由题意得， 解得：（舍去），， 则另外两个数分别为7和9， 三个数的和为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·闵行·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解． 【详解】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键． 20．（22-23八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)用配方法：． (3)； 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）先展开，再合并，最后用因式分解来求解； （2）加一个4减一个4，再直接开方，进行求解； （3）直接利用公式法进行求解． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 解：，； （3）解： ， ，，， ， ， 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法、公式法进行求解． 21．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 【答案】(1)，是原方程的根 (2)是原方程的根，不是原方程的根 【分析】根据方程的根的定义，将已知数字代入方程，使得等式成立的数字即为方程的根． 【详解】（1）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； ∴，是原方程的根 （2）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴不是原方程的根， ∴是原方程的根，不是原方程的根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程的根即为使等式成立的未知数的值是解题关键． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（， a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 24．（22-23八年级·上海·假期作业）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)9人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：每轮传染中平均每个人传染了9个人． （2）（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病． 25．（23-24八年级下·闵行·期中）如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求t的值？ (2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， ∴，     整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； （2）不能，理由如下： 当时， ， 整理得，     ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 26．（23-24八年级下·杨浦·期中）阅读材料题： 我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如：求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴ ∴的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：　 　； (2)代数式有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)大，16 (3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）仿照题意利用配方法求解即可； （3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值为16， 故答案为：大，16； （3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为50， ∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$