第四章 指数函数与对数函数 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

B卷 能力提升卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知1og2 =m,log,3=,则a+等于( 7.若f(x)=lg(x2-2a.x+1+a)在区间(-o∞，1] 上递减，则a的取值范围为 ( A.3 b.1 A.[1,2) B.[1,2] n号 C.[1,+o∞) D.[2,+o∞) C.9 x十2，x>a, 2.下列函数中，满足“f(x十y)=f(x)·f(y)” 8.已知函数f(x)= 若函数 x2+5.x+2,x≤a, 的函数是 ( g(x)=f(x)一2x恰有三个不同的零点，则 A.f(x)=3x B.f(x)=x 实数a的取值范围是 ( p C.f(x)=3 D.f(x)=logsx A.[-1,1) B.[-1,2) 并 C.[-2,2) D.[0,2] 3.给出f(x)= 2≥4， 则f(log3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 f(x+1),x<4, 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 的值等于 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 A.- 23 分，有选错的得0分 2 8 数 9.下列指数式与对数式互化正确的是() C. 1 D.24 A.e°=1与log。1=0 4.设a=5°，b=log.40.5,c=log10.4,则a, 8十=2与1og- 3 b,c的大小关系是 C.1log9=2与9=3 茶 A.a<b<c B.c<b<a D.log,7=1与7'=7 C.c<a<b D.b<c<a 10.对于0<a<1,给出下列四个不等式，其中 细5.函数f(.x)=2+3x的零点所在的一个区 成立的是 间是 A.log+a)<log1+a） A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) B.log.1+a)>l1og.(1+） 6.在同一直角坐标系中，y=2与y=log2(一x) C.al+<a+ 的图象可能是 D.al+>a+ 41 11.以下四种说法中，正确的是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写 A.幂函数增长的速度不一定比一次函数 出文字说明、证明过程或演算步骤. 增长的速度快 15.(13分)定义在R上的偶函数y=f(x)在 B.对任意的x>0,x”>logx (一∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为 C.对任意的x>0,a>logx 2,求满足f0g)≥0的x的取值 D.不一定存在x。,当x>x。时，总有> 范围. r">log. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.若1og(log2x）=log:(1og3y)=0,则x= ,y= 13.函数y=log-Dx是(0，十o∞)上的减函 数，则实数a的取值范围是 14.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数 关系图象如图所示.假设其函数关系为指 数函数，并给出下列说法： 面积/m 16 01234时/月 ①此指数函数的底数为2： ②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会 超过30m2; ③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需 1.5个月： ④设野生水葫芦蔓延至2m2,3m,6m 所需的时间分别为11,2,3，则有41十2 =13； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的 平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的 平均速度， 其中，正确的是 (填序号) 42 16.(15分)已知指数函数g(x)=a(a>0,且 17.(15分)设函数f(x)=1og(9.x)·1og(3.x),且 a≠1)的图象经过点P(3,8). f<o, (1)求函数g(x)的解析式： (1)求f(3)的值： (2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求 (2)令1=log3x,将f(x)表示成以t为自变 x的取值集合. 量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与 最小值及与之对应的x的值 43 18.