第二章 直线和圆的方程 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 A卷 基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.点(5，一3)到直线x+2=0的距离等于 A.7 B.5 C.3 D.2 2.已知点A(1,3),B(-1,3√3)，则直线AB的倾斜角为 A.60 B.90 C.120 D.150° 3.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1，一1)，则直线L的斜 率为 ( A号 B-日 c.- n号 4.一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程 是 () 单 A.x+2y-2=0 B.2x-y+2=0 C.x-2y+2=0 D.2.x+y-2=0 北 5.已知P,(a1,b)与P2(a2,b2)是直线y=k.x十1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方 程组 aix+by=1, 的解的情况是 ( azx+bzy=1 A.无论k,P1,P,如何，总是无解 B.无论k,P,P,如何，总有唯一的一组解 C.存在k,P,P2,使之恰有两组解 D.存在k,P,P,使之有无穷多组解 如 6.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosa,sina)到直线mx十y-2=0的距离，当a,m变化时， 数 d的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程为 ( A.(x-2)+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y-1)=5 D.(x+2)2+(y+1)=5 8.过点A(-1,3),B(3.-1),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为 啦 A.(.x+1)+(y+1)=4 B.(x+1)2+(y+1)2=16 C.(x-1)+y2=13 D.(x-1)2+y2=5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设A(-2,2),B(1,1),若直线l:a.x十y十1=0与线段AB有交点，则a的取值范围不可能是 A.(-,-U2.+o) B[-3. C(-,-2JU[2+) 10.若直线y=x十b与曲线y=3一√4x一x有公共点，则b的取值可以是 () A.-3 B.-1 C.1 D.3 11.点M(.x.y)在曲线C:x2-4.x+y2-21=0上运动，t=x十y2+12x-12y-150-a,且t的最 大值为6，若a,6是正实数，则。十十的最小值不可能为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知点P(m,n)在直线2x十y十1=0上运动.则m十n的最小值为 13.直线I经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，△OAB的面积为12，则直 线1的方程为 14.若P(2,一1)为圆(x一1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知直线1：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程； (2)当O(0,0)点到直线1的距离最大时，求直线1的方程. 16.(15分)已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1) (1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标： (2)求△ABC的外接圆的方程. 10 17.(15分)已知过点P(0,一2)的圆M的圆心为(a,0)(a≤0)，且圆M与直线x十y十22=0 相切。 (1)求圆M的标准方程： (2)若过点Q(0,1D且斜率为k的直线1交圆M于A,B两点，且△PAB的面积为37，求直线 1的方程 18.(17分)已知两个定点A(一4,0)，B(一1,0)，动点P满足|PA=2PB1.设动点P的轨迹为 曲线E,直线l:y=kx一4. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E交于不同的C,D两点，且∠COD=90°(O为坐标原点)，求直线（的 斜率； (3)若=号，Q是直线1上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究： 直线MN是否过定点. 