专题01 三角形的初步认识（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01三角形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形中的折叠(内、外) 【解惑】（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【融会贯通】 1．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 2．问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 3．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 类型二、三角形中的角平分线(双内、双外、一内一外) 【解惑】如图1，中若点P是与平分线的交点． (1)若 ①直接写出 ②求 (2)若；直接写出 ； (3)直接写出直接写出 （用含有a的式了表示）； (4)如图2，当，且和的平分线交于点Q时利用上述结论求的度数． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若． (1)求的度数； (2)求的周长． 2．如图1，点P是两外角平分线的交点．    (1)若，则 ； (2)探究与的数量关系并说明理由； (3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系． 3．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 类型三、三角形的八字形 【解惑】如图，，分别平分和．    (1)如果，，请直接写出的度数； (2)判断，，三者之间有何等量关系？请写出证明过程． 【融会贯通】 1．【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 2．如图1，线段、相交于点O，连接、．    (1)请说明：； (2)的平分线和的平分线相交于点（如图，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由； (3)点M在上，点N在上，与相交于点P，且．，其中n为大于1的自然数（如图3）．与、之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 3．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 类型四、三角形的新定义 【解惑】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【融会贯通】 1．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“偏补三角形”．    (1)如图1，中，，平分，找出图中的“偏补三角形”，并说明理由； (2)若为“偏补三角形”，且，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，中，平分，若为“偏祈三角形”，且，直接写出的度数． 2．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】 如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合） （1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”． 【应用拓展】 如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． ①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由． (2)如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______． 类型五、全等中的倍长中线法 【解惑】仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 2．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 3．综合与探究 数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）． ①延长到点，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系． (1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______． (2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． (3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 类型六、全等中的截长补短法 【解惑】在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【融会贯通】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 2．如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 3．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    类型七、全等中的一线三等角 【解惑】如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由． 【融会贯通】 1．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 类型八、全等中的动点 【解惑】如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 3．如图①，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB，点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当△ABM与△MCN全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 类型九、全等中的新定义 【解惑】阅读下列材料，并完成任务． 筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形． 如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点O，过点O作，，垂足分别为E，F，求证：四边形是筝形． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 2．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 3．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画△ABC的高线AD． (2)在图②中，画△ABC的中线BE． (3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6 【融会贯通】 1．如下图，是以为底边的等腰三角形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，已知点D为内一点，，画出的垂直平分线； (2)如图2，已知，画出的垂直平分线． 2．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． (1)如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； (2)如图2，在线段上找点，连结，使； (3)如图3，在直线上求作点，使得． 3．用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)如图1，已知四边形，．在对角线上求作一点P，使和的面积相等； (2)如图2，已知四边形，在对角线上求作一点Q，使得的面积等于的面积的一半． 【一览众山小】 1．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 3．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 4．如图，，是钝角，平分交于点，平分交于点，点在线段上，若，则与之间的数量关系为 ． 5．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 6．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 7．如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 8．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 9．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 10．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形中的折叠(内、外) 【解惑】（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 2．问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 【答案】（）；（）；（），见解析；（） 【分析】（）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （）连接，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案； 本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】研究（）：根据折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； 研究（）：连接， 则， ∴； 故答案为：； 研究（）：猜想： 理由：由图形的折叠性质可知 ， ∵ ∴， 得 ∴ 研究（）：由根据折叠的性质可知 ，， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 3．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 类型二、三角形中的角平分线(双内、双外、一内一外) 【解惑】如图1，中若点P是与平分线的交点． (1)若 ①直接写出 ②求 (2)若；直接写出 ； (3)直接写出直接写出 （用含有a的式了表示）； (4)如图2，当，且和的平分线交于点Q时利用上述结论求的度数． 【答案】(1)①70；②35 (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）①根据三角形内角和定理求解即可；②先求出，再由角平分线的定义得到，据此利用三角形外角的性质求解即可； （2）由角平分线的定义得到，由三角形外角的性质得到，再由，即可得到答案； （3）同（2）求解即可； （4）先求出，再利用（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵点P是与平分线的交点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点P是与平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20； （3）解：∵点P是与平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， 由（3）的结论可知． