1.5 三角形全等的判定（第4课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.5 三角形全等的判定 第三课时 “AAS”定理与角平分线的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．理解和掌握“AAS”（角角边）判定定理,,掌握角平分线的性质．（重点） 2．运用三角形全等的判定方法““AAS”（角角边）证明两个三角形全等，运用角平分线的性质解决数学问题．（难点） 情景导入 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如右下图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？ 问题1：如下图所示三角形的两个内角分别为60°和45°，且45°所对的边应的边为3cm，你能根据条件画出这个三角形吗? 1.用“角角边”判定三角形全等 新知探究 3cm 60° 45° 思考探究： 这里的条件与上述的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为上述的的条件吗？请试着探究一下 60° 45° 75° 课本例题：已知：如图所示，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A= ∠A'，∠B= ∠B'，BC=B'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'. 证明：∠A=∠A'，∠B=∠B'（已知）， ∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'=180° （根据什么？）， ∴∠C=∠C'. 在△ABC 和△A'B'C'中， ∠B= ∠B'（已知）， BC=B'C'（已知）， ∠C=∠C'， ∴△ABC≌ΔA'B'C'（ASA）. ∠A=∠A′， ∠B=∠B′ ， AC=A′C ′， 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. A B C A ′ B ′ C ′ 概念归纳 　　归纳概括“AAS”判定方法: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写为“角角边”或“AAS”）． 也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了. 几何语言表述 例1.如图所示,如果DF=CE,∠DAE=∠CBF,∠D=∠C,那么AE=BF成立吗?请说明理由.   分析     要证明AE=BF成立,只要证明△AED≌△BFC即可,题中可以直接 利用的条件有两角,因此,还需要边的条件,由DF=CE可得DE=CF, 所以结论能够成立. 典例剖析 解:AE=BF成立. 理由:∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, ∴DE=CF, 在△AED和△BFC中,   ∴△AED≌△BFC(AAS). ∴AE=BF. 1：如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：AB＝CD. 解析： 在△ABC和△CDA中，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.还有一条公共边AC，可利用AAS证全等. 证明： ∠B＝∠D ∠1＝∠2 AC＝CA， 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（AAS） ∴AB=CD. 练一练 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.灵活运用合适的定理判定三角形全等 新知探究 例2. (2022江苏南通中考)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是　　　　　　　    .     BC=EF(答案不唯一) 解:∵AB∥ED, ∴∠B=∠E, ∵AC∥FD, ∴∠ACB=∠DFC, 在△ABC与△DEF中, 若添加BC=EF,根据ASA可以判定△ABC≌△DEF.(答案不唯一) 例3.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及 其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF,添加一个条件,使得△BDF ≌△CDE,并加以证明.   典例剖析 分析     由中点知BD=CD,由对顶角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一个 条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”来判定两个三角形全等. 解:可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB). 证明:(以DE=DF为例) ∵点D是BC的中点, ∴BD=CD. 在△BDF和△CDE中,   ∴△BDF≌△CDE(SAS). 判定一组三角形是否全等，首先根据已知条件或已经求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法确定缺什么条件，依据这个再去证什么条件，即可． 概念归纳 如图，点P是∠CAB的角平分线AD上的任意一点，且PO⊥AC于点O，PQ⊥AB于点Q，将∠CAB沿AD对折，你发现了什么？如何用文字表达出来，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 问题一：角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 3.角平分线的性质定理 新知探究 D P A C B E O 下面我们来证明刚才得到的结论. 已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∵ ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. D P A C B E O 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 概念归纳 课本例6.已知：如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C.求证：PB=PC. 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC（已知）， ∴∠ABP= ∠ACP=Rt∠（垂线的定义）. 在△ΑPB 和△ΑРC 中， ∠PAB = ∠PAC（角平分线的定义）， ∠ABP= ∠ACP， AP =AP（公共边）， ∴ΔΑΡΒ≌ ΔΑΡC（AAS）. ∴PB=PC（根据什么？）. 例4.如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE. 求证：BE＝CF. 典例剖析 分析：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶 角的性质来证明△BDE和△CDF全等． 