第一章 空间向量与立体几何 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

18.解;(1)如图,建立空间直角坐标系 19.解:(1)证明;·.四边形ABEF为正方形, '.AFIEF. . AFD-90{*..'AF1DF. ·DFOEF-F,DFC平面EFDC,EF平面 EFDC. '.AF|平面EFDC.'AFC平面ABEF, ..平面ABEF]平面EFDC. (2)由AFIDF,AF1EF,可得 DFE为面DAF 和面ABEF所成角的平面角。 则 A(0,0.0).B(1.0,0).C(2.2,0).D(0.2,0). P(0.0.2),E(1,1.1). .四边形ABEF为正方形, '.BE/AF,BEEF. 所以BF-(0.1,1),PB-(1,0.-2).PD-(0,2 又AF]平面EFDC...BE1平面EFDC 一2),设乎面PBD的法向量为m-(x,y,z),则 .CEC平面EFDC...CEBE. 由mPB,mIPD. 可得 CEF为面CBE和面ABEF所成角的平 m·PB-x-22-0. 面角, 得 n.PD-2y-2:-0. ..DFE= CEF-60{. .AB//EF.ABC平面EFDC,EFC平面EFDC. 令-1,得x-2.y-1,即m-(2.1.1) BE.n__ 'AB/乎面EFDC, 所以cos(BE,m)= .平面EFDCO平面ABCD=CD,ABC平面ABCD. BElm ②x6 .AB/CD..CD/EF. 设直线BE与平面PBD所成角为a, '.四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立 则sina-l cos(BE.m)-.即直线BE与平面 如图所示的空间直角坐标系, (2)由(1)得PC-(2,2.-2).PB-(1,0.-2). AC-(2.2,0). 设PPF-a$[C(o<<1),则BF-P-PB-P 设FD=a,则E(0.0,0),B(0.2a,0). -PB-(2,2.-2)-(1,0.-2)-(2-1,2. (C(#)A2.20). 2-22). Br·AC-41-2+4-0.解得1-1. $EB=(0,2a,0),BC=(.-2a)#AB= 所以点#(#).# (-2a,0.0). 设乎面BCE的法向量为m一(x,y,z). 显然,AD-(0,2,0)是平面PAB的一个法向量, m.EB-0. (2a-0. .BC-。. ,即 设n一(x,y,z)是平面FAB的法向量. 因为AF-()#(), 令=-1,则x-3.-0,则m=(3.0.-1. n A- 。 3 同理可得平面ABCD的一个法向量为n-(0.③,4). 所以 设面BCE与面ABCD所成角的大小为8. n.B-- #1.++ n.n 1-4 2=0. 则cos0-。 219 m·n③+1x3+16 19 令z-1,则y--3,x.-0,所以n-(0,-3,1). 所以cos(AD.n)--6310 .面BCE与面ABCD所成角的余弦值为2T. 19. 2×./10 10; 设平面FAB与平面PAB的夹角为③, 第一章 空间向量与立体几何 则cosg-lcos(AD,n)|-310 B卷 能力提升卷 1.B 关于工轴对称的点横坐标相等,纵坐标和竖坐 即平面FAB与平面PAB 的夹角的余弦值 标相反,故选B. 为310 2.B 由题意可得,a+2b-(1+2x,4,4-y),2a-b 10 -(2-x.3.-2-2). 39 .(a+2b) /(2a-b).'éR,使a+2b-(2a-b). 8.A 由共面向量定理和共线向量定理可知.M一平 面BCD,NE直线AC,当AM、BN最短时,AMl 1+2x-a(2-x). 得4-3, 乎面BCD,BN|AC. 解得 故选B. 所以M为八BCD的中心,N为AC的中点,此时,2 4--x(-2v-2). 2. lMC|2 3.. MC-23 sin60 4、3 3.C 对于A.MA+MB+MC-OA-OM+OB- .AM 平面BCD,MCC平面BCD...AMMC. OM+OC-OM-OA+OB+OC-3OM0 .MA 所以点M、A、B、C不共面; ##AC-MC72--(23)#-# 对于B,: MN- _ 共面: 对于C.由MA+MB+MC-0. 得MA=一MB一MC,由共面向量定理知.MA. MB,MC为共面向量, .点M、A、B、C共面; 9.BCD 选项A中,根据基底的概念,知空间中任何 三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,故A 对于D,由OM+OA+OB+OC-0. 错误:选项B中,根据基底的概念,故B正确:选项 得OM=-(OA+OB+OC),系数和不为1. C中,由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,知 .点M、A、B、C不共面.故选C. 4.D 由题意可得,MN-AN-AM BA,BM.BN共面.