第07讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（14类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第07讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 （14类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 函数的单调性与基本不等式结合 2023年北京卷，第4题，4分 函数单调性的判断 2021年北京卷，第3题，4分 利用函数的单调性求最值与充分必要条件结合 2020年北京卷，第15题，5分 函数基本性质的综合应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】函数的性质五年四考，是北京高考的高频考点. 【备考策略】 1.通过借助函数的图象，进一步理解函数的单调性、最值及其几何意义； 2.会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题； 3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 4.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断简单函数的周期性. 【命题预测】主要以选择填空题为主，考查难度中等偏上. 知识讲解 知识点一 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数． 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数． 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点二 函数的最大值 1、函数最值的定义 （1）最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)． （2）最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)． 2、最值的几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 3、函数最值存在的两条结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 知识点三 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点四 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 知识点五 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 考点一、确定函数的单调性（区间） 【典例1】（23-24高三下·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二、利用函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（22-23高三上·北京·期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三、利用函数的单调性求最值 【典例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）的最大值为 ． 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）函数的最小值为 . 1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则的最大值为 （   ） A． B． C． D． 2．求函数的值域． (1) (2) 考点四、根据函数的最值求参数 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【典例2】（22-23高三上·北京·开学考试）设函数，若函数存在最小值，则的最大值为 . 1．（23-24高三上·山东临沂·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 考点五、函数奇偶性的判断与证明 【典例1】（23-24高三下·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 考点六、已知函数的奇偶性求参数 【典例1】（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·江苏连云港·二模）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 1．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）若是奇函数，则 ， ． 2．（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点七、已知函数的奇偶性求函数值 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）设偶函数对任意，都有，当时，．则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·北京西城·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则 . 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．10 C．100 D．1000 考点八、奇函数+常数模型应用 【典例1】（23-24高三下·四川·联考）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【典例2】（23-24高三下·陕西·阶段练习）已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 1．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 2．（22-23高三上·河北·阶段练习）若函数在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 考点九、利用奇偶性、单调性解不等式 【典例1】（22-23高三下·北京海淀·模拟预测）已知偶函数的定义域为R，且当时，，则不等式的解为 ． 【典例2】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·北京海淀·开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十、利用奇偶性与单调性比较大小 【典例1】（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京·零模）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·陕西渭南·阶段练习）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点十一、利用周期性求函数值 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数为奇函数，，若当时，，则 ． 1．（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 考点十二、类周期函数的应用 【典例1】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ． 1．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 2．（22-23高一下·河南焦作·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 . 考点十三、函数对称性的应用 【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【典例2】（23-24高三下·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 1．（23-24高三下·四川成都·三模）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 2．（23-24高三下·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 考点十四、函数性质的综合应用 【典例1】（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则是（    ） A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减 C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则在上是（    ）. A．增函数且 B．增函数且 C．减函数且 D．减函数且 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，．给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为．