第04讲 三角形全等的判定（4个知识点+14大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第04讲 三角形全等的判定（4个知识点+14大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 知识点一、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 知识点02：灵活运用全等判定定理 2、灵活运用全等判定定理  （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，根据题意可得出，结合已知条件，可得出． 【详解】解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴的依据是， 故选A． 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（     ）    A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定乙与全等； 则不能证明和 全等的是甲， 故选：B 【即学即练3】 3．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质及三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键根据平行线的性质及全等三角形的判定逐项判定即可 【详解】解：若添加，则不能判定，故选项符合题意； 若添加，则，可以判断（），故选项不符合题意； 若添加，可以判断（），故选项不符合题意； 若添加，可以判断（），故选项不符合题意； 故选：． 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 【即学即练5】 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【即学即练6】 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：， ； ， ； ，， ； ，， ， ， ； 故选：A． 知识点03：垂直平分线 3、线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【即学即练7】 7．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 平分，点是射线上一点，于点，， 由角平分线性质可得， 点是射线上一动点， 由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得， 综合四个选项可知，的长度不可能是， 故选：D． 【即学即练8】 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，是的平分线，若，则点D到边的距离等于（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】此题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、所对的直角边是斜边的一半和角平分线的性质是解决此题的关键．过点D作于E，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据角平分线的定义和性质可得，即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， 如图，过点D作于E ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到边的距离等于2； 故选D． 知识点04：角平分线 4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【即学即练9】 9．（21-22八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案． 【详解】解：平面内，有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【即学即练10】 10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 题型01 用SSS证明三角形全等 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：∵点，分别是，的三等分点， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画1个格点（不包括），使和全等，这样的格点三角形能画 个．    【答案】3 【分析】本题考查的是用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图所示，可作3个全等的三角形．    ，，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 3．（21-22八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点C，F在直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．首先根据可得，可利用证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型02 全等的性质与SSS综合 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】 解：由图可知，， 在和中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：B 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 【详解】解：在中， ， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 题型03 用SAS证明三角形全等 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， 在和中， ， ， 故选：． 3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04 全等的性质与SAS综合 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，延长到E使得，连接，证明得到，则当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，的值最小，即此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 题型05 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上，则可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形判定先根据题意及图像挖掘出相等的边或角，再根据全等三角形的判定方法即得． 【详解】解：是的垂线，是的垂线 与互为对顶角 在与中 判定三角形全等的方法是：． 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案． 【详解】解：是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：6． 3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）同角的余角相等，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∴． 题型06 全等的性质与ASA(AAS)综合 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，过点B作，交的延长线于点F，若，，求的长 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明，得出，则可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在和中，，，．过作于点，的延长线与交于点，连接． 【问题提出】（1）试说明：； 【问题解决】（2）延长至点，使，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定： （1）只需要证明即可证明； （2）先证明，得到，，再由三线合一定理得到，据此求出，则四边形的面积． 【详解】解：（1）在和中， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型07 添加条件使三角形全等 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，，，，四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不一定能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、添加，则，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； B、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足边边角，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 题型08 灵活选用判定方法证全等 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的4三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、与原三角形形成“边边角”对应相等，但是“边边角”对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意； D. 根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意． 故选：C． 2．（2024八年级·全国·竞赛）下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出 个与全等的格点三角形（不包括）． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 理解图示，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：每相邻的两行有个，每相邻的两列有个， ∴共有 （个）． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 题型09 全等三角形综合问题 1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为20， ， ， ， ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在中，平分交于点D，且，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形判定与性质，作，垂足分别为M、N，借助面积得出，在上截取，连接，证出，列出方程并解方程即可解决． 【详解】解：作，垂足分别为M、N， 平分， ， ，， ， ， ， 在上截取，连接， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 题型10 角平分线的性质定理 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：过点P作与点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴则的面积为：， 故选：C 2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，是的角平分线，于点E，且．则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的定理，过点作，根据角平分线的性质得，再结合三角形的面积公式即可求解，根据题意和角平分线的定理得到是解答本题的关键． 【详解】解：过点作， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴ ， 故答案为：15． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 题型11 角平分线的判定定理 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 2．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论． 【详解】解：，，且， ， ，， ， 故答案为：35． 3．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由． 已知：如图，点是射线上的一点，点、分别在、上，且． 求证：平分． 证明：∵点是射线上一点，且（已知），∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据角平分线的判定方法补充条件解答即可． 【详解】解：不正确．需添加条件，，， 证明：∵点是射线上一点，且，，，（已知）， ∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 题型12 角平分线性质的实际应用 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 2．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是 ．    【答案】12 【分析】过点O作于点E，于点F，连接，然后根据角平分线的性质定理及三角形的面积计算公式可求解． 【详解】解：过点O作于点E，于点F，连接，如图所示：    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】见详解 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作的平分线两者交于点P，点P即为所求． 【详解】连接，作线段的垂直平分线，与的平分线交于点P，则点P到点，的距离相等，到，的距离相等，作图如下，点P即为所求，    【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握其性质是解题的关键． 题型13 垂直平分线的性质 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由是的边的垂直平分线，可得，则所求的周长，再将已知代入即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型14 垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得垂直平分，，进而得到，再由的周长为20，推出，据此可得答案． 【详解】解；∵E为边的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ∵的周长为20 ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选；C． 2．（18-19八年级上·广东潮州·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列结论： ①垂直平分；②；③；④为的中点．其中一定正确的是 （填序号）    【答案】②③④ 【分析】如果，则，，，即可判断①．根据，判断出，，即可判断出成立，即可判断③；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，即可判断②④． 