又BA,BM,BN均过点B,所以 A.B,M,N四点共面,故C正确; 选项D中,已知a,b,c是空间的一个基底,则基向 量a,b可以与向量n一a十c构成空间的另一个基 .AC-a+b,AD-b+c. 底,故D正确,故选BCD. c.,故选D. 10.AC 如图,建立空间直角 坐标系, 5.C.a-/5..4+1+x-5.解得x-0. 则A(0.0,0),B(a,0,0). 由alb,得a·b-4+y-x-0. C(a.a.0).D(0.a.0).A 解得y--4..x十y--4,故选C. (0.0.a).C.(a.a.a). 6.A 对于A,.:a·b-2-1-1-0. ..AB-(a,0.0).BC= 'ab.'./与m垂直,A正确;对于B. :a。与n不共线..直线/不垂直平面a,B错误; (0.a,0),A.C-(a,a,o),z 对于C,.n与n。不共线, A.D=(0,a,-a),CA-(-a,-a,-a),CA= ·平面a与平面8不平行,C错误; (-.-.0). 对于D,AB-(-1,-1.1),BC-(-1,3.0). .AB.CA--*,AB·AC-*},BC·AD- 由n·AB=-1-+1-0,n·BC=-1+3u=0. a,AB·CA--a,故选AC. 4 解得- 11.BC 对于选项A,以D点为坐标原点,DA、DC、 _ DD.所在直线分别为工轴、y轴、轴,建立空间 故选A. 直角坐标系,则D(0.0.0),A(1,0.0),A(1,0,1). 7.C 如图,建立空间直角坐标系, E(.1.o),F(o.1,),G(1.1,),D(0.0,1). 则 A(1,0,0),D(0,0.0). B.(1.1.③).D.(0.0.③). 从而DD=(0,0,1).AF=(-1.1,) 所以AD=(-1,0.③),DB (1,1③. AD·DB. AF不垂直,选项A错误 cos(AD..DB)- |AD |DB| D. --1+35 25 & 所以异面直线AD。与DB 所成角的余弦值为 5 故选C. 对于选$B.AG=(0.1.-)AE=(-1.), 设N(0,b,0),则BN-(0.b-/2,0). BD=BN.'-2②-(-. AF-(-1,1,). .2-22.: N(o.)-2~2.), 设AG-:AF+yAF. A .MN-(-#2~2). 0-- 则1-x+y. 解得 x-2. y-1. 解得-4. 答案:4 则A$ G=2AE-AF,A G.AE,AF共面,又A G 13.解析:因为P.Q分别为AB. 1& 平面AEF: CD上的动点,所以PQ的 R '.直线A.G与平面AEF平行,故选项B正确; 最小值即异面直线AB,CD 对于选项C.连接AD.DF,延长AE.DF,交 间的距离,如图,建立空间直 DC的延长线于点H,易知四边形AEFD.为平面 角坐标系, AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示), 则A(2.2.0).B(0,0,2).C (0.2.0).D(0.2.2). .'AB-(-2,-2,2). ~ CD-(0.0.2),AC-(-2.0,0). p.. .... 设n-(x,y,c)是异面直线AB与CD的公垂线的 方向向量。 且DH=AH- 5,AD=②. n·AB--2x-2y+2x-0. 则 所以$-×()-(^{})#-3# n.CD-2-0. 令y-1,得x--1,:-0. '.n=(-1,1,0)是异面直线AB与CD的公垂线 的方向向量, 对于选项D,由题意得, 设异面直线AB,CD间的距离为d, S-Sarr:-Sn: ##×(1+)#×-××-#. n{ 2 ## 答案:/2 14.解析:如图,以点B为坐标原点,建立空间直角 .V.-cr=2V-nr. 即V--2V-r,点G到平面AEF的距离为 点C到平面AEF的距离的二倍,故D错误;故 所成角为30*. 选BC. 12.解析:连接AC,交BD于点O,连接OP,以O为原 点,OA所在直线为工轴,OB所在直线为y轴, OP所在直线为:轴,建立空间直角坐标系, 则 -|PB ·sin30*-1. ....._0 由PB-2,PA-PD得. (*+y+1-4, (<1)*++1-(-)*+(-3){}+1. 设PA=AB-2,则A(/2,0,0),D(0.-/2,0) M(#2}o.}):B(O.v2.0).B-(0,-2v2.0); 解得 (舍去), AD-(-②.-②,0) 41 2=0. PCD与面ABCD垂直,故平面PCD与平面ACD 20. 的夹角为90{},正弦值为1. 答案:1 令=1,得x-3,y-0. 15.解:如图,建立空间直角坐标系; 'a-(3,0,1)是平面PBC的一个法向量,由直 线DE与平面PBC所成角为60{, 得 cos(DE,a)-3 2 即③ 3.^-3+1-0. 22-3+2 解得-或1, '.存在点E与C重合,即入一1时满足条件,或点 设AB-a.AD-b.AP-c.