其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高三下·北京大兴·三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 1．（23-24高三下·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·北京昌平·二模）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24高三下·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·安徽淮北·二模）若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·北京房山·二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的值域为 ． 1．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 3．（24-25高三上·河南·七月联考）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4．（23-24高三下·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 5．（22-23·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 6．（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 7．已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则在上的最大值是 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（23-24高三下·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 6．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的单调、奇偶性、周期性与对称性 （14类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 函数的单调性与基本不等式结合 2023年北京卷，第4题，4分 函数单调性的判断 2021年北京卷，第3题，4分 利用函数的单调性求最值与充分必要条件结合 2020年北京卷，第15题，5分 函数基本性质的综合应用 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】函数的性质五年四考，是北京高考的高频考点. 【备考策略】 1.通过借助函数的图象，进一步理解函数的单调性、最值及其几何意义； 2.会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题； 3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 4.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断简单函数的周期性. 【命题预测】主要以选择填空题为主，考查难度中等偏上. 知识讲解 知识点一 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数． 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数． 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点二 函数的最大值 1、函数最值的定义 （1）最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)． （2）最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)． 2、最值的几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 3、函数最值存在的两条结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 知识点三 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点四 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 知识点五 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 考点一、确定函数的单调性（区间） 【典例1】（23-24高三下·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：，则， 当时，所以在上单调递增，故C错误； 对于D：在定义域上单调递增，故D错误.故选：B 【典例2】（23-24高三下·北京平谷·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在区间上单调递增，A不是； 函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是.故选：C 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递减，不符合题意； 在上不单调，不符合题意； 因为，则在上不单调，不符合题意； 在上单调递增，符合题意.故选：D. 2．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，在上单调递增，不合要求，错误； B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误； D选项，令得，，在上单调递增， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D 考点二、利用函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A. 【典例2】（22-23高三上·北京·期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是上的减函数，故，故，故选：C 1．（23-24高三下·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为.故选：C 2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A 考点三、利用函数的单调性求最值 【典例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）的最大值为 ． 【答案】 【解析】由，故，而， 所以，当时，即函数的最大值为. 故答案为： 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）函数的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则， 又函数在上单调递增， 所以当，即时， 函数有最小值， 故答案为：. 1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则的最大值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，在上单调递增， 此时，， 当时，在上单调递减， 此时，， 综上可知，的最大值为.故选：B. 2．求函数的值域． (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故值域为； （2），由对勾函数性质得， 在上单调递增，在上单调递减， 其中当时，， 当时，，当时，， 故值域为 考点四、根据函数的最值求参数 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）.故选：C. 【典例2】（22-23高三上·北京·开学考试）设函数，若函数存在最小值，则的最大值为 . 【答案】 【解析】当时，函数单调递减，所以有， 当时，函数在上单调递增，此时， 因为存在最小值， 所以有，而，所以， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时当时，函数有最小值为， 因为存在最小值， 所以有，而，所以， 综上所述：，所以的最大值为， 故答案为： 1．（23-24高三上·山东临沂·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是.故选：C 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为.故选：D 考点五、函数奇偶性的判断与证明 【典例1】（23-24高三下·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：因为，所以不是奇函数，故A错误； B：因为的定义域为， 又，所以是奇函数， 又在恒成立， 所以在区间上单调递减，故B正确； C：由正切函数的定义域可得函数在上不连续， 所以在区间上不单调，故C错误； D：因为，所以不是奇函数，故D错误；故选：B. 【典例2】（23-24高三下·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求.故选：C． 