【详解】解：如果垂直平分， 则点O是的中点， ∵分别是和的高， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； ∴①不正确； ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴④正确． 又∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴②正确； 综上，正确的是：②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定和性质，准确分析判断是解题的关键． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析． 【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． A夯实基础 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案 【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等， 则． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（    ） A．18 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键． 过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 平分，点是射线上一点，于点，， 由角平分线性质可得， 点射线上的一个动点，连接， 由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得， 综合四个选项可知，的长度不可能是， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据得，由，得，因此，只要再添加一组对应角相等即可． 【详解】解： 即 因此，只要再添加一组对应角相等即即可， 证明如下： 在和中 （ASA）． 故答案为：． 5．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是边上的一点，点是的中点，连接并延长至点，使，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由，，夹角为对顶角，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到． 【详解】证明：在和中， ， ， B能力提升 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】根据题意可知． ∵， ∴，． 方法一： 在和中 ∴． 方法二： 在和中 ∴． 故选：C 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 3．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得，，从而得到，然后根据的周长24，求出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长是， ∴， ∴． 故答案为：5． 5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 【答案】(1)①②，③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； （2）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； 或利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②； 故答案为：①②，③；①③，②； （2）证明：若选择的条件是①②，结论是③， ∵， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； 若选择的条件是①③，结论是②， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ∴． 6．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 【答案】(1)115° (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． C综合素养 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，将两块相同的三角板（含角）按图中所示位置摆放，若交于点交于点交于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由，根据全等三角形的性质可得，继而可得，可判断A正确；利用可证明，可判断C正确；根据全等三角形的性质可得，可判断B正确，无法得到，由此即可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴，故选项A正确； 在与中 ， ∴，故选项C正确； ∴， ∵， ∴，故选项B正确； 无法得到，故选项D错误． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，， 于，于，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，下列说法①；②平分；③平分；④．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】②④/④② 【分析】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，可判断①错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断②正确，③错误；由，且，得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴，， ∴，， 故②正确，③错误； ∵， ∴， 故④正确， 故答案为：②④． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论． 基础巩固：根据证明，进而解答即可； 尝试应用：根据证明，进而解答即可； 拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类． 【详解】解：基础巩固：． 理由：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； 尝试运用： ． 当时，， ， ， ， 由基础巩固中的结论可知：； 拓展提高 ①若设运动时间为时， 则， 可得：，， ； ②若设运动时间为时，， 则，可得：，， ，， 综上所述，当与全等时的x值为2或． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形全等的判定（4个知识点+14大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 知识点一、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 知识点02：灵活运用全等判定定理 2、灵活运用全等判定定理  （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 【即学即练1】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图．已知， 那么的依据是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（     ）    A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙 【即学即练3】 3．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【即学即练5】 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 【即学即练6】 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 知识点03：垂直平分线 3、线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。  中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【即学即练7】 7．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，是的平分线，若，则点D到边的距离等于（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 知识点04：角平分线 4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。  逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 【即学即练9】 9．（21-22八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点 【即学即练10】 10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型01 用SSS证明三角形全等 1．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画1个格点（不包括），使和全等，这样的格点三角形能画 个．    3．（21-22八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点C，F在直线上，．求证：． 题型02 全等的性质与SSS综合 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型03 用SAS证明三角形全等 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    3．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 题型04 全等的性质与SAS综合 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 题型05 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上，则可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型06 全等的性质与ASA(AAS)综合 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，过点B作，交的延长线于点F，若，，求的长 ． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在和中，，，．过作于点，的延长线与交于点，连接． 【问题提出】（1）试说明：； 【问题解决】（2）延长至点，使，连接，若，，求四边形的面积． 题型07 添加条件使三角形全等 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，，，，四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不一定能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 题型08 灵活选用判定方法证全等 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的4三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出 个与全等的格点三角形（不包括）． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 题型09 全等三角形综合问题 1．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　） A． B． C． D．4 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在中，平分交于点D，且，若，，则 ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 题型10 角平分线的性质定理 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，是的角平分线，于点E，且．则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 题型11 角平分线的判定定理 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 3．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由． 已知：如图，点是射线上的一点，点、分别在、上，且． 求证：平分． 证明：∵点是射线上一点，且（已知），∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 题型12 角平分线性质的实际应用 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是 ．    3．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 题型13 垂直平分线的性质 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 题型14 垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 2．（18-19八年级上·广东潮州·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列结论： ①垂直平分；②；③；④为的中点．其中一定正确的是 （填序号）    3．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． A夯实基础 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（    ） A．18 B． C．6 D． 3．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 5．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，点在边上，，，．求证：． 6．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是边上的一点，点是的中点，连接并延长至点，使，连接．试说明：． B能力提升 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则 ．    5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，． (1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）． (2)请证明你的结论． 6．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． C综合素养 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，将两块相同的三角板（含角）按图中所示位置摆放，若交于点交于点交于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，， 于，于，，，则的长是 ． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是上的点，且，下列说法①；②平分；③平分；④．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$