第二章 直线和圆的方程 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第二章直线和圆的方程 B卷能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若直线经过A(1,0),B(4,√3)两点，则直线AB的倾斜角为 A.30 B.45 C.60 D.120° 2.过点P(一1,3)且倾斜角为30°的直线方程为 A.3.x-3y十43=0 B.√3.x-y十23=0 C.3.x-3y+23=0 D.√3x-y=0 3.已知圆C1:(x+1)2+(y一1)2=1，圆C2与圆C,关于直线x一y-1=0对称，则圆C2的方程为 () A.(x-2)2+(y+2)2=1 B.(.x+2)2+(y-2)2=1 C.(x-2)2+(y-2)2=1 D.(x-2)2+(y-1)2=1 4.已知圆C1:x2+y2-6.x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y十a=0,若圆C,与圆C,有且 单 仅有一个公共点，则实数a等于 () 北 A.14 B.34 C.14或45 D.34或14 5.若直线L:a.x十2y十6=0与直线l2:.x十(a-1)y十a2-1=0平行，则a= A.2或-1 B.-1 C.2 D号 6.若直线a.x十by=ab(a>0,b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( A.1 B.2 C.4 D.8 7.已知圆O:x2十y=r,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线 数 为l1,直线l2的方程为ax十by十r=0,那么 ) A.11∥12，且12与圆O相离 B.(1⊥l2,且l2与圆O相切 C.11∥l2,且l2与圆O相交 D.1⊥12，且2与圆O相离 8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4√2=0相切.点P在直线x=8 上，过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示，则直线 AB恒过定点的坐标为 A.(2,0) B.(0,2) 啦 C.(1,0) D.(0,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法错误的是 A,“a=一1”是“直线a2x一y十1=0与直线x一ay一2=0互相垂直”的充要条件 成直线sin a+y+2=0的倾斜角0的取值范周是0，引U[,x) C过(x1y),()两点的所有直线的方程为二业=工一西 y2-y1 x2-r D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x十y一2=0 13 10.已知直线xsin a+ycos a十1=0(a∈R),则下列命题正确的是 ( A.直线的倾斜角是π一a B.无论a如何变化，直线不过原点 C.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切 D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 11.已知实数x,y满足方程x2十y一4x十1=0，则下列说法错误的是 A.y-x的最大值为6-2 B.x2+y的最大值为7十43 C兰的最大值为 D.x十y的最大值为2+√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线I:y=k(x十4)与圆(x十2)+y2=4相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则M 的轨迹方程为 :M到直线3x一4y一6=0的距离的最小值为 ·(本题 第一空3分，第二空2分) 13.已知直线L在两坐标轴上的截距相等，且点P(1,3)到直线L的距离为√2，则直线1的条数为 14.在平面直角坐标系内，到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,一1)的距离之和最小的点的坐标 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)直线l经过两直线12：3x十4y一2=0和l2:2.x十y+十2=0的交点. (1)若直线1与直线3.x+y一1=0平行，求直线l的方程： (2)若点A(3,1)到直线1的距离为5，求直线1的方程. 14 16.(15分)已知方程x2+y2-2.x-4y十m=0. (1)若此方程表示圆，求m的取值范围： (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m 的值. 17.