证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∠BED＝∠CFD， ∠BDE＝∠CDF， BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴BE＝CF. 115° 练一练 B 随堂练 C 随堂练 ASA AAS 随堂练 随堂练 随堂练 6.（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD= ∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是（ ） A.∠A = ∠C B.AD = CB C.BE = DF D.AD//BC B 随堂练 7，如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) B A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 随堂练 8.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示,则说明∠CAD=∠DAB的依据是 (　　) A.SSS　　　B.SAS　　　C.ASA　　　D.AAS 分层练习-基础 A 9.(2023山东济南期末)如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列条件中:①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有( ) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 分层练习-基础 D 10.(2023安徽合肥四十五中月考)如图,△ABC,∠ACB=90°,AD⊥AB,BD平分∠ABC交AD于D点,交AC于E点. (1)求证:∠ADE=∠AED; (2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积. 分层练习-巩固 解析　(1)证明:∵AD⊥AB, ∴∠DAB=90°,∴∠D+∠ABD=90°, ∵∠C=90°,∴∠CEB+∠CBE=90°, ∵BD平分 ∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠D=∠CEB, ∵∠CEB=∠AED,∴∠ADE=∠AED. 分层练习-巩固 (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,如图, ∵BD平分∠ABC,∠ACB=90°, ∴EF=CE=2, ∵AB=6, ∴△ABE的面积=12AB·EF=12×6×2=6. ∠B＝∠E或∠A＝∠D 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 14 .(2023贵州遵义八中月考)如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,∠BCA=90°,CA=CB,E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=90°.求证:BE=CF. 证明　∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°, ∴∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°, ∴∠BCE=∠CAF, 在△BCE和△CAF中, ∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF. 分层练习-巩固 15.如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,∠BCA=60°,CA=CB,E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=α,当α=　　　　时,上题中BE=CF仍然成立,请说明理由.  解析　当α=120°时,BE=CF仍然成立, 理由:∵∠BEC=∠CFA=120°, ∴∠CBE+∠BCE=180°-120°=60°, ∵∠BCE+∠ACF=∠BCA=60°,∴∠CBE=∠ACF, 在△BCE和△CAF中, ∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF. 分层练习-巩固 16.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),求点B的坐标. 解析　过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E, ∴∠ACD+∠CAD=90°, ∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE, 在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB=90°,∠CAD=∠BCE,AC=CB, ∴△ADC≌△CEB(AAS),∴DC=BE,AD=CE, ∵点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3), ∴OC=2,AD=CE=3,OD=6, ∴CD=OD-OC=6-2=4,OE=CE-OC=3-2=1, ∴BE=4,∴点B的坐标是(1,4). 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 19. 在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连接AD. (1)如图①,当点D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ACD=　　　　;  (2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD(用含m,n的式子表示); (3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC的值. 分层练习-拓展 (1)如图,过A作AE⊥BC于E, ∵点D是BC边的中点,∴BD=DC, ∴S△ABD∶S△ACD=12BD·AE∶12CD·AE=1∶1. (2)如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF, ∵AB=m,AC=n, ∴S△ABD∶S△ACD=12AB·DE∶12AC·DF=m∶n. 分层练习-拓展 (3)∵AD=DE,∴由(1)知S△ABD∶S△BDE=1∶1, ∵S△BDE=6,∴S△ABD=6, ∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB, ∴由(2)知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1, ∴S△ACD=3,∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9. 分层练习-拓展 证明： ∠B＝∠D ∠ACB＝∠ECD AC＝EC， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴BC＝DC. 在△ABC和△EDC中， ∵∠BCE＝∠DCA， ∴∠BCE＋∠ECA＝∠DCA＋∠ECA， ∴∠ACB＝∠ECD， 如图，已知EC=AC，∠B=∠D，∠BCE=∠DCA. 求证：BC=DC. 