10.5 异面直线的距离（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.5 异面直线的距离 题型1：异面直线间的距离的概念 1．异面直线间的距离定义： 两条异面直线的 的长度叫做这两条异面直线的距离． 两条异面直线的公垂线有几条？ 【答案】 公垂线段 只有一条 【解析】略 2．对于任意给定的两条异面直线，存在 条直线与这两条直线都垂直． 【答案】无数 【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答. 【解析】令给定的两条异面直线分别为直线，平移直线到直线，使与直线相交，如图， 则直线与确定平面，点A是平面内任意一点，过点A有唯一直线， 因此，，即有，由于点A的任意性， 所以有无数条直线与异面直线都垂直. 故答案为：无数 题型2：求正方体、长方体中异面直线间的距离 3．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【解析】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 4．长方体中，和的公垂线段是 ，和的公垂线段是 ． 【答案】 / / 【分析】利用公垂线的定义可得出结果. 【解析】如下图所示： 在长方体中，，，故和的公垂线段是， 平面，平面，， 又因为，则和的公垂线段是. 故答案为：；. 5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线A1D与直线CC1的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据长方体的性质得到CD⊥C1C，CD⊥A1D，即直线A1D与直线CC1的距离为CD，即可求直线A1D与直线CC1的距离的距离. 【解析】 解：因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以CD⊥C1C，CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥A1D， 所以直线A1D与直线CC1的距离为CD＝AB＝4. 故答案为：4． 6．正方体的棱长为，则异面直线与间的距离等于 ． 【答案】 【分析】作辅助线，找出异面直线与的公垂线段，求出公垂线段可得答案. 【解析】取中点，连接，，与交于，与交于， 由正方体的性质可知. 由与相似可得， 同理可得，所以，且， 所以为与间的公垂线段，所以异面直线与间的距离等于． 故答案为：. 7．如图长方体的棱、、的长分别为3、4、5，则异面直线和的距离为 ． 【答案】5 【分析】根据异面直线的距离的定义求出其公垂线段长即可. 【解析】因为在长方体中，面，又面，所以； 同理：，故是异面直线和的公垂线段，且， 所以异面直线和的距离为5. 故答案为：5. 8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ． 【答案】 2 【解析】解析：（定义法）由正方体得DD1⊥平面A1B1C1D1，所以DD1⊥B1D1.又DD1⊥CD，所以DD1是异面直线B1D1与CD的公垂线段．又DD1＝2，所以异面直线B1D1与CD的距离为2； （转化法）因为CD∥AB，CD⊄平面ABD1，AB⊂平面ABD1，所以CD∥平面ABD1，所以CD到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离，即点D到平面ABD1的距离就是异面直线BD1与CD的距离．设距离为h，由题得AD1＝＝.因为VD1ABD＝VDABD1，所以××2×1×2＝××2××h，所以h＝，所以异面直线BD1与CD的距离为. 【考查意图】定义法、等积法求点到平面的距离，定义法、转化法求异面直线间的距离． 题型3：求空间中异面直线间的距离 9．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【解析】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 10．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为 ． 【答案】// 【分析】先作出异面直线AC与BD的公垂线段，再去求其长度即可. 【解析】分别取AC、BD的中点S、E，连接AE、CE、SB、SD、SE. ，又，则平面，则 ，又，则平面，则 则是异面直线AC与BD的公垂线段 △中，，，则 则异面直线AC与BD的距离为 故答案为： 11．如图几何体，，且三条线段长度均为2，平面，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线与AC的距离为 ． 【答案】 【分析】由异面直线距离的定义求解 【解析】作中点，连接，由题意得该几何体为直三棱柱， 故平面，，又， 异面直线与AC的距离即为 故答案为： 12．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 . 【答案】. 【分析】画出草图，先证明BD是异面直线和的公垂线，再求出BD的长即可。 【解析】画出草图， ，                      又， 所以BD是异面直线和的公垂线 所以异面直线和的距离为BD 是直角三角形。 故答案为： 【点睛】此题考查异面直线间的距离，关键点找到两条异面直线的公垂线，属于较易题目。 13．在棱长为的正方体中，与AD成异面直线且距离等于的棱共有 条. 【答案】4 【分析】作出图形，结合异面直线距离的定义即可得到答案. 【解析】如图， 由图可知，异面，且垂线段， 异面，且垂线段， 异面，且垂线段， 异面，且垂线段. 故答案为：4. 14．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ． 【答案】1 【分析】根据异面直线距离的定义，找到异面直线和的距离为，即可求解. 【解析】 如图，，为中点，所以， ，为中点，则，又，因此，有， 所以是异面直线和的距离，故它们的距离等于1， 故答案为:1. 15．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线与所成角的余弦值为求出底面正方形的边长，进而可求解. 【解析】 如图，该四棱柱为长方体，因为, 所以为异面直线与所成角， 设底面正方形边长为，则， 在中，， 解得， 因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面， 所以,同理, 所以直线与直线的距离为， 故选:B. 16．已知线段AB⊥平面，点B为垂足，，CD⊥BC，且CD与平面成30°角，AB＝BC＝CD＝2，则异面直线AB与CD间的距离为 ． 【答案】2 【分析】由题可知是异面直线与的公垂线段，即得出答案. 【解析】∵平面，，∴， 又，故是异面直线与的公垂线段， 由题，所以与间的距离为2． 故答案为：2 题型4：求异面直线间距离的应用 17．平面外有两点和到平面的距离分别为和，若、在平面上的射影间的距离为，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】讨论在同侧和两侧两种情况，利用勾股定理求得结果. 【解析】当在同侧时，； 当在两侧时，. 故答案为：或. 18．已知平面平面，直线，直线，点，A到的距离为，a到的距离为，a到b的距离为，到的距离为．则、、、间的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据平面平面，利用点与面，线与线，线与面和面与面的距离判断. 【解析】因为平面平面，直线， 所以平面， 所以a到的距离与到的距离相等，即， 又点，则A到的距离与到的距离相等，即， 又a到b的距离与到的距离相等，即， 所以、、、间的大小关系为， 故答案为： 19．