11 19.(17分)已知圆M:x2+(y一6)2=16，点P是直线l:x一2y=0上的一个动点，过点P作圆M 的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当切线PA的长度为43时，求线段PM的长度： (2)若△PAM的外接圆为圆N,试问：当点P在直线L上运动时，圆N是否过定点？若过，求 出所有的定点的坐标；若不过，说明理由： (3)求线段AB长度的最小值， —12-.AB-(0,2.0).PB-(1.,). 令=1,则x--③,y-o.n-(-3,0. #-(1--). 同理可得平面SCD的一个法向量n.一(一3,0,1). 'n.-n.'平面PEF/平面SCD. (2)存在,理由如下: 设n=(x,v,z)为平面PBC的法向量, 设AE-AS-(-1.0.③)=(-,0.③)( PB·n-0.. <1), 完 即 PC.n-0. PE-PA+AE-(1,0.0)十(-,0.③) 2) -0. -(1-&,0.3a). 令x-1,得y=-2,z--43. PB-(1.1.0). '.n-(1,-2,-4③). 设平面PEB的一个法向量为m=(x,y,). 设AB与平面PBC所成角为8. n·PE-(1-)x+③-0. 则 则sinAB·nl m·PB-r+y-0. AB| 21+(-2)+(-4③)” 令x=3,则m-(③,-③,-1). 2 易知平面SAD的一个法向量m.=AB-(0.1,0). 3 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值 |n |mV7-2+1 2 =10 因为0<<1,所以- 19.解;(1)证明:在等边三角形SAD中,P为AD的 中点,于是SPAD. 所以存在点E,位于AS上靠近A点的三等分点. 又平面SAD1平面ABCD. 第二章 直线和圆的方程 平面SADO平面ABCD-AD. A卷 基础巩固卷 sPC平面SAD. 所以SP |平面ABCD. 1.A 1+0 所以SP是四校锥S一ABCD的高. 故选A. 2.C 因为直线AB的斜率为3--.,倾斜 -1-1 所以V- 角的范围是0{} 0 180{},所以倾斜角为120{},故 所以m-2. 选C. 3.B 如图,以点P为坐标原点,PA所在直线为工轴, 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有 a十7-2, {a=-.从而可知直线1的斜率 过点P且与AB平行的直线为y轴,PS所在直线 解得 +1--2, 1--3. 为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,0). 为 A(1,0,0),B(1,1.0),s(0,0 v③),E(.o,). ). #(.#}) 4.B 如图所示,反射光线所在直 线与直线AB的倾斜角互补. '.反射光线所在直线的斜率为 2-0 #0_2. 因此所求直线方程为y一2一 2(x-0),即2x-y+2-0.故选B. 5.B 易知直线y-kx十1一定不过原点O.因为P. P。是直线y一kx十1上不同的两点,所以OP 与 OP。不平行,因此a.b-ab.-0.所以二元一次方 ##F-(#③)#P一(}) {ax十by=1,一定有唯一的一组解. 程组 a十by-1 设n=(r,y,)是平面PEF的法向量,则 6.C 直线mr十y-2-0过定点A(0,2),因此点P n·PE-0. 到直线距离的最大值为|PAl. 即 |PAl-cosa+(2-sina)-5-4sina. n..PF-0. 1 1 2-0. *当sina=-1时,PA=9-3.故选C. 44 7.A 由题意可知,圆心坐标为(2,1),半径为1,所以 圆的标准方程为(x-2)②十(y-1)*-1. NM...... 中点坐标为(1,1),所以线段AB的垂直平分线为y 0123456 -r. y-x, 解方程组 1--1. 1--1. 因此圈心坐标为(一1,一1). .CNl-(2+6)+(0-6)-10.-10+ 半径r= (-1+1)+(-1-3)-4. $ -15.-15-{-222-a-3-a,即b=3-, 所以圆的标准方程为(x十1){}十(y十1)}一16,故 ..a+b-3..'.(a+1)+b-4. 选B. 1-(+)[(a+1) 9.ABD 由ax+y+1-0得y= -##)_. -ax-1. 因此直线/过定点P(0,-1). 且斜率h一一a.如图所示,当 直线/由直线PA按顺时针方 时,等号成立,故选BCD. 向旋转到直线PB的位置时 12.解析:,P(n,n)是直线2x+y+l-0上的任意一 符合题意. 点,m^{}十”^{}的几何意义为直线上的点到原点距离 的平方, 1-0 -2-0 '.n{}+”的最小值为原点到直线2x十y十1-0 3,解得<-2或a 的距离的平方,.,所求最小值为( #,.故选 ABD. 答案: 10.BCD 如图所示,曲线y-3-V4x-π, 13.解析:根据题意知直线/的斜率存在,则设直线/ 即(r-2)*+(y-3)”-4(1<y<3,0<x<4). 的方程为y-2-k(x-3)(<0). 表示以A(2,3)为圆心,2为半径的一个下半圆, 令-0得-3-.(3-).# 当直线与圆相切时,圆心到直线y一x十的距离 等于半径2, 令x-0,得y-3k+2. ..B(0.-3+2). 2 .$-(3-)(-3+2)-12 结合图形为下半圆可知,直线y一x十万经过点(0 3)时,b取到最大值3,所以b的取值范围是1-2 化简,得(3十2)-0,解得b-- / 2<3,故选BCD 2(-3). 故直线/的方程为y-2- 3 即2r+3y-12-0. 答案:2x+3y-12-0 14.解析:设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质得PC 1AB,而直线PC的斜率 -210 -1-0-1,因为 1-2/2 k·.一-1,所以直线AB的斜率为1,又直线 11.BCD 曲线C;x-4.r十y-21-0可化为( AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y一 2)*+v一25,表示圆心为C(2,0),半径为5的圆。 (-1)-x-2,即r-y-3-0. =+y+12r-12-150-a-(+6)+(y 答案:x-y-3-0 $) -222-a,设d-(r+6)+(y-6){},则( 15.解:(1)依题意得,a+1:0. *-222-a. 令r-0,得y-a-2; d可以看作是点M(x,y)到点N(一6,6)的距离 令y-0,得,a-2 十1: IMN|,如图所示,圆C上一点M到N的距离的 .直线/在两坐标轴上的截距相等, 最大值为 CN|+5,即MN所在直线经过点C 时,d-|MN|-CN|+5,此时i取得最大 .a-2-a-2 a: 值b. 化简,得a(a-2)-0. 45 解得a-0或a-2. 18.解:(1)设点P的坐标为(x,v),则由PA = 因此,直线/的方程为x+y十2-0或3x十y-0. 2 PBl,得(+4)}+y-2 (r+1)+y,平方 (2)直线/的方程可化为a(x-1)十x十y+2-0. 可得+y+8r+16-4(*+y+2x+1), /-1-0. 解得/x-1. 整理得,曲线E的方程为x十y{一4. r+y+2-0. _-3. (2)直线/的方程为y一x-4, 因此直线/过定点A(1,一3). 依题意可得△COD为等腰直角三角形,则圆心到 由题意得,OA /时,O点到直线/的距离最大. 直线1的距离--41 一 CD. /十1 .-士/7. (x-1),即x-3y-10-0. (3)由题意可知,O.Q.M,N四点共圆且在以OQ 16.解:(1)由题意可知kno-kA= 为直径的圆上, 设Q(一4),以0Q为直径的圆的方程为x(x 又F(1.1)为AB的中点, 'AB所在直线的方程为y-1-1·(x-1). -#)十y(-+4)-0, 即x-y-0.① 同理CA所在直线的方程为x-2y-0,② 即-+*-(-4)-0, 联立①②,得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4) 又M.N在曲线E:x{+y-4上, (2)由(1)可得B(2,2).C(8,4). .MN的方程为tc+(-4)y-4-0. 设△ABC的外接圆的方程为r}+y{}+Dx十Ey十 即(x+号),-4(y+1)-0. F一0,将A,B,C的坐标代入圆的方程可得 [F-0. #{得{# {4+4+2D+2E+F-0. 名 64+16+8D+4E+F-0. y十1-0, --1. [D--16. 直线MN过定点(,-1). 解方程组可得E-12, F-0. 19.解:(1)由题意知,圆M的半径,一4,圆心M(0,6) '.圆的方程为r*+y-16x+12y-0. ·PA是圆的一条切线,.'MAP-90*。 17.解:(1)设园M的标准方程为(x-a){}+y-r^(a '. PMl- AM+AP-8. <0.>0). (2)圆N过定点. 则圆心(a,0)到直线x+y十2/2=0的距离 设P(2a,a).. MAP-90{$..经过A,P,M三 点的圆N以MP为直径. 为la+221 2 ..圆心N(a.6)半径为PM15-12a+36 2 [a^{+4-, #1+221_ .圆N的方程为(x-a)*+(-a+6) 由题意得 解得a-0或a-4② 2 5{-12a+36 (舍去),所以,一4, 40 所以园M的标准方程为x{十y一4. 