第四章 指数函数与对数函数 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数 A卷 基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 怒一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 5.下列大小关系正确的是 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A.0.43<3.‘<log0.3 符合题目要求的， B.0.4<1og0.3<30.4 C.log0.3<0.4<3. 1.根式 (式中a>0)的分数指数幂的形 Na a D.log,0.3<3.1<0.4 式为 6.若当x∈R时，函数f(x)=a始终满足0< A.u B. C.a |f(.x)≤1，则函数y=log 的图象大致为 D.a 2.函数fx)=已十lg1十)的定义域是 % 并 A.(-∞，-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)U(1,+o∞) -1 D.(-∞，十∞) 数 3.下列计算正确的是 7.已知函数f(x)=6-1ogx.在下列区间中， A.log,6-log23=1og23 B.log2 6-l0g23=1 包含f(x)零点的区间是 (》 C.1og,9=3 A.(0,1) B.（1,2) 茶 D.log(-4)2=2log3(-4) C.(2,4) D.(4,十0∞) log0 8.若函数f)=log.r+2小a>0,a≠1) 阳4.已知函数f八x)= 2,x≤0， 则() 在区间(2，+∞)内恒有f(x)>0,则f(x) ( 的单调递增区间为 A.4 B. A.(0,十∞) B.(2,十∞) C.-4 D.- 4 C.(1,+o∞) D.(合+) 37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 出文字说明、证明过程或演算步骤. 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 15.(13分)已知函数f(x)=a2+2a-1(a≥ 分，有选错的得0分。 1且a为常数)在区间[一1,1]上的最大值 9.下列各式（各式均有意义）正确的是( 为14. A.log (MN)=log M+log N (1)求f(x)的表达式： log,M B.log.(M-N)-log.N (2)求满足f(x)=7时，x的值. C.a= 1 D.log,b=-nlog,b 10.下列函数中在区间(0,1)上单调递减的是 A.y=x B.y=log(x+1) C.y=|x-1 D.y=2 11.已知y=x(x-1)(x +1)的图象如图所 示.令f(x)=x(x一 1)(x+1)+0.01, 则下列关于f(x)= 0的解叙述正确的是 A.有三个实根 B.当0<x<1时恰有一实根 C.当一1<x<0时恰有一实根 D.当x<一1时恰有一实根（有且仅有一实根） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.3log,2-log,9+2log, 3 2,2 13.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=a-aJ十2(a> 0,且a≠1).若g(2)=a,则a= f(2)= 14.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在 区间（一∞，0]上是单调减函数，则不等式 f(-1)<f(nx)的解集是 38 16.(15分)已知函数f(x-3)=1og6-z 17.(15分)已知函数)=1-号 3+1 (a>0,a≠1). (1)求函数f(x)的定义域，判断并证明 (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； f(x)的奇偶性； (2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调 (2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义 区间. 域上是增函数： (3)解不等式f(3m十1)+f(2m一3)<0. 39 18.(17分)目前某县有100万人，经过x年后 19.(17分)已知f(x)=log2(4+1)-k.x(k∈R). 