已知平面平面，直线，直线，点，点，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a、b、c的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大． 【解析】由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线， 当直线m和n异面，（如图所示）则 c<b<a． 当直线m和n平行且其确定的平面与平面α，平面β垂直，可得 c=b=a． 故答案为：c≤b≤a． 【点睛】此题主要考查平面间与平面平行的性质，考查点到直线距离及空间想象能力是基础题 题型5：最值问题 20．两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取中点，由等腰三角形三线合一性质可得，由异面直线间距离的定义可知所求距离为，结合勾股定理可求得结果. 【解析】分别取中点，连接， ，， 由两条异面直线之间距离的定义可知：直线与之间的距离即为的长， 又，. 故答案为：. 21．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【解析】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 题型6：折叠问题 22．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【解析】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 23．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 【答案】/ 【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可. 【解析】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 题型7：动点定值问题 24．如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 【答案】A 【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可. 【解析】对于①，因为，所以Q到直线的距离h为定值， 而EF为定值，故的面积为定值，所以①真． 对于②，因为，平面EFQ，所以平面EFQ， 故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真． 故选：A 题型8：求异面直线间的距离解答证明题 25．如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）通过，得出； （2）通过，可得； （3）取的中点，的中点，连接，通过，可得. （1） 因为正方体中，，，所以和的公垂线为，且； （2） 因为平面，平面，所以，又， 所以和的公垂线为，且； （3） 取的中点，的中点，连接， 易得，因为平面且平面， 所以平面且平面， 所以，， 则为和的公垂线，且． 26．如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且 （1）求证：是和的公垂线 （2）求异面直线和之间的距离 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据与为全等正三角形的关系且为中点可证得，根据等腰三角形三线合一可证得；同理可证，进而得到结论； （2）分别计算出和，根据勾股定理可求得，即为所求距离. 【解析】（1）连接 与为全等的正三角形， 又为中点     又是中点 同理可证： 又， 是和的公垂线 （2）在等腰三角形中， 又     即异面直线和之间的距离为： 27．如图,空间四点A、B、C、D每两点间的距离都为1，P，Q分别为线段AB，CD的中点， 求证:(1)线段PQ是异面直线AB、CD的公垂线； (2)求线段PQ的长. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）利用三角形AQB是等腰三角形，可得PQ⊥AB，同理可得PQ⊥CD，进而可得出结论； （2）在三角形ABQ中，根据各边的长度可求出线段PQ的长． 【解析】解：（1）连结BQ，AQ， 由已知四面体ABCD的棱都相等， ，即为等腰三角形， 又P为线段AB中点， PQ⊥AB，同理PQ⊥CD， 线段PQ是异面直线AB、CD的公垂线； （2）在等边，等边中，， 在中，， ， 则线段PQ的长为． 【点睛】本题考查空间异面直线的距离，考查计算能力，是基础题． 28．如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离. 【答案】 【分析】由线面垂直的性质及异面直线的公垂线的定义可得是异面直线与的公垂线．再由棱锥的体积公式和等面积法可求得答案. 【解析】解：因，且，故面， 从而，又，故是异面直线与的公垂线． 设的长度为，则四棱椎的体积为 ． 而直三棱柱的体积为． 由已知，故，解之得． 从而． 在直角三角形中，， 又因， 故． 所以异面直线DE与的距离为. 一、填空题 1．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，两点分别在两底面的圆周上并且，那么直线AB与轴之间的距离等于 . 【答案】/ 【分析】作底面于点，连接，取的中点，连接，先证平面，故所求距离为轴与平面的距离，再证平面，故所求距离为，利用长度关系求得即可 【解析】 作底面于点，连接，取的中点，连接， 易得，平面，平面， 所以平面， 所以直线与轴之间的距离等于轴与平面的距离， 在中，，是的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以直线与轴之间的距离即的长度， 由题意可得，所以在中，， 故在中，，所以， 故答案为： 2．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【解析】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 二、单选题 3．已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点到平面的距离即可. 【解析】 如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交面于点， 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即， 因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，的距离， 由题意知，，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离， 设点到平面的距离为，则，， 在直角三角形中，，，所以，，，， 直角梯形中，，，， 因为，，所以，，，， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离. 4．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【解析】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 5．已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按沿对角线BD和沿对角线AC折成二面角分别推理计算异面直线与距离的最大值，再比较大小得解. 