(17分)一片森林原来的面积为a,计划每 19.(17分)已知定义域为R的函数f(x)= 年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比 一2十“是奇函数. 2+1 相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时 间是10年.为保护生态环境，森林面积至 (1)求a的值： (2)判断并证明该函数在定义域R上的单 少要保留原面积的}，已知到今年为止，森 调性： 林利余面积为原来的号 (3)若对任意的t∈R,不等式f(t一2t)+ f(22-k)<0恒成立，求实数k的取值 (1)求每年砍伐面积的百分比： 范围； (2)到今年为止，该森林已被砍伐了多 (4)设关于x的函数F(x)=f(4一b)十 少年？ f(一2)有零点，求实数b的取值范围. (3)今后最多还能砍伐多少年？ 44又g(2)=4,所以a=2,所以f(x)=2-2「， 18.【解】(1)当x=1时，y=100+100×1.2%=100(1+ 所以f(2)=22-2-2=15 1.2%)； Γ4 当x=2时，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)× 14.(o,)U(e,+o∞)南已知fm)在区间(-0,0上是 1.2%=100(1+1.2%)2: 单调减函数，在区间(0，十∞)上是单调增函数，当nx>0 当x=3时，y=100(1十1.2%)2+100(1+1.2%)2× 时，f(l)<f(lnx),则l<lnx,有x>e,当lnx<0时， 1.2%=100(1十1.2%)3： 44… f-1)<n,则-1>n,有0<r<靠上，不等 故y关于x的函效解析式为y=100(1十L.2%)'(x∈N'). 式f(-1)<fnx)的解集是(0，。)U(e,+o∞). (2)当x=10时，y=100×(1+1.2%)10=100×1.127≈ 112.7.故10年后该县约112.7万人 15.【解】(1)令t=a>0,因为x∈[-1,1门a>1,所以 (3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1+ re[日a小，)-y-+2-1=+0-2,故当1 1.2%y=120,解释=l6e0m815.8 =a时，函数y取得最大值为a2+2a一1=14，求得a= 根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到 3,所以f(x)=32+2×3-1. 120万. (2)由f(x)=7,可得32+2×3-1=7，即(3+4)· 19.【解】(1)由题意知函数g(x)存在零点，即f(x)=a有 (3-2)=0,求得3=2，所以x=l0g32 解.又f(x)=1og2(4'+1)-2.x 16.【解】令x-3=u,则x=u+3,于是f(0)=log:3-4 3十4 =:-=e(+）易知在(-o,+)上 (a>0,a≠1，-3<u<3), 所以e-le>0a≠1，-3K<3》. 是减画数，又1十>1， .3+x=loga1=0, 国为-+=kg3+e号 1g(1+是)）>0，即)>0，所以u的取值范周是0，+o∞ 所以f(一x)=一f(x),又定义域(-3,3)关于原点对 (2)f(x)=log2(4F+1)-kx,定义战为R,f(x)为偶函 称，所以f(x)是奇函数. (②)令1-子-1-则1在(-3.3)上是增西 数→f-1)=f1)→10g:(分+1)+k=1log:4+1)-女 3-x →k=1. 数，当0<a<1时，函数y=logl是减函数，所以f(x)= 3+5(0<4<1)在(-3,3)上是减函数，即函数fx) 检验：f)=1og:(4+1)-=16g:(2出) 1oga3一1 1og2(2r+2),则f(-x)=log2(2-+2r)=f(x)→ 的单调递诚区间是（一3,3）. f(x)为偶函数，因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个 17.(1)【证明】因为3>0,3r十1≠0，函数f(.x)的定义城 公共点，所以方程f(x)=h(.x)只有一个解，即2十2 23+1-2_3x-1 为R.fx)=1-3+1=3+13+1 6:2-号b只有-个解，令1=2r(1>0),则3(6-102 31-1=3=-f 所以(-x)=3+11+3 4仙-3=0有一个正根，当6=1时1=一是<0，不特合 所以f(x)是定义在R上的奇函数 题意，当b≠1时，若方程有两个相等的正根，则△ (2)【证明】任取x1x2∈R且t1<r2,则 )2（-异） （-46)2-4X36-D×(-3)=0且2x30->0,解 得b=一3，若方程有两个不相等实根且只有一个正根 2 2 时，因为y=3(6-1)t2一4b1-3图象恒过点(0，一3)，只 31+13+1 需图象开口向上，所以b一1>0即可，解得b>1,综上，b 2(3+1)-2(3+1)2(3r1-3,) (35,+1)(35+1)(3+1)(3+1) =一3或b>1,即b的取值范国是{一3}U(1,十∞). 