第一章 空间向量与立体几何 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第一部分 章末过关检测卷 第一章 空间向量与立体几何 ...... A卷 基础巩固卷 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若两个向量AB-(1,2,3),AC-(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为 _~ B.(1,2,1) A.(-1,2,-1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 2.已知A(0,0,2).B(1,0,2).C(0.2,0),则点A到直线BC的距离为 ( _* A.22 C./2 B.1 D.2/2 3 3.如图所示,在三校锥C-OAB中,OA1OB,OC平面OAB,OA=6,OB=OC r 直线EF与OD所成角的余弦值为 ,_ A B} D D 4.如图所示,在三校锥A-BCD中,AB1平面BCD,BC CD,且AB-BC=1,CD=2,点E为 CD的中点,则AE的长为 ) 班 A./2 B.3 C.2 D.5 5.设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y.1),c=(2,-4,2),且alc.b/c,则x十y的值为 C.2 A.-1 B.1 D.3 6.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离 为 ) A.③ B./2 C.2 D.3 7.空间直角坐标系中的点A(3,3.1)关于平面Oxv的对称点A与点B(-1,1,5)间的距离为 _~ B.2/6 A.6 C.43 D.2/14 8.如图所示,四边形ABCD中,AB=BD=DA-2,BC=CD=/2,现将△ABD沿 ) ) 1#7 A.2 8 # C3/2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知v为直线/的方向向量,n,n。分别为平面a,3的法向量(a,③不重合,/不在a,3内),那么 下列说法中正确的有 ) A.n/na/③ B.nIna|{ C./n-//a D.v n.一/Ia 10.已知长方体ABCD一A.B.C.D,则下列向量的数量积可以为0的是 A.AD·BC B.BD.·AC C.AB.AD D.BD·BC 11.如图,在正方体ABCD一A.B.C.D 中,M,N分别是BC,CD.的中点,则下列说法正确的是 . - A.MN与CC.垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A.B 平行 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知圆锥的顶点为S,O为底面中心,A,B,C为底面圆周上不重合的三点,AB为底面的 直径,SA一AB,M为SA的中点,设直线MC与平面SAB所成的角为。,则sina的最大值为 13.已知AB-(1,5,-2),BC=(3.1,),若AB BC,BP-(x-1,y,-3),且BP1平面ABC,则 B_P- 14.如图所示,四校锥P一ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是边长为2的 正方形,PD一2,E是校PB的中点,M是校PC上的动点,当直线PA与直线 EM所成的角为60时,那么线段PM的长度是 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图,在四校锥P一ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面 PAD|底面ABCD,且PA-PD- 点,求证: (1)EF/平面PAD: (2)EF平面PDC.(用向量方法证明) 16.(15分)在所有校长均为2的三校柱ABC-A.BC 中, B.BC-60{*},求证 (1)AB IBC; (2)A.C平面ABC 17.(15分)如图,以梭长为1的正方体的三条校所在直线为坐标轴,建立空间 直角坐标系Oxy,点P在线段AB上,点Q在线段DC上. (1)当PB一2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PMl的长度; (2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究 [PQ的最小值. 18.(17分)在四楼锥P一ABCD中,PA | 底面ABCD:AD |AB. AB/DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为PC的中点 (1)求直线EB与平面PBD所成角的正弦值; (2)若F为校PC上一点,满足BF AC,求平面FAB与平面PAB 夹角的余弦值 19.(17分)如图,在以A,B,C,D,E,F为项点的五面体中,面ABEF为正方 形,AF-2FD, AFD=90{*,且面DAF与面ABEF所成的角和面CBE 与面ABEF所成的角都是60{。 (1)证明:平面ABEF平面EFDC (2)求面BCE与面ABCD所成角的余弦值参考答案 第一部分章末过关检测卷 BD一C的平面角，，'二面角A一BD一C的平面角 第一章空间向量与立体几何 为晋∠AOC=要以0为原点，0C所在直线为 x轴，OD所在直线为y轴，过点O作平面BCD的 A卷基础巩固卷 垂线为：轴，建立空问直角坐标系，则B(0,一1,0)， 1.A设平面ABC的法向量为n=(x,y,g),则 n·AB=0, {x+2y+3x=0, 即 C1.0.0.D0.1.0.A(-2,0）Ai- n·AC=0,3x+2y+2=0 令x=一1，则y=2,x=一1，即平面ABC的一个法 (经-1，-）.Ci=(-11.0,设AB与CD所 向量为n=(-1,2,-1). 2.AA(0,0,2),B(1.0,2),C(0,2.0)..AB 成的角为&，则cosa= IAB.CD (1,0,0),BC=(-1,2,-2),.点A到直线BC的 IAB·ICD 2√2 距离为d=1AB| ”=1× =52 √1-(cos(AB,BC) 8 -(- 9.AB平面a,8不重合，l不在a,3内，.平面a,3 3 的法向量平行（垂直）等价于平面《，B平行（垂直）. 3.B因为OA⊥OB,OC⊥平面OAB,所以以O为原 ∴A,B正确：直线（的方向向量平行（垂直）于平面 点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OC a的法向量等价于直线【垂直（平行）于平面a,∴ 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，又OA=6, C,D都错误.故选AB. OB=O℃=8，所以A(6,0,0),B(0.8,0),C(0,0,8).因 10.ABC若AA,=AD,则AD,⊥B,C,A正确：若 为点D,E分别为AC,AB的中点，所以D(3,0,4), AB=AD,则BD⊥AC,B正确：AB⊥平面 E(3.4,0),因为BF=3BC,所以F(0,2,6),所以 4 AA1DD,∴AB⊥AD1,C正确：BD,和BC分 EF=(-3,-2,6),0D=(3,0,4),所以异面直线 别为矩形A,DCB的对角线和边.∴.两者不可能 垂直，D错.故选ABC EF与OD所成角的余弦值为|cOs(EF,OD)|= 11.ABC设正方体的棱长为 EF.OD -9+24 3 1,如图，建立空间直角坐标 IEFI.IODI w9+4+36×√9+16 系，则A(1,0,0),B(1,1, 4.B AE-(AB+BC+CE)-AB+BC+CE+ 0),C(0,1.0),D(0,0.0), 2AB·BC+2AB·CE+2BC·CE=AB+BC A(1,0,1),B(1,1.1). +CD=1+1+1=3.所以AE=5,故选B. 5.AaLc,∴.a·c=2x-4+2=0,解得x=1,又 N(o,》 b/e当合解得y-2到x+y=-1 故选A M=(-2-言0.cC=00,1,Ac- 6.A由中点坐标公式，得P(1,1,一1)，所以OP= (-1.1,0),BD=(-1,-1,0),AB=(0.1,0), (1,1,-1),1OP=√1+1+1=5.故远A. ∴MN.CC=0,MNLCC,A说法正确：MN 7.D由题意得，A'(3,3,一1)，所以AB=(-4,-2,6), ·AC-号-号-0 MNLAC.B-说法正确，易 所以A'B=√/16+4+36=214，故选D. 8.A提示：如图所示，取BD的中 知BD=2MN,且M、N∈BD.∴.MN∥BD.C说 点O,连接AO,CO,AB=BD =0×入， =DA=2,BC=CD=√2，∴.CO 法正确：设MN=AA1B,得 无解， ⊥BD,AO⊥BD,且CO=1,AOB =5,∴.∠AOC是二面角A 所以MN与A,B,不平行，D说法错误.故选ABC 37 12.解析：捉示：以AB的中点O为坐 所以向量EF,PD,DA共面， 标原点，建立如图所示的空间直角 又EF吐平面PAD,DA,PDC平面PAD, 坐标系，不妨设SA=AB=4,则M 所以EF∥平面PAD, (0,一13)，设C(x,y,0),由对称 (2)因为侧面PAD⊥底面ABCD.侧面PAD∩底 性不妨设x>0,y<0且x2+y= 面ABCD=AD,底面ABCD是正方形，所以CD 4,则MC=(xy+1,-3),易知平 ⊥平面PAD,CD⊥PA 面SAB的一个法向量为m=(1,0,0), 设AD=1,喇AD=(PD-PA)2=PD+P 据此有sina=Mc·m x MG×m√+(y+1)+3 2PiP,即1=2+号-2PiPi, ×+0品可<42=5-1 所以PD·PA=0, 所以E丽.PD=号(P元+DA)·Pi-号PA, 当且仅当y=2√3-4时等号成立.综上可得sina 的最大值为3一1. PD-0.EF.CD-2(PD+DA).CD-0, 答案：3一1 所以EF⊥PD,EF⊥CD,由PD,CDC平面 13.解析：因为AB⊥BC,所以AB·BC=0, PCD,PD∩CD=D,可得EF⊥平面PCD. 即1×3十5×1+(-2)x=0.所以=4. 16.证明：(1)易知(AB,BC)-120°，AB,-AB+BB, 因为BP⊥平而ABC, 则AB,·BC=(AB+BB,)·BC=AB.BC+ 所以BP⊥AB,且BP⊥BC, 即0Xx-1)+5+(-2)×(-3)=0, B,BC=2×2×(-)+2x2×2=0.所以 3(x-1)+y+4×(-3)=0, AB⊥BC =9 (2)易知四边形AA,CC为菱形，所以A,C⊥AC,因 解得 所以B成-(-只.