精品解析：山东省泰安市岱岳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学练习题 2024.07 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 如图：直线，若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 边长为4的菱形较小内角的度数是，则该菱形较长对角线的长度是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 4. 如图，D是边上一点，能使的条件是（ ） A. B. C D. 5. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与位似，点B为位似中心，与的周长之比为，若点B坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线恰好经过点D，与边交于点E，连接、相交于点F．以下四个结论中：①；②是等边三角形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ） A B. C. D. 12. 如图，已知正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围是______． 14. 用配方法解一元二次方程时，将方程转化成的形式为______． 15. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽为，则可列方程为____________________． 16. 如图，矩形纸片的对角线，相交于点O，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在点O处，折痕为，点E在边上，则的长为______． 17. 如图，等边的边长为3，点D是边上一点，，点E在边上，，则线段的长为______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 三、解答题：（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算 （2）已知直角三角形的两条直角边，，求该直角三角形斜边c的长． 20. 解方程： （1） （2） 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 180 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1200 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 22. 如图，四边形是平行四边形，作交的延长线与E，C为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 23. 如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的边长． 24. 某蔬菜种植园2021年种植西红柿，平均每亩的利润是2000元．2022年改种新品种，每亩平均利润有所增长．2023年该种植园引入电商销售，平均每亩利润增长率是2022年平均每亩利润增长率的两倍，2023年该种植园平均每亩的利润是2640元．求该种植园2023年每亩平均利润的增长率是多少？ 25. 如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）在图①中，求的值： （2）如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学练习题 2024.07 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，乘法与除法运算，二次根式的化简，熟记运算法则是解本题的关键．根据二次根式的加减运算可判断A，根据二次根式的除法运算可判断B，根据二次根式的性质化简可判断C，根据二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 2. 如图：直线，若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．根据，得到，代入数值求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，而，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 3. 边长为4的菱形较小内角的度数是，则该菱形较长对角线的长度是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定，解题关键是熟练运用菱形的性质和等边三角形的判定求出对角线长．根据一个内角为可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解． 【详解】解：如图，菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， 菱形的边长为4， ∴， ∴， 在中，， ∴菱形较长的对角线长是：． 故选：D． 4. 如图，D是边上一点，能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例，其两边夹角相等，两三角形相似”逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， 当时，不能证明，故A选项不符合题意； 当时，不能证明，故B选项不符合题意； 当时，则，能证明，故C选项符合题意； 当，即时，不能证明，故D选项不符合题意； 故选C． 5. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有实数根即．根据一元二次方程有实数根可得，直接求解即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得． 故选：B． 6. 要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、一组对角为直角的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键；利用直角三角形的两个锐角互余证明，，证明，，，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵，于点D， ∴，， ∴， 同理可得：，故A不符合题意； ∵，， ∴；故B不符合题意； 同理可得：， ∴， ∴，故C符合题意； 同理可得：， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选C． 8. 如图，与位似，点B为位似中心，与的周长之比为，若点B坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据周长比确定相似比，由点得坐标确定的，即可求解、长度，便可求解点的坐标． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，与的周长之比为， ∴，相似比为， 即， 又∵坐标为， ∴， 且直线为， ∴，， ∴， ∴的坐标为． 故答案为：A． 9. 如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线恰好经过点D，与边交于点E，连接、相交于点F．以下四个结论中：①；②是等边三角形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．相似三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，利用基本作图得到垂直平分，则根据相等垂直平分线的性质得到，，，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，所以，从而得到，于是可对①②③进行判断；利用菱形的性质得到，，所以，则利用相似三角形的判定与性质，于是可对④进行判断． 详解】解： 由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 是等边三角形， 所以②正确； 是等边三角形， ， ， ， 所以①正确； 四边形为菱形， ，， ，， ， ， 所以③正确； ，， ， ， ， ， 所以④错误． 