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先利用三角形内角和定理及角平分线定义得出，再根据内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，，进而求解即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长． 2．如图1，点P是两外角平分线的交点．    (1)若，则 ； (2)探究与的数量关系并说明理由； (3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）知； （3）解：如图，    延长交于Q， 则， ∴． ∴ ． 3．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 类型三、三角形的八字形 【解惑】如图，，分别平分和．    (1)如果，，请直接写出的度数； (2)判断，，三者之间有何等量关系？请写出证明过程． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和计算问题，以及对顶角相等的知识． （1）利用角平分线的定义得出，，由对顶角相等得出，，利用三角形内角和定理即可得出，，两式相加可得出，化简可得出，然后代入，计算即可得出答案． （2）利用角平分线的定义得出，，由对顶角相等得出，，利用三角形内角和定理即可得出，，两式相加可得出，化简可得出． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 即， ∵， ∴． （2）证明：∵，分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 即    【融会贯通】 1．【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 2．如图1，线段、相交于点O，连接、．    (1)请说明：； (2)的平分线和的平分线相交于点（如图，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由； (3)点M在上，点N在上，与相交于点P，且．，其中n为大于1的自然数（如图3）．与、之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解答 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用、角平分线的定义，解题的关键是通过对顶角相等与三角形内角和建立角间的关系． （1）根据内角和定理与对顶角相等即可得证． （2）根据角平分线的定义与（1）的结论，通过等量代换即可得到结论． （3）思路与（2）相类似，设法消去，从而得到与之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可知，，① ，②    ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， 由①+②得：， 即； （3）解：结论：与、之间存在的关系为如图； ∵，① ，② ∵．， ∴，，    ∵，， ∴，， ∴，，即， 由①+②得：， 即， ∴， 即•， ∴． 3．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 类型四、三角形的新定义 【解惑】【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【融会贯通】 1．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“偏补三角形”．    (1)如图1，中，，平分，找出图中的“偏补三角形”，并说明理由； (2)若为“偏补三角形”，且，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，中，平分，若为“偏祈三角形”，且，直接写出的度数． 【答案】(1)为“偏补三角形”，理由见解析． (2)是直角三角形，理由见解析． (3)或． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得到，结合，即可求得答案． （2）根据题意可得，，据此即可求得答案． （3）根据题意可得或，据此即可求得答案． 【详解】（1）为“偏补三角形”，理由如下： ∵平分， ∴． ∵，即， ∴为“偏补三角形”． （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵为“偏补三角形”， ∴或． ∴或． 当时，，是直角三角形． 当时，，是直角三角形． 综上所述，是直角三角形． （3）∵平分， ∴． ∵为“偏补三角形”， ∴或． ①当时，， ∴． ∴． ②当时，， ∴． ∴． 综上得出：的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线，牢记角平分线的定义是解题的关键． 2．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】 如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合） （1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”． 【应用拓展】 如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数． 【答案】【简单应用】：（1）18°，是；（2）详见解析；【应用拓展】： 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故为完美三角形；（2）根据垂直的性质与三角形的内角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由证得，，再根据△BCD是“完美三角形”，得出，再根据三角形的内角和求出∠B的度数. 【详解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°， ∵∠MON=4∠ABO ∴△AOB是“完美三角形”； （2） 证明： 是“完美三角形” （3） 是“完美三角形” 【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知平行线的性质与角平分线的性质. 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． ①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由． (2)如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______． 【答案】(1)①是；②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．理解题意，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． （1）①由题意知，，则，进而可得是“和谐三角形”；②由，可得，则，由，可得是“和谐三角形”； （2）由题意知，，则，，由，，可知当是“和谐三角形”，分或两种情况求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∵， ∴是“和谐三角形”， 故答案为：是； ②解：是“和谐三角形”，理由如下； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“和谐三角形”； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， 又∵，， ∴当是“和谐三角形”，分或两种情况求解； 当时，； 当时， ∵， ∴； 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 类型五、全等中的倍长中线法 【解惑】仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 【答案】答案见解析 【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案. 【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS). 所以BE=AC(全等三角形的性质). 因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>8cm. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理. 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 2．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．综合与探究 数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）． ①延长到点，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系． (1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______． (2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． (3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，得，根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形三边关系即可得出结论； （3）延长到N，使得，连接，同（1）的方法得出，得出，，进而判断出再证明，得出，从而可得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． （2）解：如图3，延长到，使得，连接，， 由（1）知， ， ，， ， ， ． （3）解：延长到N，使得，连接，如图4， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系．倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 类型六、全等中的截长补短法 【解惑】在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【融会贯通】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 2．如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定． （1）连接，，由角平分线性质可得，再证明（），可得，即点D在的垂直平分线上． （2）证明（），可得，由线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是的平分线，，， ， 在和中， （）， ， 点D在的垂直平分线上． （2）解：在和中， （）， ，， ． ， ． 