精品解析：山东省泰安市岱岳区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

**基本信息** 以校徽轴对称、新能源汽车销售等真实情境为载体，通过折纸实践、租车方案等综合题，考查运算能力、数据意识与几何直观，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程、轴对称、因式分解|第2题校徽轴对称图形辨识，渗透文化传承| |填空题|8/24|统计稳定性、面积计算、旋转|第12题布料配套问题，体现模型意识| |解答题|6/46|统计分析、推理证明、综合实践|23题租车方案设计（应用意识），24题折纸探究（几何直观与创新意识）|

2024年上学期期末考试试卷 七年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，如图，四个图标分别是中国人民大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面于点 ，一束光线沿射入液面，在点 处发生折射，折射光线为 ，点 为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年4月23日是第29个世界读书日，主题是“阅读改变未来”某校开展了捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1，2 B. 1.5，2 C. 2.5，2 D. 1.5，1.5 7. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务。如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟 ，做法如下：过点作于点．沿着 方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 10. 老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 已知，则代数式的值为 _______． 12. 一服装厂生产一款上衣，已知每米布料可做1个衣身或3个衣袖，现计划用45米这种布料生产这款上衣，设可用 米布料做衣身，米布料做衣袖，使得恰好配套（1件衣身配2个衣袖），依题意，可列方程组：______． 13. 经典诗词在中国文化中扮演着重要的角色，它们不仅是语言的艺术，也是情感的表达、智慧的结晶和文化的传承。为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织开展了经典诗词朗诵比赛活动，八（2）班需要从甲、乙两位同学中选拔一位参加此次活动．如图是甲、乙两位同学的6次选拔成绩，已知两位同学的平均成绩相等，从他们的稳定性考虑，应该选择__________同学参加比赛．（填“甲”或“乙”） 14. 因式分解：________． 15. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移 就是它的右边线，这块草地的绿地面积为______． 16. 如图，直线 ，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段 的最小值是____________ ． 17. 如图，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到，若，则 ______度 18. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当_____________时， ． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 李明为了了解某品牌新能源乘用车的发展情况，从该品牌汽车官方网站收集到以下信息： 材料一： 材料二： 年月该品牌各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表 乘用车级别 微型 小型 紧凑型 中型 大型 超大型 平均单价/万元 8 10 15 20 30 50 根据以上材料，回答下列问题： 问题 年月与 年月相比，增长率最低的乘用车级别是_______； 问题 年月该品牌所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？（结果保留两位小数） 问题 该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，如果你是李明，你如何运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？ 22. 完成下列推理，并在括号内填写推理的依据． 如图，，，，求 ． 解：∵， ∴（______）． 又∵， ∴（______）， ∴______（______）， ∴______． ∵， ∴． 23. 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材一 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材一 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 24. 综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕 折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕 ． （1）如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． （2）如图2，和 有怎样的位置关系，并说明理由． （3）如图3，折痕和 有怎样的位置关系，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期期末考试试卷 七年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项正确； B、xy是二次，不是二元一次方程，故此选项错误； C、不是方程，故此选项错误； D、是分式，不是二元一次方程，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 2. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，如图，四个图标分别是中国人民大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判定，根据在平面内一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就是轴对称图形进行作答即可． 【详解】A选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，符合题意； C选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D选项图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解即可． 【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误； B、，符合因式分解的定义，故B正确； C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误； D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方，完全平方公式，合并同类项和单项式乘单项式运算法则计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误； B．，原式计算错误； C．，计算正确； D．，原式计算错误． 故选：C． 5. 如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面 于点 ，一束光线沿射入液面，在点 处发生折射，折射光线为，点 为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的概念：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，根据对顶角相等，计算角的差即可． 【详解】解：∵F点在延长线上， ∴， ， ∴， 故选： A． 6. 2024年4月23日是第29个世界读书日，主题是“阅读改变未来”某校开展了捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1，2 B. 1.5，2 C. 2.5，2 D. 1.5，1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数． 【详解】解：将6名同学捐的书本数从小到大排列：1，2，2，3，4， 6． 则这组数据的中位数为，众数为2， 故选：C． 7. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可判断． 【详解】解：∵直线， ∴， ，， 只有当 时，， 故选项A、B、D说法正确，但不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 8. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组的加减消元法．观察方程组中未知数系数，发现 的系数互为相反数，直接相加即可消去 ． 【详解】方程组为： 方程①中 的系数为 ，方程②中 的系数为 ，两者互为相反数． 将①和②相加： 化简得： 所以通过可直接消去 ，得到关于 的一元一次方程． 故选A． 9. 合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务。如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟 ，做法如下：过点作于点 ．沿着 方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点A作于点B，沿着 方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：C． 10. 老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是 ，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是 ，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 已知，则代数式的值为 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴； 故答案为：14． 