1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，函数定义域为，且，为奇函数，A错误； 对于B，函数定义域为，且，为非奇非偶函数，B错误； 对于C，函数定义域为，且，为奇函数，C错误； 对于D，函数定义域为，，为偶函数，D正确. 故选：D 2．（23-24高三下·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【解析】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确.故选：D. 考点六、已知函数的奇偶性求参数 【典例1】（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知定义域为， 由为奇函数可得，即，解得.故选：C. 【典例2】（2023·江苏连云港·二模）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以，所以， ，所以，得，故选：A 1．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 1 1 【解析】因为为奇函数，所以当时，， 所以，. 故答案为：1；1. 2．（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】的定义域为，关于原点对称， 故 所以， 故或（舍去），故选：D 考点七、已知函数的奇偶性求函数值 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）设偶函数对任意，都有，当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是偶函数，所以， 又，所以，即， 则.故选：A 【典例2】（22-23高三上·北京西城·开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵为奇函数， ∴．故选：C 1．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则 . 【答案】/ 【解析】函数在上是奇函数，， . 故答案为：. 2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．10 C．100 D．1000 【答案】C 【解析】因函数为偶函数，则，解得.故选：C. 考点八、奇函数+常数模型应用 【典例1】（23-24高三下·四川·联考）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】定义域为，令， 则， ∴是上的奇函数， ∴， 即，故选：A． 【典例2】（23-24高三下·陕西·阶段练习）已知函数，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由条件得，故， 所以，解得.故选：B. 1．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数， 设， 因为， 所以， 则在上是奇函数，且最大值与最小值之和为零， 当时，函数的最大值与最小值的和为 .故选：B． 2．（22-23高三上·河北·阶段练习）若函数在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为， 令，定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以它的最大值，最小值之和为0，即.故选：C 考点九、利用奇偶性、单调性解不等式 【典例1】（22-23高三下·北京海淀·模拟预测）已知偶函数的定义域为R，且当时，，则不等式的解为 ． 【答案】 【解析】令，则时，， 对于不等式， 当时，等价于且，解之得， 当时，等价于，即，显然恒成立， 综上可知 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数是定义上的奇函数，可得， 即且， 又由，可得， 因为时，单调递增函数且为奇函数，则时，函数也是单调递增函数， 所以不等式，即为或， 可得或， 所以不等式的解集为，故选：D. 1．（22-23高三上·北京海淀·开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则，平方可得，解得， 故答案为： 2．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 所以可化为， 所以，解得．故选：D 考点十、利用奇偶性与单调性比较大小 【典例1】（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以是以为周期的周期函数， 又为偶函数，所以，， 又且在上单调递减， 所以， 即.故选：D 【典例2】（23-24高三下·北京·零模）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数， 从而， 因为在上单调递增， 所以关于在上单调递减， 而，所以.故选：B. 1．（23-24高三下·陕西渭南·阶段练习）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为， 所以，即， 又，所以， 又在区间上单调递减， 所以，即.故选:A. 2．（23-24高三下·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上偶函数，所以， 因为，则，所以， 因为在上单调递增，所以， 即，故选：A． 考点十一、利用周期性求函数值 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题设， 所以是周期为3的奇函数， 则.故选：C 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数为奇函数，，若当时，，则 ． 【答案】 【解析】所以， 所以是周期为的周期函数， 又函数为奇函数，当时，， 所以，即，可得， 则． 故答案为： 1．（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称， 又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称， 所以，所以，即， 所以，则函数的一个周期为4， 对， 令，则，所以， 令，则，又，所以， ， 所以.故选：A 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数为奇函数，则， 即，可得． 又因为，则， 所以，可得， 则，即， 所以.故选：B． 考点十二、类周期函数的应用 【典例1】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故， 因为， 故当时，，， 同理，当时，， 依次类推，可得当时，，其中. 所以当时，必有. 如图所示，因为当时，的取值范围为， 故若对任意，都有，则， 令，或， 结合函数的图象可得，故选：D. 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 / 【解析】由题意得； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故由得， 由此作出函数的大致图象如图：    当时，令，解得或， 结合图象解不等式，可得或， 由于对任意，都有，故， 故答案为：， 1．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为满足，即； 又由，可得，因为当时， 所以当时，，所以，即； 所以当时，，所以，即； 根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立， 根据图像当时，函数与图像交于点， 即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 2．（22-23高一下·河南焦作·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以， 同理可得， 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则，解得， 对任意，都有，只需对任意，函数的图象不在直线的上方即可， 由图知，即t的取值范围是. 故答案为： 考点十三、函数对称性的应用 【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【解析】函数的定义域为，又， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以函数的图象关于点对称.故选：A 【典例2】（23-24高三下·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【解析】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数， 则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称.故选：C. 1．（23-24高三下·四川成都·三模）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【解析】因为曲线关于的对称曲线为，即， 与对比系数可知，解得， 所以函数与的图象关于对称．故选：D 2．