则A(0.0.0).B(a.0.0) Ccta,b,o,M(o.o),N(,)#R-(6.o). 若选②,则三角形PAB + (1)''AR-(.o)MC-(,.0). 为等腰直角三角形,取 AB的中点Q,连接PO. .AR-MC...AR/MC. 则 POAB,又平面 PAB平面ABCD,所以 又ARC平面PMC,MCC平面PMC. PO平面ABCD,以O '直线AR/平面PMC. 为原点,直线AB为r (2):MN-(0.)AB=(a:0.0). 轴,直线OP为:轴,建立 如图所示的空间直角坐 .AB.MN-0..MN1AB 标系: 16.解:若选①,则三角形 则B(}.0.o).c(告.1.0):D(-,1.o) PAB为等边三角形,取 #(0#0). AB的中点O,连接PO. 则 PO1AB,又平面 $ PB-(。-)#P(1.-) PAB1平面ABCD,所以 PO平面ABCD,以O #p#(,-1.).# 为原点,直线AB为x 轴,直线OP为:轴,建 .DE-DP+PE-DP+&PC 立如图所示的空间直角 -(.-1.)+(.1.-) 坐标系. #(+-1+-1). 则B(,0.o).c(},1.o).D(-1.o). 设b一(x。,y,)是平面PBC的法向量, #P(0.0^}). PB·b- 1 则 .DP-(-1.),^B-(#), # ·b-1:+y.-2~-0. ##(#1})# 令z-1,得x.-1,y。-0. '.b-(1,0,1)是平面PBC的一个法向量,由直 .DE-DP+PE-DP+PC 线 DE与乎面PBC所成角为60{*}得 lcos(DE,b)l #(.1)(.1-) ##+-1##), 即, ③ 设a一(x.,y,z.)是平面PBC的法向量, .9-12+5-0. 42 ·A-144-180 0..,方程无解, (2)如图,以O为坐标原点,OB 即不存在A,满足PE一入PC,使直线DE与平面 的方向为工轴正方向,建立空 PBC所成角为60{。 间直角坐标系Oxyz. 若选③,则PA-AB,过点P作PO AB,垂足为 由题意得O(0.0,0),B(2,0,0). 0.又平面PAB |平面ABCD,所以PO 平面 A(0.-2,0),C(0.2,0),A ABCD,以O为愿点,直线AB为x轴,直线OP P(0.0,2③)...AP-(0.2,2③) 为一轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 易得平面PAC的一个法向量 为OB-(2.0.0). 设M(a,2-a,0)(0<a<2),则AM-(a,4-a,0). 设平面PAM的法向量为n-(x,y,). 由AP·n-0,AM·n-0. 得 2y+2③-0. 则 B(.o.o).c(,1,0).D(,1.o) ax+(4-a)y-0. 可取n-(3(a-4)③a,-a). #(#}). 23(a-4) 所以cos(OB,n)= 2v3(a-4)*+3a+a #PB-(#)#,$-(.1.-). 2. ##7--#})# 2v③a-4 所以 ③ 27 $DE-DP+PE-DP+PC #(.-1)+#^( 1.-3) 所以_(84-) #(-+#-1+), 又PC=(0.2.-2③),所以cos(PC.n)= 设n一(x,v,=)是平面PBC的法向量, 一# /PB.n= #_0 所以PC与平面用PAM所成角的正弦值为 则 ③ x+- #3-0. 18.解:(1)当PB=2 2时,平面PAD1平面ABCD. 理由如下;在△PAB中,因为AB-PA-2,PB= 令x=1,得。-v③,y-0. 2/2. '.n一(1,0.③)是平面PBC的一个法向量,由直 所以ABPA, 线DE与平面PBC所成角为60{*, 又AB |AD:ADOPA=A,所以 AB 平 面PAD. 又ABC乎面ABCD 1 所以乎面PAD 平面ABCD. 即一 24-5+2 (2)分别取线段AD,BC的中点O.E,连接PO. '12-15+5-0. OE,因为△ADP为等边三角形,O为AD的中 .A-225-240 0..方程无解, 点,所以PO1AD,因为O.E分别为AD,BC的 中点,所以OE/AB,又AB1AD,所以OEl 即不存在入,满足PE一xPC,使直线DE与平面 AD,故 POE为二面角P一AD一B的平面角, PBC所成角为60{. 所以 POE-150{} 17.解:(1)证明:因为AP=CP=AC-4,O为AC的 中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB. 如图,分别以OA,OE的方向以 及垂直于平面ABCD向上的方 向作为工轴,y轴,:轴的正方 向,建立空间直角坐标系Oxy:, 则A(1,0,0),B(1,2,0). 由OP^{}+OB-PB^{*}知PO1OB$$$ P#(o.-.) c(一1.1.0). 由OP 1OB,OP 1AC,OBOAC=O知PO 平 面ABC. 43 .AB-(0,2.0).PB-(1.,). 令=1,则x--③,y-o.n-(-3,0. #-(1--). 