即r^*+-6y+a(-2r-+6)-0. -2--y十6-0解得 (2)设直线/的方程为y一kx十1,则圆心M到直 _或{ 由 +y-6y-0 -6 线/的距离为-1 。 +1 3二 /4十3 .N过定点(0,6)和(12). 又点P(o.-2)到直线(的距离d-3. (3)由(2)知,圆N的方程为(x一a)*}十 (#0#123 +1 4 S.pa 即$^+-2ax-ay-6y+6a-0,① /十1 M:r+(y-6)-16. 3、/7 ,解得-1,.-士1. 即r+-12y+20-0.② 2 ②-①得2ar+(a-6)y+20-6a-0. 则直线/的方程为y一士x十1. 即为直线AB的方程. 46 又圆心M(0,6)到直线AB的距离d- 7.A .点P(a,b)在圆O内部.'va+<rl.由 l(a-6)x6+20-6al_ 题意知,当l.IOP时,过点P的弦最短.此时= (2a)+(a-6){ 5a-12a+36 $.|ABl-2v--2v16-a& # 16 ##-)}## a+61r lr,./。与圆O相离,故选A. .当= . 8.A 依题意得圆C的半径,-42 #_4.所以回 第二章 直线和圆的方程 C的方程为x十v-16. B卷 能力提升卷 因为PA,PB是圆C的两条切线, 所以OA AP,OB BP,所以A.B在以OP为直 4-3,因此直线 径的圆上,设点P的坐标为(8,b),6ER.则线段 OP的中点坐标为(4.),所以以OP为直径的圆 AB的倾斜角为30{},故选A. 的方程为(-4) +(y-)}-4^+(){},eR. 化简得x^{}+y}-8x -by-0,b-R,因为AB为两$$$$ 3 园的公共弦,所以直线AB的方程为8x十by-16,b +4③-0,故选A. R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点 3.A 圆C 的圆心为C(-1,1),设圆C。的圆心为 (2,0).故选A. {-161-1-0. 9.ACD 当a一0时,两直线方程分别为y一1和x= 2 解得 2.此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线 C.(a,b),依题意得 1-1. 的斜率k--sina.则-1<k<1,即-1<tan$$ 十1 1.则 [0][),故B说法正确;当x= a-2. 又圆C.的半径与圆C.的半径相等,所以 --2. x。或y一y。时,直线方程为x一x.或y一y,此时 圆C 的方程为(x-2)十(y十2){}-1.故选A. 直线方程不成立,故C说法错误: 4.D 设圆C、圆C。的半径分别为r、r.圆C.的方 程可化为(x-3)}十(y十2)-1,回C。的方程可化 若直线过原点,则直线方程为y一x,此时也满足条 为(r-7)+(y-1)*-50-a. 件,故D说法错误,故选ACD. 10.BCD 根据直线倾斜角的范围为[0,π),而开一 由两相切得,lCC=r.+r。或lCC|=lr.-r. aR,所以A不正确;当x=y-0时,xsin十 .CC|-4+3-5. ycosa十1-1子0,所以直线必不过原点,B正确; 'r+1-5或l1-r|-5→r。-4或r-6或r- 由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为 一4(舍去). 1.所以直线总和单位圆相切,C正确;当直线和两 因此,50-a-16或50-a-36→$a-34或a -14$$ 坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面 故选D. 1 -cos-1sin2a=1, 1。 a(a-1)-2X1-0,① 5.B 依题意得, [2(a-1)-6(a-10,② 所以D正确.故选BCD. 解①得,a--1或a-2. 11.CD 对于A,设z=y-x,则y=x十z,z表示直 因为a=-1适合不等武②,a-2不适合②. 线y=x十:的纵截距,当直线与圆(x-2){}十y}= 3有公共点时,12+13.解得-6-2<< 所以a=-1,故选B. 6.C 易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a十b. 2 ·直线ax+b-ab(a>0,b>0)过点(1,1),.,a十 一2,所以y一:的最大值为6一2,故A说法正 确;对于B,r{十y的几何意义是表示圆上的点到 原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则 原点到圆上的最大距离为2十③,所以1十y的 最大值为(2十③)-7+4③,故B说法正确;对 于C.兰的几何意义是表示圆上的点与原点连线 等号. '.直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 的斜率,则一的最大值为tan60{}一③.故C说法 47