-3） 为AB,·A,C=(BB,-BA)·(AC-AA,) 7” =(BB-BA).(BC-BA-AA 答案：（学，-只-3） =BB,·BC-BB·BA-BB·AA-BA.BC 14.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0), +BA·BA+BA·AA P(0,0,2),B(2,2,0),∴AP=(-2,0,2),E是 =BB·BC-BB,·AA-BA.BC+BA.BA 棱PB的中点，.E(1,1,1),设M(0,2-m,m), 则EM=(-1,1-m,m-1), =2x2x号-4-2×2X号+4 :.cos(AP,EM)| AP·EM =0. 所以AB,⊥A,C,又AC∩AB,=A,所以A,C⊥ APIIEMI 平面AB,C. 12+2(m-1) 17.解：由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0), 22·√1+2(m-1)7 2,解得m=3 D(1,1,1) Mo.PM=+器-5 25+25_52 I)由PB-2PA得P(1,号)， 所以M-1号一号)所以PM=2 3 (2)当点P是面对角线AB的中点时，P(1,2,号）)： 点Q在面对角线DC上运动，设点Q(a,l,a),a∈ [0,1], 答案5 则1PQ=a-+1-2）+(a-2) 15,证明：1)E承=P示-P尼=(Pi+PB)-P元 2a-a+2a-+ -2Pi+2P店-p心-2Pi+2i=P币 所以当a-是时，PQ取得最小值，此时点 +号Di, Q(1.) 38 18.解：(1)如图，建立空间直角坐标系， 19.解：(1)证明：，四边形ABEF为正方形， ∴.AF⊥EF :∠AFD=90°，.AF⊥DF :DF∩EF=F,DFC平面EFDC,EF丈平面 EFDC. .AF⊥平面EFDC,.AFC平面ABEF, .平面ABEF⊥平面EFDC. (2)由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为面DAF 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), 和面ABEF所成角的平面角， P(0,0,2),E(1,1,1), ,四边形ABEF为正方形， .BE∥AF,BE⊥EF, 所以BE=(0,1,1),PB=(1,0,-2),PD=(0,2, 又AF⊥平面EFDC,,,BE⊥平面EFDC 一2)，设平面PBD的法向量为m=(x,y),则 ,CEC平面EFDC,∴.CE⊥BE. 由m⊥PB,m⊥PD, 可得∠CEF为面CBE和面ABEF所成角的平 得m·P店=x-2=0, 面角， .∠DFE=∠CEF=60°. m·PD=2y-2x=0, ,AB∥EF.AB平而EFDC,EFC平面EFDC, 令2=1，得x=2y=1.即m=(2,1,1), .AB∥平面EFDC, 所以cos(B正，m= BE·m=2 ,平面EFDC门平面ABCD=CD,ABC平面ABD, BEIm√2X63 ∴.AB∥CD,.CD∥EF, 设直线BE与平面PBD所成角为a, ∴四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立 则s血a-cos(成，m)1-,中真线BE与平面 如图所示的空间直角坐标系， PBD所成角的运孩值为号 (2)由(1)得PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2), AC=(2,2,0) 设PF=APC(0≤≤1)，则BF=PF-PB=aPC 设FD=d,则E(0,0,0),B(0,2a,0). -PB=(2λ，2A,-2A)-(1,0,-2)=(21-1,2A, c号0aa2a2.0 2-2λ). B示.AC-4以-2+4以=0，解得入= 4 ∴E店=(0,2a,0.B=(号-2a.a小A店 所以点F合合》 (-2a.0.0). 设平面BCE的法向量为m=(x1yz), 显然，AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， 则 m·EB=0,2ay=0, 设n=(x1y1,名)是平面FAB的法向量. 因为=（合2）脉-（日》 mBc=0,受-2ay+。 即 a 41=0. 令=-1，则1=3，y=0,则m=(W3,0,-1D, …-+2+是-0， 同理可得平面ABCD的一个法向量为n=(03,4) 所以 设面BCE与面ABCD所成角的大小为0， a…㎡=++2-0， 1-4219 则os0=m·nV3+X3+1619, 令21=1，则y1=-3,x1=0,所以n=(0,-3,1), 所以cos(AD,n)=。 -6=-310 2×1010 六面BCE与面ABCD所成角的余孩值为2 19 设平面FAB与平面PAB的夹角为B, 第一章空间向量与立体几何 则cosB=cos(Ad,n1=3y0 B卷能力提升卷 10 1.B关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐 即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值 标相反，故选B. 为310 2.B由题意可得，a十2b=(1+2x,4,4一y),2a一b 10 =(2-x,3,-2y-2). 39