【点睛】本题考查分式的求值．解题的关键是将进行平方运算． 12. 一服装厂生产一款上衣，已知每米布料可做1个衣身或3个衣袖，现计划用45米这种布料生产这款上衣，设可用 米布料做衣身， 米布料做衣袖，使得恰好配套（1件衣身配2个衣袖），依题意，可列方程组：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，可列方程组． 故答案为：． 13. 经典诗词在中国文化中扮演着重要的角色，它们不仅是语言的艺术，也是情感的表达、智慧的结晶和文化的传承。为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织开展了经典诗词朗诵比赛活动，八（2）班需要从甲、乙两位同学中选拔一位参加此次活动．如图是甲、乙两位同学的6次选拔成绩，已知两位同学的平均成绩相等，从他们的稳定性考虑，应该选择__________同学参加比赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，方差的意义及用方差判断数据的波动性．根据折线统计图可判断乙同学的成绩波动性较小，在平均数相同的情况下，由此即可作出判断． 【详解】解：根据折线统计图，可知乙同学的成绩波动较小，且甲、乙两位同学的平均成绩相等， ∴应该选择乙同学参加比赛． 故答案为：乙 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移 就是它的右边线，这块草地的绿地面积为______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，属于基础题，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键． 根据小路的左边线向右平移 就是它的右边线，可得路的宽度是 ，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】因为小路的左边线向右平移 就是它的右边线， 所以将小路左半部分的草地向右平移 ，与小路的右半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是， 故答案为：35． 16. 如图，直线 ，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段 的最小值是____________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可． 【详解】当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值， 且a、b之间的距离为4cm， 的最小值是4cm， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键． 17. 如图，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到，若，则 ______度 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的定义，根据旋转角的含义可得，再利用角的和差运算可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为： ． 18. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当_____________时， ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角的和差等，分两种情况进行讨论，画出图形，根据两直线平行，内错角相等及角的和差进行计算即可，熟练掌握知识点，运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】分两种情况，讨论如下： ①如图1所示， 当 时，， ∴； ②如图2所示， 当 时，， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用代入消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得． 把代入①，得 ． 所以这个方程组的解是； 【小问2详解】 解：化简得， ，得． 把代入②，得． ∴这个方程组的解是． 21. 李明为了了解某品牌新能源乘用车的发展情况，从该品牌汽车官方网站收集到以下信息： 材料一： 材料二： 年月该品牌各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表 乘用车级别 微型 小型 紧凑型 中型 大型 超大型 平均单价/万元 8 10 15 20 30 50 根据以上材料，回答下列问题： 问题 年月与 年月相比，增长率最低的乘用车级别是_______； 问题 年月该品牌所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？（结果保留两位小数） 问题 该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，如果你是李明，你如何运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？ 【答案】问题 大型；问题 平均单价是 万元； 问题 从材料一数据可知，年月销售数据中，销售量最大的车型为紧凑型车；从材料一来看增长率最高的是紧凑型车，所以建议多生产紧凑型车． 【解析】 【分析】本题是统计综合题，主要考查条形统计图的认识，中位数，根据条形统计图中 年月和 年月新能源汽车月销量即可解决问题 根据统计表中 年月该品牌各级别新能源乘用车即可求出平均单价；根据数据即可给出合理建议. 【详解】问题：观察条形图的数据，除大型车外，其余车型都是增长的，所以增长率最低的乘用车级别是大型． 故答案为：大型； 问题 解：平均单价= （万元）． 答：该品牌的新能源乘用车的平均单价是 万元． 问题：略 22. 完成下列推理，并在括号内填写推理的依据． 如图，，，，求 ． 解：∵， ∴（______）． 又∵， ∴（______）， ∴______（______）， ∴______． ∵， ∴． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行； 【解析】 【分析】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴． ∵， ∴． 23. 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材一 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材一 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【答案】任务一：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元；任务二：有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆；任务三：存在租车费用不超过预算的租车方案，租用B型客车9辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： 任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元，根据表格中的数据列出方程组求解即可； 任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆，根据题意可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案； 任务三：求出任务二中两种方案的费用和全部租用A型客车或全部租用B型客车的费用即可得到答案． 【详解】解：任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元； 任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是整数， ∴一定是5的倍数，即一定是5的倍数， ∴当时，； 当 时，； ∴有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆； 任务三：租用A型客车4辆，B型客车7辆时的费用为，此时超出预算， 租用A型客车15辆，B型客车2辆时的费用为，此时超出预算； 全部租用A型客车辆，费用为，此时超出预算； 全部租用B型客车辆，费用为，此时预算刚好够用； 综上所述，存在租车费用不超过预算的租车方案，租用B型客车9辆． 24. 综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕 折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕． （1）如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． （2）如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． （3）如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）； （2）．理由见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握图形中线间的位置关系，角之间的关系是解答本题的关键． （1）①由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答；②由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答； （2）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系； （3）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系． 【小问1详解】 ①∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ； 【小问2详解】 ． 理由：∵是由折叠得到的， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ． 理由：由（1）知， 由折叠，知，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $