专题01 三角形的初步认识（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01三角形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、三边关系的取值范围 【解惑】若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【融会贯通】 1．若三角形的两边长分别是3和5，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知三角形两边长分别为7和4，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 ． 3．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 类型二、根据中线求面积 【解惑】如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【融会贯通】 1．如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是 ． 3．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      类型三、三角形的高与角平分线夹角计算 【解惑】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则 °．    3．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 类型四、写出命题的题设与结论 【解惑】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【融会贯通】 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 2．请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ． 3．如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 类型五、全等三角形的判定与性质(SSS) 【解惑】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 【融会贯通】 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则 ． 3．如图，在和中，，，，，，与相交于点P，求的度数．    类型六、全等三角形的判定与性质(SAS) 【解惑】如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．    3．如图，点D在的边上，过点D作线段，且，连接，若． 求证： (1)． (2)若，求的长度． 类型七、全等三角形的判定与性质(ASA) 【解惑】如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【融会贯通】 1．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是 米． 3．如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：． 类型八、全等三角形的判定与性质(AAS) 【解惑】如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是 ． 3．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 类型九、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【融会贯通】 1．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 2．如图，是的角平分线，于点E，且．则的面积为 ． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 类型十、垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 【融会贯通】 1．在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 3．如图，在中，，的平分线交BC于点D，，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证： (1)； (2)垂直平分． 【一览众山小】 1．如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 5．如图，在中，是的角平分线，若，，，则 ． 6．如图，这是一个五角星，则 ． 7．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 8．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 9．如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 10．如图所示，在和中，，，．过作于点，的延长线与交于点，连接． 【问题提出】（1）试说明：； 【问题解决】（2）延长至点，使，连接，若，，求四边形的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、三边关系的取值范围 【解惑】若三角形的三边长分别是2，7，，则的取值可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系即可进行解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，7，， ∴，即， ∴的取值可能是6， 故选：A． 【融会贯通】 1．若三角形的两边长分别是3和5，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，以及三角形的两边差小于第三边．根据三角形三边关系定理可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得， 即． 故选：C． 2．已知三角形两边长分别为7和4，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， ，即 ∵第三边为整数， ∴最小整数为4， ∴周长最小为， 故答案为：15． 3．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 类型二、根据中线求面积 【解惑】如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质．根据三角形的中线平分面积进行计算即可．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵E、F分别是线段、的中点， ∴分别为：的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，由是的中线可得，进而得，再由可得，即得到，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可求解．本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：，的面积为2， ， ， ， 故答案为：12． 3．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 类型三、三角形的高与角平分线夹角计算 【解惑】如图，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.∵是的中线， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； B. ∵是的角平分线， ∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵是的中线， ∴，故该选项正确，不符合题意；     D. ∵是的高， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，中位线性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：A、， ， ，故本选项说法错误，不符合题意； B、当为等腰直角三角形时， 是中线， 不是角平分线， ， 为角平分线， ，故本选项说法错误，不符合题意； C、是的中线， 当时，是的中位线， 则，故本选项说法错误，不符合题意； D、，，， ，故本选项说法正确，符合题意， 故选：D． 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则 °．    【答案】10 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先求出的度数，角平分线求出的度数，高线结合三角形的内角和求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 3．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可． 本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理． 【详解】（1）为边上的高，的面积为30， ， ， ， 为边上的中线， ； （2），， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 类型四、写出命题的题设与结论 【解惑】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 【融会贯通】 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 2．请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ． 【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，根据题意，找出题设和结论，运用命题的结果进行改写即可求解，掌握命题的组成元素是解题的关键． 【详解】解：等角的补角相等，题设是：等角的补角，结论是：补角相等， ∴改写的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ． 3．如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，垂直的性质等知识点， (1)可以把前两个条件作为题设，第三个条件作为结论，即可得解； (2)由于，得到，利用平行线的性质得到，进而可得到，即有； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如果，，，那么． （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 类型五、全等三角形的判定与性质(SSS) 【解惑】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【融会贯通】 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】 解：由图可知，， 在和中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：B 2．如图，在中，，，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、邻补角等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而解得的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在和中，，，，，，与相交于点P，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 类型六、全等三角形的判定与性质(SAS) 【解惑】如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．    【答案】30 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．由三角形内角和定理可得，由可证，可得，由三角形的外角性质可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 3．如图，点D在的边上，过点D作线段，且，连接，若． 求证： (1)． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）由平行得，再利用证明，即可得到； （2）由可知，，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴，， ∴． 类型七、全等三角形的判定与性质(ASA) 【解惑】如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论． 【详解】 解：在中， ， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ，故③正确． 的角平分线、相交于点P， 点P到、的距离相等，点P到、的距离相等， 点P到、的距离相等， 点P在的平分线上， 平分，故④正确． 故选：D． 2．某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是 米． 【答案】10.2 【分析】证明，得米即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， （米）， 故答案为：10.2． 3．如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由证明，再证，即可证明，由此可得． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 类型八、全等三角形的判定与性质(AAS) 【解惑】如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：， ； ， ； ，， ； ，， ， ， ； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据证明得出，再逐一判断每个结论即可得出选项． 【详解】解：在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确， ∴正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 2．如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明，得出，，最后根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 3．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证； 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 类型九、角平分线的性质与判定 【解惑】如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：过点P作与点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴则的面积为：， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点，   ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 2．如图，是的角平分线，于点E，且．则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的定理，过点作，根据角平分线的性质得，再结合三角形的面积公式即可求解，根据题意和角平分线的定理得到是解答本题的关键． 【详解】解：过点作， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴ ， 故答案为：15． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 类型十、垂直平分线的性质与判定 【解惑】如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由是的边的垂直平分线，可得，则所求的周长，再将已知代入即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 3．如图，在中，，的平分线交BC于点D，，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质以及垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此即可作答． （2）通过证明，得，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平分线交BC于点D， ∴是的平分线 ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，由（1）知 ∴ ∴ ∴垂直平分 【一览众山小】 1．如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全等三角形的判定方法有，，，根据定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有，，，． 【详解】解： A、，，，符合，即能推出，故本选项错误； B、，，，符合，即能推出，故本选项错误； C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项正确； D、，，，符合，即能推出，故本选项错误； 故选：C． 2．如图，已知，按如下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交于点M，N；③连接，若的周长为12，则的周长为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图—垂直平分线作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质； 根据作图可知为的垂直平分线，进而可得，即可求解 【详解】解：根据作图可知：为的垂直平分线， 故选：A 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：B． 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 5．如图，在中，是的角平分线，若，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用．过D作于M，于N，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过D作于M，于N， ∵为的平分线， ∴， ∵若，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：10． 6．如图，这是一个五角星，则 ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，设、交于点，、交于点，由三角形外角的定义及性质可得，，结合三角形内角和定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设、交于点，、交于点， ，， ， 故答案为：． 7．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 【详解】（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 8．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 9．如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． 10．如图所示，在和中，，，．过作于点，的延长线与交于点，连接． 【问题提出】（1）试说明：； 【问题解决】（2）延长至点，使，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定： （1）只需要证明即可证明； （2）先证明，得到，，再由三线合一定理得到，据此求出，则四边形的面积． 【详解】解：（1）在和中， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$