因为x1<x2,所以3-3<0. B卷能力提升卷 f(x1)一f(x)<0即f(x1)<f(xg),所以函数f(x)在 其定义域上是增函数， 1.D国为1og专=m,l0g3=n,所以a=a=3 (3)【解】由f(3m+1)+f(2m一3)<0得f(3m+1)< 一f(2m一3)，因为函数f(x)为奇函数，所以-f(2m-3) 所以a=a…a-号×3-是 =f(3-2m), 2.C因为3(x+y)=3xy不恒成立，所以选项A不满足 所以f(3m十1)<f(3-2m).由(2)已证得函数f(x)在 f（x十y)=f(x)·f(y):(r十y)3≠x3y3,所以选项B不 R上是增函数，所以f(3m+1)<f(3-2m)台3m+1<3 满足f(.x+y)=f(x)·f(y): -2m,所以m<号 3·3=3+,所以选项C满足f(x十y)=f（x)·f(y): 不等式f(3m十1)+f2m-3)<0的解集为mm< 2 log3xy=log3r十logsy,所以选项D不满足f(x十y）= f(x)·f(y. 79 3.D因为1og23∈(1,2)，所以f(log3)=f(1og23+1)= 11=1,t2=l0g23,13=l0g26,所以11十12=13. f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1) 所以说法④正确：因为指数函数增加速度越来越快， 11 f1og224)=2%-20 所以说法⑤不正确.故正确的有①②④. 4.B因为a=50.4>5°=1,0<b=loga.40.5<1oga.40.4= 15,【解】国为一之是画教的一个零点， 1,c=log40.4<log1=0,所以c<ba. 所以f(）=0. 5.B因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的， 因为y=f(x)是偶函数且在（一∞，0们上递增，所以当logx -1D=号-3=-号<00)=1+0=1>0，那么根据 <0,解得，当g>-之解得2，所以1长<2 函数的零，点存在性定理可知，函数的零点所在的一个区 间为(-1,0). 由对称性可知，当10g>0时，号<x<1.综上所逃，d 6.B因为y=2的图象为过点(0,1)递增的指数函数图 象，故排除选项C,D:y=log2(一x)的图象为过点（一1,0） 的取位花国是[合2] 递减的函数图象，故排涂选项A 16.【解】(1)设指数函数g(x)=a,且a>0,a≠1，由于它 7.A令函数g(x)=x2-2a.x+1+a=(x-a)2+1十a- 的图象经过点P(3,8), a2,对称轴为x=a,要使函数在（一∞，1]上递诚，则有 a3=8,∴a=2,即g(x)=2- 1g1)>0·即2-a>0. (2)由不等式g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5) 1a≥1， 解得1≤a<2,即a∈[1,2). la≥1， 可得2x2-3x+1>x2+2x-5,即x2-5.x+6>0,求得 -x+2,x>a, x2,或x>3, 8.B由题意可得g(x)= 恰有三个不同 x2+3x+2,x≤a, 故x的取值范国为{xx<2,或x>3). 的零点，如图所示，一1≤a<2 17.【解】(1)f(3)=logs27·1ogs9=3×2=6. (2)周为1=l0gx,又因为号<r≤9，所以-2<l0g3r≤ 2,即-2≤1≤2. -2-102八 f(r)=(log3x+2).(logsx+1)=(log3x)2+3log3x +2=t2+31+2. 9.AD由指数、对数互化的关系： 令g0=+3+2=(+号)'-[-2,2 a'=N台x=logN可知A、D正确. 10.BD由0<a<1,则y=logar,在(0，十co)上单调递减， ①者1-号时，g0m-:即g=-号则E a<a,则1+a<1+是，则log,1+a)>log(+ 3-5,所以fxn=-此时- 故A错误，B正确：由0<a<1,则y=a,在R上单调递 ②当1=2时，g(t)mmx=g(2)=12,即log3x=2,x=9,所 减，a<石则1十a<1+日，则a+>a+,故C错误， 以f(x)mx=12,此时x=9. a D正确. 18.【解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则 11.AD对于A,幂函数与一次函数的增长速度受暴指数 a1-x)n=之a,即1-x)0=7解得x=1-(（位）户 及一次项系数的影响，暴指数与一次项系数不确定，增 长幅度不能比较：对于B,C,当0a<1时，显然不成立： (②)设经这m年制余面积为原来的号。 