(15分)已知△ABC中.BC边上的高所在的直线方程为x一2y+1=0,∠A的平分线所在的 直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2). (1)求点A和点B的坐标： (2)过点C作直线L与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N,求△MOV(O为坐标原点)的面 积最小值及此时直线【的方程. -15 18.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1:(x+3)2十(y一1)2=4与圆C2:(x一4)2+(y 5)2=4. (1)若直线1过点A(4,0),且被圆C,截得的弦长为2√3，求直线1的方程： (2)设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线11和2，它们分别与 圆C,和圆C2相交，且直线(，被圆C1截得的弦长与直线(，被圆C,截得的弦长相等，试求所 有满足条件的点P的坐标 19.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，直线1：x一√3y一4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与 直线L相切. (1)求圆O的方程： (2)设点N(xy)为直线y=一x+3上一动点，若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°，求 x。的取值范围； (3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时，恒有∠AMO= ∠BMO?若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由. —16又圆心M(0,6)到直线AB的距离d= 7A:点P(a,b)在國O内部，a+b<|r.由 1(a-6)×6+20-6a 16 题意知，当(1⊥OP时，过点P的弦最短.此时k,一 √(2a)+(a-6) J5a-12a+36 .lAB|=2r-d=2/16-a =一云而4的斜牵=一号∥山.又 =81 16 ”圈心(0,0)到直线4的距离d=r a-g》+g 0+方>斤 r,∴l2与圆O相离.故选A :当。=号时，线段AB的长度有最小 31 8,A依题意得国C的半径，=4② =4,所以圆 √1+1 第二章直线和圆的方程 C的方程为x+y=16. B卷能力提升卷 因为PA,PB是圃C的两条切线， 所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直 1A由A,B的多标得。一-源周北直线 径的圆上，设点P的坐标为(8，b),b∈R.则线段 AB的倾针角为30，故选A. OP的中点坐标为(，受)，所以以OP为直径的圈 2.A由倾斜角为30°知，直线的针率6号，圈此，其 的方程为-40+(-台)厂=+（台厂，6∈R. 直线方程为y一原-(x+1,化简得5x-3y 化简得x2+y-8.x一y=0,b∈R,因为AB为两 3 圆的公共孩，所以直线AB的方程为8.x+by=16,b +43=0,故选A ∈R,即8(x一2)十by=0,所以直线AB恒过定点 3.A图C的圆心为C(一1,1)，设圆C2的圆心为 (2,0).故选A. a-1 b+1-1=0. 9.ACD当a=0时，两直线方程分别为y=1和x 2 2,此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线 C(a,b),依题意得 解得 b-1 的斜率k=一sina.则-1≤k≤1，即-1≤tan0≤ 4+1 -1, a=2, 1.则0e[0,]U[)小故B说法正确：当 又圆C,的半径与圆C的半径相等，所以 b=-2, 2或y1=y时，直线方程为x=x1或y=y1,此时 圆C的方程为(x-2)2+(y十2)2=1.故选A. 直线方程)二业=二不成立，故C说法错误： 4.D设圆C,、圆C,的半径分别为r1r,圆C,的方 y:一y1:-x1 程可化为(x一3)2+(y十2)=1，圆C的方程可化 若直线过原点，则直线方程为y=x,此时也满足条 件，故D说法错误，故选ACD. 为(x-7)°+(y-1)产=50-a. 10.BCD根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而T 由两圃相切得，CC|=r十r或CC|=r,一r:l. a∈R,所以A不正确：当x-y=0时，rsin a十 CC,|=4+3=5, ycos a十1=1≠0，所以直线必不过原点，B正确： ∴.r2十1=5或1-r.