第05讲 尺规作图（1个知识点+7大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第05讲 尺规作图（1个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 ①掌握尺规作图的方法； ②学会用尺规作图画角、画边； ①掌握尺规作图的方法； ②学会用尺规作图画角、画边； 知识点01：尺规作图 尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、 2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、 3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高  作法：有规定名称时需格外注意字母的标注 注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。  【即学即练1】 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（   ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 【即学即练3】 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 题型01 尺规作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段a和． 作一个，使，，．（要求：不写作法，保留作图痕迹）      2．（23-24八年级上·陕西延安·期中）在中，点是上一点，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    4．（22-23七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知，利用尺规作，使．（保留作图痕迹，不写作法）    5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角和平角，在内部求作，使与互补．（不要求尺规作图）    题型02 尺规作角的和、差 6．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 7．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：，求作：，使． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，利用直尺和圆规画，使的大小为．（不写作法，保留作图痕迹．）    10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段； (2)作． 题型03 过直线外一点作这条直线的平行 11．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知，A、B分别是射线上的点． (1)尺规作图；在的内部确定一点C，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在线段上确定一点D，使得，并证明． 12．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，． (1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 15．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 题型04 尺规作图——作三角形 16．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段、、．求作：，使得，，．(保留作图痕迹，不写作法) 18．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 20．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号） ①    ②    ③    ④ 题型05 结合尺规作图的全等问题 21．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 22．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 23．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 24．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； (2)在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 25．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 题型06 作角平分线 26．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，请用尺规作图法作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）    27．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 29．（2024·陕西西安·一模）已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    30．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，将向右平移一定距离后，得到，且E为的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作一个以C为顶点的直角（已知直角除外） 题型07 作垂线 31．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，． (1)利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 32．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，请用尺规作图法作边上的高交于点D．(不写作法，保留作图痕迹) 34．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，点O在直线l外，点A在直线l上，连接．选择适当的工具作图． (1)在直线l上作点B，使得于点B； (2)连接； (3)在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接； (4)在，，中，线段 最短，依据是 ． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． A夯实基础 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（   ） A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） B能力提升 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、两点，作直线，直线分别与、相交于、两点，连接，则图中长度一定与相等的线段是 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 6．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，点在边上． (1)求作，使，并满足点在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你的作图方法，说明的理由． C综合素养 1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 5．（2024·广西南宁·二模）如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 6．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 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C.画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意； D．用三角尺过点P作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意； 故选：B． 【即学即练4】 4．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图—垂直平分线作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质； 根据作图可知为的垂直平分线，进而可得，即可求解 【详解】解：根据作图可知：为的垂直平分线， 故选：A 题型01 尺规作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段a和． 作一个，使，，．（要求：不写作法，保留作图痕迹）      【答案】图见解析 【分析】本题考查基本尺规作图，根据尺规作一个角等于已知角和尺规作线段的步骤画图即可． 【详解】解：如图，即为所求作： 2．（23-24八年级上·陕西延安·期中）在中，点是上一点，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】题考查基本尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，解题的关键是作，由同位角相等两直线平行即可得到． 【详解】如图，点即为所作． 3．（21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，交、于F、G，以点B为圆心，为半径作弧，交于点H，以点H为圆心，为半径作弧，交前弧于点P，连接，如图1，延长到点E，可得，则；如图2，反向延长到点E，可得，则． 【详解】解：如图1，线段为所作．    如图2，线段为所作．    【点睛】此题考查了尺规作图，作角等于已知角，平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 4．（22-23七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知，利用尺规作，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据尺规作图，即倍角作图，即可作图． 【详解】解：如图，即为所作，    【点睛】本题考查了尺规作图知识，解题关键是理解． 5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角和平角，在内部求作，使与互补．（不要求尺规作图）    【答案】见解析 【分析】以O为顶点，为一边，作，即可得出． 【详解】解：如图所示，即为所求．    ． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角及互为补角的两个角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角是解题关键． 题型02 尺规作角的和、差 6．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 7．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：，求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图， 关键是熟练掌握基本作图的方法． 先利用尺规作一个等于已知角的方法作出，然后作出即可． 【详解】如图所示，即为所求． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，利用直尺和圆规画，使的大小为．（不写作法，保留作图痕迹．）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．先作，再作，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求．    10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段； (2)作． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作一个与已知角相等的角以及线段： （1）先画出一条射线，以端点O为圆心，分别以为半径画弧，与射线的交点分别为E点和F点，即可作答． （2）先画出一条射线，以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；故 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图所示： 题型03 过直线外一点作这条直线的平行 11．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知，A、B分别是射线上的点． (1)尺规作图；在的内部确定一点C，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在线段上确定一点D，使得，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、尺规作图；熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作角及线段的作法即可求解； （2）利用证得，进而可求证结论； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）证明：连接，与交点即为D点， ∵， ∴， 又， 由（1）得， ∴在与中， ， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，． (1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先证明，得到，再由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，直线即为所求． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 【详解】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等． 15．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；    （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．    题型04 尺规作图——作三角形 16．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段、、．求作：，使得，，．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-作三角形，首先画，再以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于一点，连接，，即可得到． 【详解】解：如图所示，就是所求的三角形． 18．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作射线，在射线上截取，在的上方分别作，，交于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【答案】见解析 【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求． 【详解】解：如图，或即为所求． 20．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号） ①    ②    ③    ④ 【答案】(1)；； (2)③ 【分析】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识： （1）根据作图信息，利用“”证明三角形全等即可； （2）利用（1）中证明可得结论． 【详解】（1）解：由作图可知，在和中， ， ∴， 故答案为：；； （2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：③． 题型05 结合尺规作图的全等问题 21．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【答案】(1)；， (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可； 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． 故答案为：，，； （2）如图，点即为所求； （3）的面积． 故答案为：． 22．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 23．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； (2)在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （2）根据中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可． 【详解】（1）解：利用轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：利用中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： 【点睛】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，解题的关键是确定点D和点E的位置． 25．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（）为依据作图； （2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（）为依据作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：如图3，即为所求， ． 【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键． 题型06 作角平分线 26．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，请用尺规作图法作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，根据尺规作一个角的平分线的方法，进行作图即可． 【详解】解：即为所求作的的平分线．    27．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据尺规作角平分线的作图方法即可； （2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即． 28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法，在线段上方求作一点，使得点到点和点的距离相等，且到边，的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的作法作出的垂直平分线，再根据角平分线的作法作的角平分线，两线的交点即为所求． 【详解】作线段的垂直平分线，作平分，交于点， 如图所示，点即为所求， 29．（2024·陕西西安·一模）已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：点P即为所求．    30．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，将向右平移一定距离后，得到，且E为的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作一个以C为顶点的直角（已知直角除外） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线及作垂线， （1）尺规作出的平分线即可； （2）尺规过点C作垂线即可； 【详解】（1）解：的平分线即为所求； （2）即为所求作直角． 题型07 作垂线 31．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，． (1)利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质： （1）根据作已知线段的垂直平分线的作法画出图形，即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到的周长为：，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：因为是的垂直平分线． 所以．     所以的周长为：，     因为，． 所以的周长为：． 32．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可． 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在和中 ， ． 33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，请用尺规作图法作边上的高交于点D．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】见解析 【分析】本题考查作垂线，过点C作于点D，则为所求． 【详解】解：如图，线段为所求． 34．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，点O在直线l外，点A在直线l上，连接．选择适当的工具作图． (1)在直线l上作点B，使得于点B； (2)连接； (3)在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接； (4)在，，中，线段 最短，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)；垂线段最短 【分析】本题考查作图-基本作图，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）作直线即可； （2）连接即可； （3）在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接即可； （4）根据垂线段最短即可． 【详解】（1）解：如图，点B即为所求； （2）解：如图，连接即可； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：根据垂线段最短可知，线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点H； ②作边的垂直平分线，垂足为点D，交于点O； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质． （1）利用尺规作图作出角平分线，线段垂直平分线即可； （2）证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）证明：由作图知，又，， ∴， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． A夯实基础 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（   ） A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①⑤②④③． 故选：A． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 【答案】4 【分析】 本题考查了角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线的交点不要漏掉，思考问题要全面．加油站到三条公路的距离相等，那么加油站应该建在的内角角平分线的交点处或外角的角平分线的交点处，故满足要求的加油站位置共有4个，作出其中一个即可． 【详解】解：满足要求的加油站位置共有4个，如图所示，点即为所求．（答案不唯一，画出，，也可以） 故答案为：4． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线，熟悉作图步骤是解答的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】解：如图，射线即为所求作： 6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， B能力提升 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图—垂直平分线作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质； 根据作图可知为的垂直平分线，进而可得，即可求解 【详解】解：根据作图可知：为的垂直平分线， 故选：A 2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由题可知，是的角平分线， 点P到和的距离相等， ，， ， 点D到的距离为的长，即点D到的距离为3， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 3．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、两点，作直线，直线分别与、相交于、两点，连接，则图中长度一定与相等的线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂直平分线的做法及其性质，根据作图可知为线段的垂直平分线，则有成立． 【详解】解：根据作图可知为线段的垂直平分线，则， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：40． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可． 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在和中 ， ． 6．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，点在边上． (1)求作，使，并满足点在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】题目主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，如图所示即为所求； （2）根据作图得：，，， ∴． C综合素养 1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，由角平分线的定义得，求出，然后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图知，平分， ∴． 由作图知，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，尺规作图，直角三角形两锐角互余，以及对等角相等，理解作图的含义是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， 的周长为， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故答案为：8． 4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 5．（2024·广西南宁·二模）如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握作图方法是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作图方法作出图形即可； （2）根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 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