课堂反馈 利用“AAS”（角角边）定理证明三角形全等 角平分线所在的直线 相等 课堂反馈 D C C 课堂反馈 用“角角边(AAS)”判定两个三角形全等 角角边(AAS) 内容 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”) 应用 格式 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS) 图形 表示        课堂小结 角平分线的性质 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 (1)已知两边 思路一(找第三边) 思路二(找角)   AB=DE,BC=EF 首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等 ①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用“SAS”判定全等;②找直角:用“HL”判定全等 (2)已知两角 思路一(找夹边) 思路二(找角的对边)   ∠A=∠D,∠B=∠E 首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等 首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用“AAS”判定全等 (3)已知一边一角 思路一(找夹角的另一边) 思路二(找夹边的另一角) 思路三(找边的对角)   边为角的邻 边:AB=DE, ∠B=∠E 首先找出BC=EF,然后应用“SAS”判定全等 首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全等 首先找出∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等 边为角的对边:AC=DF,∠B=∠E 找边的邻角对应相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等 课堂小结 灵活选用适当的定理证明三角形全等 2.如图，已知△ABC是锐角三角形，BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，BE、CF相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝ . 1．如图，已知∠1＝∠2，∠APC＝∠CPB，则下列结论错误的是(　　) A．PA＝PB B．P是CD中点 C．CD平分∠ADB D．∠DAP＝∠DBP 2．如图，AC和BD交于O，若OA＝OD，用“AAS”证明△AOB≌△DOC，可以添加(　　) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠D 3．如图，AB⊥AD，CB⊥CD，填空：(填“ASA”或“AAS”) (1)已知AO＝CO，利用 可以判定△ABO≌△CDO； (2)已知∠ABD＝∠CDB，利用 可以判定△ABD≌△CDB. 4．如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD. 解：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA，在△ADB与△BCA中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠DBA,AB＝BA,∠DAB＝∠CBA))，∴△ADB≌△BCA(ASA)，∴BC＝AD. 5．(昆明中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠DAE,AB＝AD,∠B＝∠D))，∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴BC＝DE. 11．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加一个条件为 (答案不唯一，只需填一个)． 12．(广州中考)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE. 证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE和△CFE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FCE,∠ADE＝∠F,DE＝EF))， ∴△ADE≌△CFE(AAS)． 13．(黄石中考)如图，AB＝AE，AB∥DE， ∠DAB＝70°，∠E＝40°. (1)求∠DAE的度数； (2)若∠B＝30°，求证：AD＝BC. (1)解：∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠CAB＝∠E＝40°.∵∠DAB＝70°， ∴∠DAE＝∠DAB－∠CAB＝30°； (2)证明：由(1)可得∠DAE＝∠B＝30°.又∵AE＝AB，∠E＝∠CAB，∴△DAE≌△CBA，∴AD＝BC. 17．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD＋∠BND＝180°.试说明：DM＝DN. 解：过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.又∵∠BMD＋∠DME＝180°，∠BMD＋∠BND＝180°，∴∠DME＝∠BND.在△FND和△EMD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠DFN＝∠DEM,∠FND＝∠EMD,DF＝DE))，∴△FND≌△EMD(AAS)．∴DM＝DN. 18．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E. (1)说明：DE＝BD＋CE； (2)如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请说明你的结论． 解：(1)∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＋∠CAE＝90°，∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴AD＝EC，AE＝DB，∴DE＝AD＋AE＝BD＋EC，即DE＝BD＋EC；　 (2)存在．DE＝BD－EC，由△ADB≌△CEA，∴AD＝EC，BD＝AE，∴DE＝AE－AD＝BD－EC. 角平分线的性质 角是轴对称图形，对称轴是它的 ；角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离 ；三角形三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 1.　如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　) A．PC＝PD　　　　　　　 B．OC＝OD　　　　　　　 C．∠CPO＝∠DPO　　　　　　　 D．OC＝PC 角平分线的画法 2.　如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　) ①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于eq \f(1,2)DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① $$