=5→r=4或r2=6或r2 由，点到直线的距离公式得原点到直线的距离为 一4（舍去）. 1,所以直线总和单位闻相切，C正确：当直线和两 因此，50-a=16或50-a=36→a=34或a=14, 坐标轴都相交时，它和坐标轴国成的三角形的面 故选D. a(a-1)-2×1=0,① 5.B依题意得，2(a-1)-6(a-1)≠0，@ -cosa=1sn2a≥1， 所以D正确，故选BCD. 解①得，a=-1或a=2. 11.CD对于A,设g=y一x,则y=x十之，之表示直 因为a=一1适合不等式②，a=2不适合②， 线y=x十：的纵截距，当直线与圈(x-2)+y= 所以a=一1，故选B. 3有公共点时，12+≤3.解得-6-2≤：≤6 6.C易知直线在x轴、y轴上的裁距之和为“十h. √2 :直线a.x+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1)，∴.a+ 一2，所以y一x的最大值为6一2，故A说法正 b=a6,即}+=1 确：对于B,x十y的几何意义是表示间上的点到 原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则 a+6=(a+6)(合+6)=2+台+号≥2+2 原点到國上的最大距离为2十3，所以x十y2的 b 最大值为(2十3)=7+4√3，故B说法正确：对 白·从三4，当且仅当名=号，即a=6=2时取 a b 于C,义的几何意义是表示圆上的，点与原点连线 等号 ,.直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 的斜率，则义的最大为tan60°=√3.故C说法 47 错误：对于D,设m=x十y,则y=一x十m,m表示 直线y=一x十m的纵裁距，当直线与國(x一2) 15.解：1)由87十y20得二，2所以交点 12x+y+2=0 y=2, 十y=3有公共点时，一2十m≤3，解得一6+ 坐标为(-2,2)， 设直线l的方程为3x十y十c=0(c≠1)， 2≤m≤V6+2,所以x+y的最大值为V6+2.故D 把点（一2,2）代入方程得c=4, 说法错误.故选CD. 所以直线1的方程为3x十y十4=0. 12.解析：圆(x十2)？十y=4的國心C(一2,0)，半径 (2)由(1)知，当直线1的斜率不存在时，直线1的 r=2,则圆心C到直线y=k(x十4)的距离d= 方程为x=一2， 1-2k+4L=2kL<2, 此时点A(3,1)到直线1的距离为5，满足题意：当 √/k+1k+1 直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y一2= 直线l:y=k(.x十4)过定，点A(一4.0)， (x+2),即kx-y+2k十2=0.则点A(3,1)到直 设M(xmyo),B(x1y:) 线1的距离d=3k1+26+2=56+1L=5, =二4+五 √k+(-1) √k+1 2 得0=2，十4， 解得=号。 ly=2y, 所以直线1的方程为12x一5y十34=0. 代入(x+2)”+y=4,可得(x。+3)”十y=1,所 综上，直线1的方程为x=一2或12.x一5y十34 以M的轨迹是以（一3,0）为圆心，1为半径的圆， =0. 故M的轨迹方程为(x十3)2十y=1(x≠一4)， 16.解：(1)方程x2+y-2x-4y十m=0可化为(x一 则M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为 1)2+(y-2)°=5-m, 1-3×3-6-1=2. ,此方程表示圆，.5一m>0,.m<5. 5 (2)由r十-2x-4+m=0. 答案：(x十3)2十y°=1(x≠-4)：2 .x十2y-4=0 13.解析：由题意知，若直线1在两坐标轴上的截距 消去x,得(4一2y)+y2-2(4-2y)-4y十m=0. 为0， 化简得5y一16y十m+8=0, 则设所求直线1的方程为y=kx, 设Mx1y),N(x) 由题意知6一3=2，解得k=1或k=一7，此时 k+1 则 +%5.0 直线1的方程为x一y=0或7x十y=0. yy=m+8,② 5 若直线【在两坐标轴上的戴距不为0，则设所求直 线l的方程为x+y-a=0(a≠0). 由OMLON得y1y:十x1x2=0, 由题意知1十3-a=2,解得a=2或a=6,此 即y1y2+(4-2y1)(4-2y:）=0, 1+1 .16-8(y1+y)+5y1y=0, 时直线1的方程为x十y一2=0或x十y一6=0. 将①@代入上式得16-8×+5×0时=0. 5 综上，所求直线l的方程为x一y=0或7x十y=0 或x十y一2=0或x十y-6=0,故有4条直线. 解得m=。 