为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请 (1)设g(x)=f(x)一a,k=2,若函数g(x) 回答下列问题： 存在零点，求a的取值范围： (1)写出y关于x的函数解析式： (2)若f(x)是偶函数，设h(x)= (2)计算10年后该县的人口总数（精确到 log(b·2r-专b,若函数f(x)与h(x)的 0.1万人)： (3)计算大约多少年后该县的人口总数将 图象只有一个公共点，求实数b的取值 达到120万（精确到1年）. 范围. [参考数据：(1+1.2%)°≈1.127，(1+ 1.2%)5≈1.196，(1+1.2%)≈1.210] 400)=4a-号-日 3.B在B选项中，log:6-log3=loge号=l0g2=1,故谊 ∴.a=1, 选项正确。 ·y=f八x)的解析式为f(x)=(x-2)2-名 2 4Bf((日)）=fg)=-2)=2= (2)由)=f)-(21-3)r=7-1+20)r+2,对 5.C根据题意，由于log40.3<0,0<0.43<1<34,那么根据 与0,1的大小关系比较可知结论为0g40.3<0.43<30. 称轴为=十日 6.B:当x∈R时，函数f(x)=a始终满足0<fx)川≤1.因 此，必有0a<1. 当十<0时，即1<-号时，A)在[0,1]上单润适 先画出函数y=logalr的图象：虚线的图象 增，h(x)在[0,1门上的最小值为h(0)= 而画款y=l0g=-1bg.z,其图象如实线的图泉. 当0<1+号<1时，即-号<1≤号时，A(在[0,1]上 故选B 的最小值为(+号)）=--+ 当1什>1时，即>2时，h(x)在[0,1门上单调递减， (x)在[0,1门上的藏小值为A1)=专-2z, ∴.h(x)在[0,1门上的最小值为： 1 1 h(x)min三 -2> 1 7.C由题意知f)=9-l0g1=6>0,f2)=8-log2 19.【解】(1)当0<x≤20时，y=8000, =3-1=2>0, 当20<x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx十b, f0=氵-l=号-2=-号<0故2·f4<a由 (20k+b=8000 解得k=-200,b=12000, 零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2,4). 140k+b=4000 所以y=-200.x十12000， &A令M=2+号，当r∈（分+）时，Me(,+o 80000<x≤20 综上，y= f(x)>0,所以a>l,所以函数y=logM为增函数，又M -200x+1200020<x≤40 (2)当0<x≤20时，该水果种植基地获得的利润W (+)》厂-品周北M的单调递增区同为（是+） (8000-2800).x=5200.x≤104000， 此时该水果种植基地获得的最大利润为104000元， 又+号>0，所以>0或K一是所以画载f)的单 当20<x≤40时，该水果种植基地获得的利润为W= 调递增区间为(0，十0). (-200.x+12000-2800)x=-200(.x2-46.x)=-200(.x- 9.AC由对数与指数的运算性质知A、C正确. 23)2+105800. 10.BCy=log4(x+1)和y=|x-1在区间(0,1)上单调 所以当x=23时，利润W取得最大值，最大值为105800 递减，y=x和y=2+1在区间(0,1)上单调递增. 元，因为105800>104000， 1山.ADfx)的图象是将函数y=x(x-1)(x十1)的图象 所以当刘总经理采购量为23吨时，该水果种植基地在 向上平移0.01个单位得到的，故f(x)的图象与x轴有 这次买卖中所获得的利润最大， 最大利润为105800元. 三个交点，它们分别在区间(-0，-1)，(0,2)和 第四章指数函数与对数函数 (合)内。 9 A卷基础巩固卷 3 2 12.0原式=log:23-1og9+1og7 88 22/ l正。F-aF=a 1.Aaa 1og1=0. 2.C要使画数f)有意义，则二≠0， 18.2g 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 1x+1>0. 所以由f(x)十g(,x)=a-ar+2,① 解得x>-1,且x≠1. 得-f(x)+g(x)=ar-a+2,② 故函数f(x)的定义域为（一1,1）U(1,十oo). ①十@，得g(x)=2,①-②，得f(x)=a-a 78 又g(2)=4,所以a=2,所以f(x)=2-2「， 18.【解】(1)当x=1时，y=100+100×1.2%=100(1+ 所以f(2)=22-2-2=15 1.2%)； Γ4 当x=2时，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)× 14.