故选：C 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，据此设较短线段的长度为，，列出成比例的线段的关系式，利用公式法解一元二次方程，舍去不符合题意的根即可解题． 【详解】解：设较短线段的长度为，则，由题意得， 即 整理得 （舍去）， 即 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割、成比例线段，涉及公式法解一元二次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这款文创产品每件降价元， 根据题意可列方程为：， 故选：． 12. 如图，已知正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形和矩形的性质是解题的关键．利用正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①四边形为正方形， ， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ①的结论正确； ②，，， 和为等腰直角三角形， ， 四边形的周长， ②的结论正确； ③连接，如图， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ． ． 由①知：四边形为矩形， ， ． ③的结论正确； ④由③知：， 当取最小值时，取得最小值， 点是对角线上一点， 当，即点为对角线的中点时，的值最小，此时， 的最小值为， ④的结论错误， 综上，正确结论的序号为：①②③， 故选：C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式再解答即可． 【详解】解：∵ ∴6-3x≥0，即． 故填． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关键． 14. 用配方法解一元二次方程时，将方程转化成的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据配方法即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽为，则可列方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设道路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，可列出关于x的一元二次方程． 16. 如图，矩形纸片的对角线，相交于点O，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在点O处，折痕为，点E在边上，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形性质，熟知矩形的对角线互相平分，再利用折叠的性质得出相等的线段，以此得到为等边三角形是解题关键．根据矩形的性质可得，，，由折叠可知，，进而可得，则为等边三角形，，于是可求出，，利用含30度的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，， ，，， 由折叠可知，，， ， 为等边三角形，， ， ， 在中，， 在中，，． 故答案为：4． 17. 如图，等边的边长为3，点D是边上一点，，点E在边上，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力．根据等边三角形性质求出，推出，证，得出，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算 （2）已知直角三角形的两条直角边，，求该直角三角形斜边c的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）直接利用勾股定理列式计算即可； 【详解】解：（1） ； （2）∵直角三角形两条直角边，， ∴ ； 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， 所以，； 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上 【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录； 【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 180 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1200 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，作于，交于，证明四边形、、是矩形，，再利用相似三角形的性质可得答案； 【详解】解：如图，作于，交于， 由题意得：，，， ，四边形、、是矩形， ，，， ∴，， ∵， ， ， ， ， ． ∴旗杆的高度为； 22. 如图，四边形是平行四边形，作交的延长线与E，C为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，即，再根据线段中点的定义得到，则四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质得到，由此即可证明四边形是菱形； （2）先求出，进而利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，据此利用菱形的性质求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形平行四边形， ∴，即， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，C为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形； ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． 23. 如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形性质结合三角形的外角的性质证明，，从而可得结论； （2）利用相似三角形的性质与等边三角形的性质建立方程求解即可； 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：， ， 是等边三角形， ， ． ∵，， ∴， ∴； 24. 某蔬菜种植园2021年种植西红柿，平均每亩的利润是2000元．2022年改种新品种，每亩平均利润有所增长．2023年该种植园引入电商销售，平均每亩利润增长率是2022年平均每亩利润增长率的两倍，2023年该种植园平均每亩的利润是2640元．求该种植园2023年每亩平均利润的增长率是多少？ 【答案】2023年每亩平均利润的增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，有关增长率问题的等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②增产量＝原产量×增长率；③现在的产量＝原产量×（1＋增长率）．设2022年平均每亩利润增长率为x，则2023平均每亩利润增长率为，结合2023年该种植园平均每亩的利润是2640元建立方程求解即可． 【详解】解：设2022年平均每亩利润增长率为x，则2023平均每亩利润增长率为， 依题意得：， 化简得， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴； 答：2023年每亩平均利润的增长率为． 25. 如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）在图①中，求的值： （2）如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，相似的判定与性质等，解题的关键是利用特殊角作辅助线构造特殊三角形． （1）由正方形的性质可得，，可证，，可得，由平行线分线段成比例可得； （2）由正方形的性质可得，即可证，可得，则． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 理由如下： 如图②，四边形，四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，且， ， ， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$