3．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 类型七、全等中的一线三等角 【解惑】如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由． 【答案】见解析 【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等． 【融会贯通】 1．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型八、全等中的动点 【解惑】如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 2．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 3．如图①，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB，点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当△ABM与△MCN全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度即可求解； （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可． ②当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题①若点M、N的移动速度不同，则CM=BM，②若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM． 【详解】（1）点M的运动时间（秒）， 故答案为： （2）①∵点M、N的移动速度相同， ∴CN=BM， ∵CD∥AB， ∴∠NCM=∠B， ∴当CM=AB时，△ABM与△MCN全等， 则有12=20-3t，解得t=． ②∵点M、N的移动速度不同， ∴BM≠CN， ∴当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等， ∴运动时间t=， ∴a=． （3）若点M、N的移动速度不同，则CM=BM时，两个三角形有可能全等，由（2）②可知此时t= 若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM， ∴20-3t=12-2t或20-3t=2t-12， 解得t=8（舍）或 综上所述，满足条件的t的值为或 【点睛】本题考查了动点问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 类型九、全等中的新定义 【解惑】阅读下列材料，并完成任务． 筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形． 如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点O，过点O作，，垂足分别为E，F，求证：四边形是筝形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用证得，可得，再利用证得，可得，，进而可求证结论，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是筝形． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 2．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 3．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 【答案】(1)90 (2)证明见解析 (3)不变，12 【分析】 对于（1），设，则，，根据互补四边形的定义得，即可求出各角的度数； 对于（2），过点D作，，再证明，可得，然后结合可得答案； 对于（3），延长至G，使，连接，可证明，可得，，进而得出，接着证明，可得，再连接，可证明，即可得出，，然后求出，再说明的周长等于，即可得出答案． 【详解】（1） 解：设，则，，根据题意，得， 即， 解得， 则， 所以． 故答案为：90； （2） 过点D作，交的延长线于点E，作，交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3） 不变， 延长至G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴的周长等于． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，特殊角三角函数值，新定义的理解，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画△ABC的高线AD． (2)在图②中，画△ABC的中线BE． (3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格线即可知，AD和BC互相垂直，AD即为△ABC的高线； （2）根据矩形的对角线互相平分可知点E为AC的中点，BE为△ABC的中线； （3）因为根据S∆ABF= ，即可得出S∆ABF面积为6； 【详解】（1）如图①，AD为△ABC的高线； （2）如图②，BE为△ABC的中线； （3）如图③，△ABF的面积为6； 【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题． 【融会贯通】 1．如下图，是以为底边的等腰三角形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，已知点D为内一点，，画出的垂直平分线； (2)如图2，已知，画出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的逆定理，无刻度直尺作图，解题的关键是掌握垂直平分线的逆定理． （1）根据垂直平分线的逆定理得到点A和点D在线段的垂直平分线上，得到所在直线即为的垂直平分线； （2）连接，交于点H，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； 2．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，M，N均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． (1)如图1，在线段上找点，连结，使平分的面积； (2)如图2，在线段上找点，连结，使； (3)如图3，在直线上求作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了限定工具作图、三角形中线的性质、平行线的定义、轴对称的性质等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）如图：连接B与的中点并延长与的交点O即为所求； （2）如图：找一格点M使,与的交点Q即为所求； （3）如图：作A关于的对称点,连接与的交点P即为所求． 【详解】（1）解：如图：点O即为所求； ． （2）解：如图：点Q即为所求； ． （3）解：如图：点P即为所求； ． 3．用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)如图1，已知四边形，．在对角线上求作一点P，使和的面积相等； (2)如图2，已知四边形，在对角线上求作一点Q，使得的面积等于的面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，延长，交于点M，作的平分线，交于点P，点P即为所作； （2）如图2，过点B作交于，作线段的垂直平分线交于，点即为所作． 【详解】（1）解：如图1，延长，交于点M，作的平分线，交于点P，连接， ∴点P到和的距离相等， 又∵， ∴和的面积相等， ∴点P即为所作． （2）解：如图2，过点B作交于，作线段的垂直平分线交于， ∵， ∴， ∴点Q到的距离等于点M到的距离的一半，即点Q到的距离等于点B到的距离的一半， ∴的面积等于的面积的一半． ∴点Q即为所作． 【点睛】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，角平分线的性质，平行线间的距离等知识．熟练掌握作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，角平分线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，设运动时间为秒，由题意可得，，，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得，，，， ∵，， ∴， 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 综上，线段的长度为米或米， 故选：． 3．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∵；故②不正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④不正确． 本题正确的有：①③， 故选：D． 4．如图，，是钝角，平分交于点，平分交于点，点在线段上，若，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，解题关键是熟知平行线的性质，找准各角之间的关系进行等量代换化简． 根据平行线的性质得出，再由角平分线及等量代换确定，，利用三角形内角和定理得出，再进行等量代换化简即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 5．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，根据题意可知，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，即可得答案． 【详解】解：是角平分线 ，故①符合题意； 是边上的高，即 ，故②符合题意； 是角平分线，平分 ， ， 由②可知， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 故答案为：3． 6．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 【答案】(1)2 (2)2 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质确定，利用面积关系即可求解； （2）根据题意得出当时，，然后分两种情况分析：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∵ E为的中点， ∴， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴点 M，N移动的时间为：秒， 此时， ∴； （2）∵， ∴当时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述：当时，． 8．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 9．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 10．在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$