同理可得平面SCD的一个法向量n.一(一3,0,1). 'n.-n.'平面PEF/平面SCD. (2)存在,理由如下: 设n=(x,v,z)为平面PBC的法向量, 设AE-AS-(-1.0.③)=(-,0.③)( PB·n-0.. <1), 完 即 PC.n-0. PE-PA+AE-(1,0.0)十(-,0.③) 2) -0. -(1-&,0.3a). 令x-1,得y=-2,z--43. PB-(1.1.0). '.n-(1,-2,-4③). 设平面PEB的一个法向量为m=(x,y,). 设AB与平面PBC所成角为8. n·PE-(1-)x+③-0. 则 则sinAB·nl m·PB-r+y-0. AB| 21+(-2)+(-4③)” 令x=3,则m-(③,-③,-1). 2 易知平面SAD的一个法向量m.=AB-(0.1,0). 3 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值 |n |mV7-2+1 2 =10 因为0<<1,所以- 19.解;(1)证明:在等边三角形SAD中,P为AD的 中点,于是SPAD. 所以存在点E,位于AS上靠近A点的三等分点. 又平面SAD1平面ABCD. 第二章 直线和圆的方程 平面SADO平面ABCD-AD. A卷 基础巩固卷 sPC平面SAD. 所以SP |平面ABCD. 1.A 1+0 所以SP是四校锥S一ABCD的高. 故选A. 2.C 因为直线AB的斜率为3--.,倾斜 -1-1 所以V- 角的范围是0{} 0 180{},所以倾斜角为120{},故 所以m-2. 选C. 3.B 如图,以点P为坐标原点,PA所在直线为工轴, 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有 a十7-2, {a=-.从而可知直线1的斜率 过点P且与AB平行的直线为y轴,PS所在直线 解得 +1--2, 1--3. 为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,0). 为 A(1,0,0),B(1,1.0),s(0,0 v③),E(.o,). ). #(.#}) 4.B 如图所示,反射光线所在直 线与直线AB的倾斜角互补. '.反射光线所在直线的斜率为 2-0 #0_2. 因此所求直线方程为y一2一 2(x-0),即2x-y+2-0.故选B. 5.B 易知直线y-kx十1一定不过原点O.因为P. P。是直线y一kx十1上不同的两点,所以OP 与 OP。不平行,因此a.b-ab.-0.所以二元一次方 ##F-(#③)#P一(}) {ax十by=1,一定有唯一的一组解. 程组 a十by-1 设n=(r,y,)是平面PEF的法向量,则 6.C 直线mr十y-2-0过定点A(0,2),因此点P n·PE-0. 到直线距离的最大值为|PAl. 即 |PAl-cosa+(2-sina)-5-4sina. n..PF-0. 1 1 2-0. *当sina=-1时,PA=9-3.故选C. 44第一章 空间向量与立体几何 B卷能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在空间直角坐标系中，点P(一2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是 A.(-2,1,-4)》 B.(-2,-1,-4) C.(2,-1,4) D.(2,1,-4) 2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 ) 色 A-3y-=1 Bx=2y=-4 C.-2.y--1 D.x=1,y=-1 3.在下列条件中，点M与A、B、C一定共面的是 A.OM=2 0A-OB-OC B.oi=号OA+3Oi+20d C.MA+MB+MC=0 D.OM+OA+OB+OC-0 单 4.如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=a,AD=b,AA 北 =c,M是A,D的中点，点N是CA,上的点，且CN:VA,=14,用 翰 a,b,c表示向量MN的结果是 A.zatbte Ba+号b+c C.a-joe 1 n+b- 4 如 5.向量a=(2,1,x),b=(2,y,一1)，若a=5,且a⊥b,则x十y的值为 ( 数 A.-1 B.1 C.-4 D.4 6.给出以下命题，其中正确的是 A.直线1的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2.1,一2)则1与m垂直 B.直线1的方向向量为a=(0,1,一1)，平面a的法向量为n=(1,一1，一1)，则l⊥a C.平面a、3的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则a∥3 剂 D.