精品解析：山东省枣庄市山亭区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年初中学业质量监测 八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学的世界，是一个充满美的世界．在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称．以下图案中（不包含文字），是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点A，B表示的数为a，b，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 5. 在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ） A B. 平分 C. 线段垂直平分线段 D. 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 7. 如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 四个一样大 9. 如图，在中，是边的中点，是的平分线，于点，连接，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 12. 因式分解：____________． 13. 关于x的分式方程有增根，则___________． 14. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 16. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则________． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）解不等式组： （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中．小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式 ① ② ③ 当时，原式． 19. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，， ． （1）把向上平移个单位后得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的； （3）请在轴上求作一点，使的周长最小，则此时点坐标为________． 21. 如图，中，，是的角平分线．点为上一点，连接并延长至点．请你从以下三个表述中选择两个作为已知，一个作为结论． （1）按要求将对应序号填写在所给横线上； 表述①：点F为的中点 表述②：． 表述③：四边形是平行四边形． 已知：______（填写序号）、______（填写序号）． 结论：______（填写序号）． （2）证明你的结论． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形． （1）用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1图形，根据图1，多项式因式分解的结果为______． （2）请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 23. 中华文化源远流长，博大精深，诗词向来是以其阳春白雪式的唯美典雅，吸引了无数虔诚的追随者．《诗经》《楚辞》是我国历史较为久远的著作，某书店的《诗经》单价是《楚辞》单价的，用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备4月23日的“世界读书日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《楚辞》数量不少于《诗经》数量的一半，求两种图书分别购买多少本时费用最少，最少费用是多少？ 24. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业质量监测 八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 2. 数学的世界，是一个充满美的世界．在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称．以下图案中（不包含文字），是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，利用定义依次判定即可：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，数轴上点A，B表示的数为a，b，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负．熟练掌握不等式的性质，根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 由题意知，，，则，，，，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，，， A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 4. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 5. 在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ） A. B. 平分 C. 线段垂直平分线段 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 8. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 四个一样大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 9. 如图，在中，是边的中点，是的平分线，于点，连接，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，再根据线段和差即可得出结果． 【详解】如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴是中位线， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线，角平分线定义，垂直定义，线段和差和全等三角形判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 12. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．先提公因式后，再用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 关于x的分式方程有增根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 14. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 将绕点逆时针旋转， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 点到的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意易得为的中位线，进而可得，的值，再证明四边形为平行线四边形，可得，的值，再解得的值，可求得，同理可得，…，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵点为中点，且， ∴为的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行线四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， …， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，准确找到图形变化规律是解题关键． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）解不等式组： （2）解方程：． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】(1)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答； (2)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：(1)， 解不等式①得：，∴ 解不等式②得：，∴ ∴原不等式组的解集为：； (2)， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中．小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式 ① ② ③ 当时，原式． 【答案】错误步骤的序号是①，过程见解析 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：错误步骤的序号是①． ； 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，， ． （1）把向上平移个单位后得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的； （3）请在轴上求作一点，使的周长最小，则此时点坐标为________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别将点、点、点向上平移个单位后，得到点、点、点，依次连接即可求解； （2）分别作出点、点、点关于轴对称的点、点、点，依次连接即可求解； （3）根据三角形的周长可得当的周长最小时，即的值最小；连接交轴于点，根据轴对称的性质可得此时的值最小，根据平移和对称的性质求出，，待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：如图： 【小问3详解】 解：∵向上平移个单位后得到，， ∴， 的周长， ∵点，，是固定点，故的周长最小时，即的值最小； ∵和关于轴对称， 即点和点关于轴对称；则， 连接交轴于点；此时的值最小；如图： ∵点是直线与轴的交点， 故设直线的解析式为：， 将，代入，得： ， 解得：， 即直线的解析式为 令，则， 即点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，轴对称作图，轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，最短路径问题；根据待定系数法求出点的坐标是解题的关键． 21. 如图，中，，是的角平分线．点为上一点，连接并延长至点．请你从以下三个表述中选择两个作为已知，一个作为结论． （1）按要求将对应序号填写在所给横线上； 表述①：点F为的中点 表述②：． 表述③：四边形是平行四边形． 已知：______（填写序号）、______（填写序号）． 结论：______（填写序号）． （2）证明你的结论． 【答案】（1）①，②，③． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意将对应序号填写在所给横线上即可； （2）根据题意得出命题证明即可． 【小问1详解】 解：已知：①，②， 结论：③； 故答案为：①，②，③． 【小问2详解】 证明：，是的角平分线， ，， 点为的中点， ， ， ， ， 点为的中点，， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，关键是根据等腰三角形的性质． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形． （1）用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式因式分解的结果为______． （2）请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据大长方形等于小长方形的面积和列式可求解； （2）根据完全平方公式的几何背景，先拼接出图形，再根据面积法列式可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 如图所示，． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键． 23. 中华文化源远流长，博大精深，诗词向来是以其阳春白雪式的唯美典雅，吸引了无数虔诚的追随者．《诗经》《楚辞》是我国历史较为久远的著作，某书店的《诗经》单价是《楚辞》单价的，用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备4月23日的“世界读书日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《楚辞》数量不少于《诗经》数量的一半，求两种图书分别购买多少本时费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）《楚辞》每本40元，《诗经》每本30元 （2）《楚辞》购买54本，《诗经》购买本时费用最少，最少费用是5340元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确列出方程、不等式与函数关系式是解题的关键． （1）设《楚辞》每本x元，则《诗经》每本元，根据等量关系：用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设《楚辞》购买m本，则《诗经》购买本，购买两种图书的总费用为w元，由题意不等关系列出不等式，求得m的取值范围，求出总费用的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可求得最少费用． 【小问1详解】 解：设《楚辞》每本x元，则《诗经》每本元， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元） 答：《楚辞》每本40元，《诗经》每本30元． 【小问2详解】 解：设《楚辞》购买m本，则《诗经》购买本，购买两种图书的总费用为w元， 由题意得：， 解得：； 由于m为正整数，则； ， 其中，且， 所以当时，w取最小值，且最小值为5340元； 此时，（本）； 答：《楚辞》购买54本，《诗经》购买本时费用最少，最少费用是5340元． 24. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$