第14讲 正比例函数 （3个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第14讲 正比例函数 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【例1】下列函数（其中是自变量）中，一定是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是　　 A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高 【变式2】（2022秋•青浦区校级期末）定义，为一次函数的特征数，若特征数为，的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 　　． 【变式3】（2020秋•金山区校级期中）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则　　． 知识点2．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【例2】已知函数；．，． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数；在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为　　． 【变式1】（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【变式2】正比例函数的图象平分第　　象限． 【变式3】在同一坐标平面内画出下列各组函数的图象（不写画法） （1）和； （2）和； （3）和； （4）和． 知识点3．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【例3】（2020秋•闵行区期末）函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•静安区期中）正比例函数的图象经过第　　象限． 【变式2】（2021秋•杨浦区校级期中）若是关于的正比例函数，则该函数图象经过的象限是　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【变式3】（2023秋•黄浦区期末）在正比例函数中，当时，，那么　　． 经典题型汇编 题型一．正比例函数的定义 1．（2022秋•奉贤区校级期中）下列关于的函数中，是正比例函数的为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•杨浦区期中）已知是正比例函数，那么　　． 3．（2022春•宁陵县期末）已知是关于的正比例函数，求当时，的值． 题型二．正比例函数的图象 4．正比例函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 5．在八年级探究正比例函数为常数，的图象时，小蒋同学列表如表，则表中的值为 　　． 0 1 2 0 12 6．画函数的图象． 题型三．正比例函数的性质 7．（2023秋•闵行区校级期末）已知正比例函数，那么它的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 8．（2023秋•静安区校级期末）函数为常数）中，的值随的增大而减小，那么的取值范围是 　　． 9．（2022秋•雁塔区校级期中）已知正比例函数． （1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？ （2）点在它的图象上，求它的表达式． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．（2023秋•水城区期中）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•宝山区校级期末）正比例函数经过点，则此函数的解析式为 　　． 12．（嘉定区期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海·期末）若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A．A B．B C．C D．D 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 8．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 9．（21-22八年级上·上海宝山·期中）如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图像上，那么n＝ ． 10．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）直线经过第 象限． 13．（21-22八年级上·上海松江·期末）正比例函数图像经过点（1，-1），那么k= ． 14．（21-22八年级上·上海静安·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 . 15．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 ． 16．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 17．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 18．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图为正比例函数（为常数）的图像，那么的取值范围是 ． 三、解答题 19．（22-23八年级·上海·假期作业）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 20．（2022八年级上·上海·专题练习）已知正比例函数过点，点P在正比例函数图像上，又且，求点P的坐标． 21．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值． 22．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知y与x成正比例，且当x=时，y=， 求（1）y关于x的函数解析式？ （2）当y=-2时，x的值？ 23．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 24．（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 25．（20-21八年级上·上海黄浦·期中）已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上． （1）求k的值； （2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值． 26．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 27．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 正比例函数 （3个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 【例1】下列函数（其中是自变量）中，一定是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数的定义对各小题进行逐一判断即可． 【解答】解：、是反比例函数； 、是正比例函数； 、是一次函数； 、当时，不是正比例函数． 故选：． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，熟记正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数的定义是解答此题的关键． 【变式1】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是　　 A．圆的面积和它的半径 B．长方形的面积一定时，它的长和宽 C．正方形的周长与边长 D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高 【分析】根据正比例函数的定义解决此题． 【解答】解：．设圆的半径为，面积为，则，那么与不是正比例关系，故不符合题意． ．设长方形的面积为，长为，宽为，则，那么与成反比例函数关系，故不符合题意． ．设正方形的边长为，周长为，那么，那么与成正比例关系，故符合题意． ．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 【变式2】（2022秋•青浦区校级期末）定义，为一次函数的特征数，若特征数为，的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 　　． 【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定的值． 【解答】解：根据题意，特征数是特征数为，的一次函数表达式为：． 因为此一次函数为正比例函数，所以， 解得：． 故正比例函数为， 故答案为：． 【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大． 【变式3】（2020秋•金山区校级期中）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则　2　． 【分析】由正比例函数的定义，以及图象的位置进行取舍，可求得的值． 【解答】解：为正比例函数， ，且， 解得， 图象在一、三象限， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍． 知识点2．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【例2】已知函数；．，． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数；在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为　　． 【分析】（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【解答】解：（1）如图： （2）观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的夹角越小． （3）由（2）规律可知，， 故答案为． 【点评】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． 【变式1】（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：， 函数的值随自变量的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地理解题意是解题的关键． 【变式2】正比例函数的图象平分第　二、四　象限． 【分析】根据正比例函数的性质判断出正比例函数的图象所经过的象限，进而可得出答案． 【解答】解：， 一次函数的图象经过第二、四象限，且平分第二、四象限． 故答案为：二、四． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 【变式3】在同一坐标平面内画出下列各组函数的图象（不写画法） （1）和； （2）和； （3）和； （4）和． 【分析】根据“两点确定一条直线”作出图象； （1）函数图象经过原点，则把代入相应的函数解析式求得相应的值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象； （2）函数图象经过原点，则把代入相应的函数解析式求得相应的值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象； （3）函数图象经过原点，则把代入相应的函数解析式求得相应的值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象； （4）函数图象经过原点，则把代入相应的函数解析式求得相应的值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象． 【解答】解：（1）如图所示： ； （2）如图所示： ； （3）如图所示： ； （4）如图所示： ． 【点评】本题考查了正比例函数图象．正比例函数的图象是经过原点的一条直线． 知识点3．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【例3】（2020秋•闵行区期末）函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出的取值范围． 【解答】解：函数是正比例函数，且随的增大而减小， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 【变式1】（2022秋•静安区期中）正比例函数的图象经过第　一、三　象限． 【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过一、三象限． 【解答】解：由题意可知函数的图象过一、三象限． 故答案为一、三． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，根据函数式判断出函数图象的位置是解题的关键． 【变式2】（2021秋•杨浦区校级期中）若是关于的正比例函数，则该函数图象经过的象限是　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【分析】根据正比例函数的定义确定的值，进而利用正比例函数的性质解答即可． 【解答】解：是关于的正比例函数， ， ， ， 该函数图象经过的象限是第二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的一般形式是解答本题的关键，难度不大． 【变式3】（2023秋•黄浦区期末）在正比例函数中，当时，，那么　2　． 【分析】直接把，代入正比例函数，求出的值即可． 【解答】解：正比例函数中，当时，， ，解得． 故答案为：．2 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．正比例函数的定义 1．（2022秋•奉贤区校级期中）下列关于的函数中，是正比例函数的为　　 A． B． C． D． 【分析】正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 【解答】解：．的自变量的次数是，故此选项不符合题意； ．是正比例函数，故此选项不符合题意； ．的自变量的次数是2，故此选项不符合题意； ．是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•杨浦区期中）已知是正比例函数，那么　2　． 【分析】根据正比例函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键 3．（2022春•宁陵县期末）已知是关于的正比例函数，求当时，的值． 【分析】利用正比例函数的定义得出的值即可，得到函数解析式，代入的值，即可解答． 【解答】解：当，且时，是的正比例函数， 故时，是的正比例函数， ， 当时，． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 题型二．正比例函数的图象 4．正比例函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据和正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：， 正比例函数的图象经过二、四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查对正比例函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用正比例函数的性质进行说理是解此题的关键． 5．在八年级探究正比例函数为常数，的图象时，小蒋同学列表如表，则表中的值为 　6　． 0 1 2 0 12 【分析】先根据对应值求出正比例函数的关系式，再把代入可得的值． 【解答】解：把代入得，， 与的关系式为， 当时，， 故答案为：6． 【点评】本题考查正比例函数的图象，根据题意求出正比例函数的关系式是解题关键． 6．画函数的图象． 【分析】函数是正比例函数，图象是经过，，点的直线． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数图象是经过原点的直线． 题型三．正比例函数的性质 7．（2023秋•闵行区校级期末）已知正比例函数，那么它的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】首先确定比例系数的符号，然后再由正比例函数的性质求解即可． 【解答】解：， 图象过二、四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查正比例函数的概念及图象的性质，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 8．（2023秋•静安区校级期末）函数为常数）中，的值随的增大而减小，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据正比例函数性质解答即可． 【解答】解：，时，的值随的增大而减小， ，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数性质是解答本题的关键． 9．（2022秋•雁塔区校级期中）已知正比例函数． （1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？ （2）点在它的图象上，求它的表达式． 【分析】（1）根据正比例函数图象的性质，得； （2）只需把点的坐标代入即可计算． 【解答】解：（1）函数图象经过第二、四象限， ； （2）当，时，则， 即：． 【点评】掌握正比例函数图象的性质：，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．（2023秋•水城区期中）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点　　 A． B． C． D． 【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算． 【解答】解：设正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图象经过点， 所以， 解得：， 所以， 把这四个选项中的点的坐标分别代入中，等号成立的点就在正比例函数的图象上， 所以这个图象必经过点． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的知识．关键是先求出函数的解析式，然后代值验证答案． 11．（2022秋•宝山区校级期末）正比例函数经过点，则此函数的解析式为 　　． 【分析】把点代入正比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【解答】解：正比例函数经过点， ， 解得． 所以该函数解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 12．（嘉定区期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 【分析】（1）根据正比例函数的定义可设，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值． 【解答】解：（1）与成正比例， 设， 当时，， ，解得， 与之间的函数关系式为； （2）把代入得； 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：根据正比例函数的定义可知，A选项中的函数是正比例函数，B、C、D三个选项中的函数不是正比例函数， 故选A． 2．（21-22八年级上·上海·期末）若、、三点都在函数的图像上，那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于k＜0时，函数y随x的增大而减小．又因为，所以． 【详解】解：∵k<0， ∴函数的y值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 3．（21-22八年级上·上海杨浦·期中）已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（　　）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义知，函数值与自变量的比值为定值，所以求得四个点的纵坐标与横坐标的比，即可知结果． 【详解】由于点A、B、D三个点的纵坐标与横坐标的比相等，即，但点C的纵坐标与横坐标的比 即点C与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及正比例函数的图象，掌握正比例函数的定义与图象是关键． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质，求解即可． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又∵， ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的有关性质． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据y随x的增大而减小，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（21-22八年级上·上海宝山·期中）如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图像上，那么n＝ ． 【答案】 【分析】设过的正比例函数为： 求解的值及函数解析式，再把代入函数解析式即可. 【详解】解：设过的正比例函数为： 解得： 所以正比例函数为： 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，正比例函数的性质，熟练的利用待定系数法列方程是解本题的关键. 10．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限， ∴k﹣2＜0， 解得，k＜2． 故填：k＜2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）直线经过第 象限． 【答案】二 、四 【分析】根据正比例函数的图象即可解答． 【详解】解：∵的， ∴直线经过第二、四象限， 故答案为：二 、四． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当时，函数经过一、三象限，当时，函数经过二、四象限． 13．（21-22八年级上·上海松江·期末）正比例函数图像经过点（1，-1），那么k= ． 【答案】-2 【分析】由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-1=k+1，即可得出k值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点（1，-1）， ∴-1=k+1， ∴k=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键． 14．（21-22八年级上·上海静安·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 . 【答案】− 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2−1＝1，且m−1≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m−1＜0，进而确定m． 【详解】解：由题意得：m2−1＝1，且m−1≠0， 解得：m＝±， ∵图象经过第二、四象限， ∴m−1＜0， 解得m＜1， ∴m＝−， 故答案为：−． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 15．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由题意可设，把，的值代入该函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意可设． 将，代入可得， 解得， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用待定系数法求得解析式是关键． 16．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键． 17．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图为正比例函数（为常数）的图像，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质；由正比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵的图象位于第二、四象限， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．（22-23八年级·上海·假期作业）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）；     （2）；             （3）；         （4）． 【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数 【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可． 【详解】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数． 【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念． 20．（2022八年级上·上海·专题练习）已知正比例函数过点，点P在正比例函数图像上，又且，求点P的坐标． 【答案】P点坐标为或． 【分析】先求得正比例函数的解析式，再设出P点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于n的方程，解方程即可． 【详解】解：设正比例函数为， ∵， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为：． 设， ∵，． ∴ ， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此题的关键． 21．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值． 【答案】正比例函数的解析式为：，． 【分析】设正比例函数为，将代入求得解析式，再将代入求得即可． 【详解】解：设正比例函数为， 将代入，可得，解得，即， 将代入可得，，解得， 正比例函数的解析式为：，． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 22．（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知y与x成正比例，且当x=时，y=， 求（1）y关于x的函数解析式？ （2）当y=-2时，x的值？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y＝（k≠0），再把x=时，y=代入即可算出k的值，进而得到解析式； （2）把y=-2代入函数解析式即可． 【详解】（1）设， 把x=，y=代入得＝， ∴， 故y关于x的函数解析式是． （2）把y=-2代入解析式中，得， 解得． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数解析式的形式． 23．（21-22八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则正比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 设点的坐标为，则， 的面积是， ，即， 解得或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 24．（22-23八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，且过点，求这个正比例函数的解析式． 【答案】 【分析】由正比例函数过点，可求得k的值，再由函数图象经过第一、三象限，可确定k为正，从而最终确定k的值，从而得到正比例函数解析式． 【详解】过点， ， 解得：，， 由于函数图象经过第一、三象限，所以， 故不合题意， ， 故所求正比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的图象与性质，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键． 25．（20-21八年级上·上海黄浦·期中）已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上． （1）求k的值； （2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上 ∴-4＝2k 解得：k＝-2； （2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x ∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上 ∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2． 【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解． 26．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【分析】（1）根据题意，得到，由直线（），交边于点，可知与重合时，最小；与重合时，最大；将点的坐标代入解析式求出值即可得到答案； （2）根据题意，有三种情况：当直线交于时；当直线经过点时；当直线交于点时；分别求解即可得到答案； （3）由（2）中分类，结合，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形边，， ， ∵直线（），交边于点， ∴直线（）经过一、三象限， ∴， 把代入（），得，解得， ∴的取值范围为； （2）解：根据题意，有三种情况： ①当直线交于时，联立，解得， ∴， ∴，即（）； ②当直线经过点时，； ③当直线交于点时，联立，解得， ∴，即（）； 综上所述，关于的解析式为； （3）解：能， ∵，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7， ①当直线交于时，， ∵， ∴，解得； ②当直线交于点时，， ∵， ∴，解得； 综上所述，直线（），将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7时，的值为或． 【点睛】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、正比例函数图象与性质、正比例函数的取值范围、不规则图形面积的间接表示、三角形面积等知识，读懂题意，熟记正比例函数图象与性质，数形结合，准确分类是解决问题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$