平面a经过三个点A(1,0,一1)，B(0,一1,0)，C(一1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面a的法 向量，则u十1=1 7.长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=BC=1,AA,=3,则异面直线AD1与DB 所成角的余弦值为 A号 5 b.6 c D.2 5 8.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC-(x-y一1)AD,点N满足 BN=入BA+(1-)BC,当AM、BN最短时，AM·MN= () A.-3 B青 c-号 D号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给出下列命题，其中正确的有 ( A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.A,B,M,V是空间中的四个点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，那么A,B,M,N共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a十c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 10.设几何体ABCD一A,BC,D是棱长为a的正方体，以下结论正确的有 A.AB·C1A=-a B.AB·AC=2a C.BC·AD=a D.AB·CA,=a 11.正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1,BB1的 D 中点，则 ( A.直线DD与直线AF垂直 B.直线A,G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为号 D.点C和点G到平面AEF的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.如图，在正四棱锥P一ABCD中，PA=AB,点M为PA的中点，BD=入BN.若MN⊥AD,则 实数入= M D 13.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上， 若P,Q均为动点，则PQ的最小值为 14.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD= 60°，PB=2,PA=PD,当直线PB与底面ABCD所成角为30°时，平面 PCD与平面ACD的夹角的正弦值为 D 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD,M、N,R分别是AB、PC、CD的中点.求证： (1)直线AR∥平面PMC: (2)直线MN⊥直线AB.(用向量方法) 16.(15分)在①∠PAB=60°：②PA⊥PB:③∠PAB=120这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，若问题中的入存在，求出入的值：若入不存在.请说明理由. 已知等腰三角形PAB和正方形ABCD, ,AB=1,平面PAB⊥平面ABCD,是否存在 点E,满足PE-λPC,使直线DE与平面PBC所成角为60°？ 注：如果选择多个条件并分别解答，按第一个解答计分. B 17.(15分)如图，在三棱锥P一ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的 中点 (1)证明：PO⊥平面ABC: (2)若点M在棱BC上，且二面角M一PA一C为30°，求PC与平面PAM 所成角的正弦值. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AB⊥ AD,AB=AD=2CD=2,△ADP为等边三角形. (1)当PB的长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD?并说明理由： (2)若二面角P一AD-B的大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正 弦值. 19.(17分)如图，在四棱锥S一ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD 是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点， P为校AD的中点，四棱锥S一ABCD的体积为2 (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面PEF∥平 面SCD: (②)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的 位置；若不存在，请说明理由. 8