(o,)U(e,+o∞)南已知fm)在区间(-0,0上是 1.2%=100(1+1.2%)2: 单调减函数，在区间(0，十∞)上是单调增函数，当nx>0 当x=3时，y=100(1十1.2%)2+100(1+1.2%)2× 时，f(l)<f(lnx),则l<lnx,有x>e,当lnx<0时， 1.2%=100(1十1.2%)3： 44… f-1)<n,则-1>n,有0<r<靠上，不等 故y关于x的函效解析式为y=100(1十L.2%)'(x∈N'). 式f(-1)<fnx)的解集是(0，。)U(e,+o∞). (2)当x=10时，y=100×(1+1.2%)10=100×1.127≈ 112.7.故10年后该县约112.7万人 15.【解】(1)令t=a>0,因为x∈[-1,1门a>1,所以 (3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1+ re[日a小，)-y-+2-1=+0-2,故当1 1.2%y=120,解释=l6e0m815.8 =a时，函数y取得最大值为a2+2a一1=14，求得a= 根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到 3,所以f(x)=32+2×3-1. 120万. (2)由f(x)=7,可得32+2×3-1=7，即(3+4)· 19.【解】(1)由题意知函数g(x)存在零点，即f(x)=a有 (3-2)=0,求得3=2，所以x=l0g32 解.又f(x)=1og2(4'+1)-2.x 16.【解】令x-3=u,则x=u+3,于是f(0)=log:3-4 3十4 =:-=e(+）易知在(-o,+)上 (a>0,a≠1，-3<u<3), 所以e-le>0a≠1，-3K<3》. 是减画数，又1十>1， .3+x=loga1=0, 国为-+=kg3+e号 1g(1+是)）>0，即)>0，所以u的取值范周是0，+o∞ 所以f(一x)=一f(x),又定义域(-3,3)关于原点对 (2)f(x)=log2(4F+1)-kx,定义战为R,f(x)为偶函 称，所以f(x)是奇函数. (②)令1-子-1-则1在(-3.3)上是增西 数→f-1)=f1)→10g:(分+1)+k=1log:4+1)-女 3-x →k=1. 数，当0<a<1时，函数y=logl是减函数，所以f(x)= 3+5(0<4<1)在(-3,3)上是减函数，即函数fx) 检验：f)=1og:(4+1)-=16g:(2出) 1oga3一1 1og2(2r+2),则f(-x)=log2(2-+2r)=f(x)→ 的单调递诚区间是（一3,3）. f(x)为偶函数，因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个 17.(1)【证明】因为3>0,3r十1≠0，函数f(.x)的定义城 公共点，所以方程f(x)=h(.x)只有一个解，即2十2 23+1-2_3x-1 为R.fx)=1-3+1=3+13+1 6:2-号b只有-个解，令1=2r(1>0),则3(6-102 31-1=3=-f 所以(-x)=3+11+3 4仙-3=0有一个正根，当6=1时1=一是<0，不特合 所以f(x)是定义在R上的奇函数 题意，当b≠1时，若方程有两个相等的正根，则△ (2)【证明】任取x1x2∈R且t1<r2,则 )2（-异） （-46)2-4X36-D×(-3)=0且2x30->0,解 得b=一3，若方程有两个不相等实根且只有一个正根 2 2 时，因为y=3(6-1)t2一4b1-3图象恒过点(0，一3)，只 31+13+1 需图象开口向上，所以b一1>0即可，解得b>1,综上，b 2(3+1)-2(3+1)2(3r1-3,) (35,+1)(35+1)(3+1)(3+1) =一3或b>1,即b的取值范国是{一3}U(1,十∞). 因为x1<x2,所以3-3<0. B卷能力提升卷 f(x1)一f(x)<0即f(x1)<f(xg),所以函数f(x)在 其定义域上是增函数， 1.D国为1og专=m,l0g3=n,所以a=a=3 (3)【解】由f(3m+1)+f(2m一3)<0得f(3m+1)< 一f(2m一3)，因为函数f(x)为奇函数，所以-f(2m-3) 所以a=a…a-号×3-是 =f(3-2m), 2.C因为3(x+y)=3xy不恒成立，所以选项A不满足 所以f(3m十1)<f(3-2m).由(2)已证得函数f(x)在 f（x十y)=f(x)·f(y):(r十y)3≠x3y3,所以选项B不 R上是增函数，所以f(3m+1)<f(3-2m)台3m+1<3 满足f(.x+y)=f(x)·f(y): -2m,所以m<号 3·3=3+,所以选项C满足f(x十y)=f（x)·f(y): 不等式f(3m十1)+f2m-3)<0的解集为mm< 2 log3xy=log3r十logsy,所以选项D不满足f(x十y）= f(x)·f(y. 79