当a>1,n>0时，一定存在x0,使得当x>r0时，总有a >x">-logr,但若去掉限制条件“"a>1,n>0”,则结论不 剩a1-m=号，即（合）》-（合）广品=解得m 成立. =5,故到今年为止，该森林已被欧伐了5年. 12.23由已知得log2x=1,故x=2.同理，y=3. (3)设从今年开始，以后最多还能砍伐n年，则”年后剩 13.(仔，号）由题意可得0<3a-1<1,解得号<a<号 2 余面积为号1-加 所以实数口的取值花国是（合，号） 令号a-2即1-)r≥是 1 14.①②④因为关系为指数函数， 所以可设y=a'(a>0且a≠1).由题图可知2=a'.所以 (侣）)≥（位）品<号解得<5北令后最多运能 a=2,即底数为2，所以说法①正确：因为25=32>30，所 以说法②正确： 砍伐15年. 设水葫芦蔓延至4m,12m的时间分别为t1,t2,当面 19.【解】（1)由题设，需f0)=二十@=0a=1, 2 积为4时，由4=2，解得4=2，当面积为12时，由12= 2:,解得t2=l0g212=2+10g23·t2-t1=l0g23≠1.5， fx)=1-2 1+2m 所以说法③不正确： 经验证，f(x)为奇函数，a=1. 80 (2)减函数 证明：任取x1x2∈R,1<x2,x2一T1>0, 当0Ka<1时，是>0<a<是 )-fn)=1-2_1-25 2(251-25) a的取值范国是0<a<子减。>l 1+21+2(1+2)1+2*) 故选A. x1<x2∴.0<21<2： 7.C:f(x)=e .24-24<0,(1+25)(1+2)>0 .f(x1十x2)=e,+=e·c=f1)·fx2),故①正确： ∴.f(x2)-f(x1)<0 ,f(x·x2)=e·:f(x)十fx2)=e十e,故②错误； ∴该函数在定义域R上是减函数 (3)由f(2-21)+f(22-k)<0得f(t2-21) :e>1,故函数fx)=e为增函数，故)-x20 x1-X2 <-f(22-k), 成立，即③正确； f(x)是奇函数，∴.f(2-21)<f(k-22), 由(2)知，f(x)是减函数 而通：)=心国象为回形上升的，故∫（士）< ∴原问题转化为2-21>是-212，即312-21一k>0对任 意1∈R恒成立， (x)+f八x,故④正确. 2 :4=4+12k<0,释K-吉即为所求。 故上述四个结论中有3个结论是正确的. 故选C (4)原函数零，点的问题等价于方程f4一b)十f(一2+)=0 由(3)知，4-b=2+1,即方程b=45一2+1有解 8.C画出函数f(x)= log2rl>0 的图象， |x+21-1,x≤0 ∴4-2+1=(2)2-2×2=(2-1)2-1≥-1， .当b∈[-1，十o∞)时函数存在零点. 第三次月考检测卷 1.D,A={x-2<x<3}.B={xx≥1}， .CRB={xx<1},A∩(CRB)=(-2,1). 故选D. 2.DA:函数定义战关于原，点不对称，函数为非奇非偶函数 B:y=x2十x为非奇非偶函数 函数y=f(x)一m十1有四个零点，即函数y=f(x)与 C:y=x3为奇函数 y=m一1有四个交，点. D:y=x2,x∈[-1,0)U(0,1门的定义域关于原点对称且 :f(0)=1, 满足f(一x)=f(x),即函数f(x)为偶函数. m一1∈(0,1)，根据图象可得a十b=一4， 3.A由题意知a>1,-1<h<0, -logac=logad,.'.cd=1, -1<log0.14<0, 故a+b+d的值为-3. ∴.0<c<1, 故选C .b<c<a 9.ABD对于A,(-x)0,5无意义，故A错误： 故选A. 对于B.当y<0时，y≠y,故B错误： 4.C:4m=30=k,.m=l0g1k,n=l0g3k, 2+1=2 og og-2l03+log4-log9+log 1 对于C.由分式指数篆可得>0则（于）=()） =1og36=1, 人()tC正确： .k=36, 故选C. 对于D吉方故D给灵 5.Dy=4-2+1+2-(2)2-2·2r+2-(2-1)2+1, 不正确的是A,BD. 设1=2， 故选ABD. x≤1..0<1≤2， 10.AD(1)0<a<1时，f(x)=log(r十e)的图象不过第一象 则函数等价为y=(1一1)2+1， 限，(2)a>1时f(x)=log(.x十e)的图象不过第四象限. 0<1≤2， 11.AB因为f(x)=x2+22x十2=(x十2)2≥0，不存在 .1≤y≤2， 即函数的值域为[1,2] 小于0的函数值，所以f(x)=x2十22x十2不能用二 故选D. 分法求零，点，f(x)=2r>0,不能用二分法求零点.A、B 选项都可用二分法求零点 6.Alog<1,即1og.<loge 12.7f(a)=3=24+2-“,.f(2a)=22a+2-2u=(2+ 当0>1时，<aa>1 24)2-2=32-2=7. 故答巢为7. 81