答案：4 17,解：(1)因为点A在BC边上的高所在的直线x一 14.解析：如图，设平而直角坐标系中任一，点P,P到 2y十1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0 A,B,C,D的距离之和为PA+PB十PC+PD= PB+PD+PA+PC>BD+AC,故四边形ABCD 上，所以解方程组：二2y+1=0得A(-1,0. y=0, 的对角线的交点Q即为所求距离之和最小的，点， 因为BC边上的高所在的直线方程为x一2y十1= y 0,所以kx=一2， 因为点C的坐标为(1,2)，所以直线BC的方程为 2.x十y-4=0, 因为ke=1,k=一k=一1，所以直线AB的 方程为x十y十1=0. 12347 解方程组：+y十1=0，得B6,一0. 12x+y-4=0, 易知直线AC的方程为y=2x, 故点A,点B的坐标分别为（一1,0），(5，一6). 直线BD的方程为x十y一6=0， (2)依题意得直线的斜率存在，设直线【的方程为 解方程组y=2x, x十y60得2·故填(2,4 y-2=k(x-1)(k<0). 1y=4. 答案：(2,4) 则M(6是2.0)小N0,2- 48 所以Sm=(2-)= 则∠ONQ≥∠ONP=45°， (4-)≥号+2(-0 =4, sn∠oNQ-|8>≥n∠oNp-号 ∴.|ON|≤2√② 当且仅当一音=一：即=一2时取等号，所以 由点N(x。y。)为直线y=一x十3上一动点，得 (S△ww)m=4,此时直线1的方程是2x十y一4 x+yi=x+(3-xo)≤8， =0. 18.解：(1)由题意可知直线1的斜率存在，设直线l的 部得<，<3 方程为y=k(x-4),即kx一y一4k=0,所以圆心 (3)存在定，点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成 C,(-3,1)到直线1的距离d=-3-1-4h1 立，如图②所示 k2+(-1)7 设直线AB:y=kx十m(k≠ 0),直线AB与圃O的交点 4-()=1 为A(x1y),B(22),联 化商得24被+7次=0，解得女=0浅=一云所以 立方程-kr+m:得1十 x2+y2=4, k)x2十2km.x十m2-4=0, 图② 直线1的方程为y-0或y=一一0。 x十= 2km 即y=0或7.x十24y-28=0. 则 1+, (2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线(1，l。的 = 方程分到为y一A=k红一my一=一一m, 由∠AMO=∠BMO,得k十k=0, 即-y+m-m=0,名-y十n+爱-0. 由M(4,0),得2k.xt+(m-4k)(1十x)-8m =0, 因为直线L,被圆C,截得的弦长与直线L被园C 一8m=0. 截得的弦长相等，两國的半径也相等，所以圆心 ×+m一（授） C,(一3,1)到直线l2的距离与圈心C:(4,5)到直 化简得m=一是. 线L2的距离相等， 此时直线AB:y=kx一k,恒过定点S(1,0). 当直线AB的斜率不存在时，由圆的对称性知直 即一3k'-1十n-k'ml -是-5+n+ 线过S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO. √k+(-1)刀 由此存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒 成立. 化简得(2一m一)k'=m一n一3或(m一n十8)k 第二部分月考滚动检测卷 =m十n一5，关于k'的方程有无穷多解，则 m-n+8=0, 2一m一n或m+n-5=0. 第一次月考滚动检测卷 m一n一3=0 1.C由题知AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1) 解得 或 PA=(-x,1,-).PA⊥AB,PA⊥AC,PA 1 13 m=-2m=2 ·AB=PA·AC=0,. 工一1十2=0：解得 1-2x-x=0, 故满足条件的点P的坐标为 (层一)(-是) 2.p-1a2选C 2.B由题意，分别以DA,DC,DD 19.解：(1)由直线1：x一3y-4=0,得原点到直线的 所在的直线为x轴、y轴、x轴建立 距离d=4=2,故圈0的方程为x+y=4 如图所示的空间直角坐标系，则B √/1+3 (2,2,0),E(1,0,0),F(0,1,0),B (2)过N作圆O的切线，切点为Q,如图①所示， (2,2,2),可得EF=(-1,1,0), EB,=(1,2,2),BB(0,0,2) 设平面B,EF的法向量为n=(x,y,之)，则 n·EF=-x+y=0, x=y: 。解得 n·EB,=x+2y+2x=0 图① 取y=2,则n=(2,2,一3).设B,B与平面B,EF所 49