（23-24高三下·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 考点十四、函数性质的综合应用 【典例1】（23-24高三上·北京石景山·期末）设函数，则是（    ） A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减 C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减 【答案】D 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，AC选项错误. 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.故选：D 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则在上是（    ）. A．增函数且 B．增函数且 C．减函数且 D．减函数且 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，设，则， 所以，则， 且，所以， 又是周期为2的函数， 所以在的图像与的图像相同，且为增函数，且.故选：A 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，．给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为．其中正确的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为R上的偶函数，所以， 因为时，，，所以， 所以时，的周期为2， ，故①正确； 因为，，所以， 所以函数不是在定义域上周期为2的函数，故②错； 由题意得，直线和的图象如下： 由图可知，交点个数为一个，的值域为，故③④正确；故选：C. 2．（22-23高三下·北京大兴·三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 【答案】D 【解析】因为，所以， 故，所以的周期为4， 又，所以，故关于对称， 又时，，故画出的图象如下： A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，当时，，则，C错误； D选项，由图象可知的最小正周期为4， 又，故的最小正周期为2，D正确.故选：D 1．（23-24高三下·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则为偶函数，但在区间上单调递减，故A错误； 为偶函数，但在区间上不具有单调性，故B错误； 的定义域为，且， 则为偶函数，令，当时，则， 则，由对勾函数的性质可知，在单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 为奇函数，故D错误；故选：C 2．（22-23高三下·北京昌平·二模）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】已知函数为奇函数，且当时，， 则.故选：A. 3．（23-24高三下·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，显然它定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， ，则， 所以，.故选：C. 4．（23-24高三下·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，定义域为，令， 因为，所以此函数为奇函数，所以A错误， 对于B，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上单调递增，所以B错误， 对于C，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上有增区间也有减区间，所以C错误， 对于D，定义域为，令， 因为，所以此函数为偶函数， 当时，，因为在上单调递增， 所以在上单调递减，所以D正确，故选：D 5．（23-24高三下·安徽淮北·二模）若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，即， 整理得：，即，则有， 因不恒为0，故必有，解得，.故选：B. 6．（22-23高三下·北京房山·二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，二次函数的对称轴为， 不是偶函数，故A错误； 对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 对C，，定义域为，所以函数是偶函数， 结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误； 对D，，定义域为， 所以函数是偶函数，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确.故选：D 7．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【解析】设，函数， 可得，，根据基本不等式和的图像， 可判断函数在单调递减，在单调递增， ，，， 所以值域为：. 故答案为： 1．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，其定义域为R， 则，即为奇函数； 若为奇函数，其定义域为R， 则需满足，即， 故，即， 因为，（，等号不能同时取到）， 故， 故“”是“为奇函数”的充分必要条件，故选：C 2．（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【解析】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称.故选：A. 3．（24-25高三上·河南·七月联考）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】对于A， 令，则，得，所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，故选：D 4．（23-24高三下·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【解析】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉.故选：A. 5．（22-23·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】因为的值域为， 当时，显然值域不为，故舍去； 当时函数单调递减，即， 又，函数的值域不为，故舍去； 所以， 此时当时，函数单调递增， 又函数在上单调递减，在上单调递增，且时， 当时，只需满足，解得， 当时，只需满足，解得， 综上可得，即的最小值为.故选：D 6．（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解析】由是偶函数，得， 所以函数的图象关于直线对称； 由是偶函数，得， 所以函数的图象关于直线对称，又， 则关于对称，所以是函数图象的对称中心， 由于不确定的值，所以无法判断函数的奇偶性，故排除选项A、B； 又，由，得， 即，得， 所以函数的图象关于点对称； 由，得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4，所以， 所以函数为偶函数，故排除C，选择D.故选：D 7．已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则在上的最大值是 【答案】6 【解析】令得，则， 令，可得,所以， 所以是奇函数； 令，则， 因为当x0时，， 所以，即， 所以在，均递减， 因为是R上的连续函数，所以在R上递减； ，可得； 令，可得， ，，， 在上的最大值是6． 故答案为：6. 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误.故选：C. 2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如，但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A. 3．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大， 因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内， 甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大， 甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 4．（23-24高三下·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为， 但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误.故选：B. 5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 6．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 7．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$