【解析】如图，在菱形中，，，， 当沿对角线BD折成二面角时，显然，于是得，取AC中点E，连OE，如图， 则，而平面AOC，平面AOC，即有，因此，线段OE长为异面直线与距离， ，而，即，函数在上单调递减， 于是当时，， 当沿对角线AC折成二面角时，显然，于是得，取BD中点M，连OM，如图， 同理，当时，，而， 所以异面直线与距离的最大值为. 故选：C 三、解答题 6．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 【答案】(1)证明见解析；（2） . 【分析】（1）连结、，推导出，，由此能证明线段是异面直线与的公垂线段． （2）在中，求出，由此能求出异面直线与的距离． 【解析】证明：（1）连结、． 由、为等边三角形，为的中点， ．又为的中点，． 同理，．又与、都相交， 故线段是异面直线与的公垂线段． 解：（2）在中，，， 故异面直线与的距离为． . 7．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离． 【答案】， 【分析】根据异面直线所成的角，平行线的性质得，，，，从而求得的长，再由异面直线的距离定义证得公垂线，从而得结论． 【解析】∵,，，∴， 因为与所成角大小为，而，则， 因为与所成角大小为，而，则， ，则，，， 又是矩形， 所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段， 所以直线与的距离是，与的距离是． 8．如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由； (3)求异面直线与之间的距离. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】 (1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可； (2)假设存在，利用二面角的大小为求解即可； (3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可. 【解析】（1）取的中点，因为是的中点， 所以，又，所以， 所以异面直线与所成角也就是与所成角， 由正方体得平面，平面， 所以，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）假设存在点符合题意，连接与交于点， 所以，因为是正方体，所以， 又是的中点，所以， 所以就是二面角的平面角， 故假设成立，存在这样的点. 又因为，， ，所以. （3）连接，因为是的中点， 所以，如图第一个， 又因为平面，平面，所以， 即，又，所以平面， 又平面，所以， 接着取的中点，连接，延长交延长线于点， 连接，交于点，交于点， 过作的平行线交于点，连接，如下图， 由，得为与的公垂线， 易得与相似，又因为是中点， 则是的中点，所以， 所以，又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5 异面直线的距离 题型1：异面直线间的距离的概念 1．异面直线间的距离定义： 两条异面直线的 的长度叫做这两条异面直线的距离． 两条异面直线的公垂线有几条？ 2．对于任意给定的两条异面直线，存在 条直线与这两条直线都垂直． 题型2：求正方体、长方体中异面直线间的距离 3．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 4．长方体中，和的公垂线段是 ，和的公垂线段是 ． 5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线A1D与直线CC1的距离为 ． 6．正方体的棱长为，则异面直线与间的距离等于 ． 7．如图长方体的棱、、的长分别为3、4、5，则异面直线和的距离为 ． 8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ． 9．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 题型3：求空间中异面直线间的距离 10．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为 ． 11．如图几何体，，且三条线段长度均为2，平面，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线与AC的距离为 ． 12．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 . 13．在棱长为的正方体中，与AD成异面直线且距离等于的棱共有 条. 14．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ． 15．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 16．已知线段AB⊥平面，点B为垂足，，CD⊥BC，且CD与平面成30°角，AB＝BC＝CD＝2，则异面直线AB与CD间的距离为 ． 题型4：求异面直线间距离的应用 17．平面外有两点和到平面的距离分别为和，若、在平面上的射影间的距离为，则线段的长为 ． 18．已知平面平面，直线，直线，点，A到的距离为，a到的距离为，a到b的距离为，到的距离为．则、、、间的大小关系为 ． 19．已知平面平面，直线，直线，点，点，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a、b、c的大小关系是 . 题型5：最值问题 20．两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 21．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 题型6：折叠问题 22．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 23．如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 题型7：动点定值问题 24．如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 题型8：求异面直线间的距离解答证明题 25．如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 26．如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且 （1）求证：是和的公垂线 （2）求异面直线和之间的距离 27．如图,空间四点A、B、C、D每两点间的距离都为1，P，Q分别为线段AB，CD的中点， 求证:(1)线段PQ是异面直线AB、CD的公垂线； (2)求线段PQ的长. 28．如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离. 一、填空题 1．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，两点分别在两底面的圆周上并且，那么直线AB与轴之间的距离等于 . 2．在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 二、单选题 3．已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 7．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离． 8．如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由； (3)求异面直线与之间的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$