精品解析：北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷

石景山区2023—2024学年第二学期高二期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：“”，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 4 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，（），则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 函数在点处切线与直线垂直，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 10. 数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最大项和最小项. 其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域为_____________. 12. 已知函数定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________． 13. 已知数列是等比数列，且，，则_____________. 14. 已知函数的导函数为，则__________，过点且与曲线相切的直线方程为_______________. 15. 已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论： ①可能是负数； ②； ③为定值； ④若存在，使得，则. 其中所有正确结论序号是___________． 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若对都有恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知等差数列的前n项和为， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：数列的前n项和． 条件①，条件②，条件③. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率. 19. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 20. 若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”. （1）已知数列是首项为1公比为3 的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2023—2024学年第二学期高二期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集定义即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 2. 已知命题p：“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题． 命题p：“”，的否定为：． 故选：C． 3. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 4. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以， 所以， 故选：B. 5. 在数列中，，（），则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数列 中，由 ， ，计算 ， ， ，...，可得，利用周期性计算得出. 【详解】数列 中，由 ， ，得 ， 同理可得 ， ，...， 所以 ，则 . 故选：D. 6. 函数在点处的切线与直线垂直，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在点处的切线斜率为，进而通过及的值得到答案. 【详解】由知，故. 由于的斜率为，故在点处的切线斜率为. 所以，故，得. 故选：A. 7. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断出的单调性可得答案. 【详解】， 当时，，所以是单调递增函数， 因为，所以. 故选：D 8. 已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】在已知条件下，，都与等价，由此即可得解. 【详解】， 而，所以，充分性成立； 反过来若，若，则一定有， 所以，，故，必要性成立； 也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 9. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】即函数图象与直线有且仅有两个交点，通过导数画出函数图象，即可得答案. 【详解】，则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点. 又，则当时，，得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值. 又时，，据此可得大致图象如下： 则. 故选：C 10. 数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最大项和最小项. 其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，可判定②正确；由当时，最小项，当最大，可判定③正确. 【详解】由题意，数列的通项公式为， 令，即，解得或（舍去），即， 所以，即存在正整数，使得，所以①正确； 由，存在正整数，使得，所以②正确； 由数列的通项公式为， 可得，且当时，， 所以，所以当时，数列有最小项， 当时，数列有最大项，所以③正确. 故选：A. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域求解方法即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： . 12. 已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式. 【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， 因为，，当时，， 即不等式的解集为； 故答案为： 13. 已知数列是等比数列，且，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由等比数列，知. 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的导函数为，则__________，过点且与曲线相切的直线方程为_______________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】求出函数的导数，即可求解，设切点，求斜率，写切线方程，即可求解直线方程. 【详解】的导数为， ，解得，故，即； 设过点且与曲线相切，切点为，且， 故切线斜率为，即切线方程为， 切线方程过点，代入方程可得，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为. 故答案为：4，. 15. 已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论： ①可能是负数； ②； ③为定值； ④若存在，使得，则. 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算. 【详解】对于①，，因为函数有两个极值点， 所以有两个相异实根，这意味着， 否则时，，即单调递增，这与已知矛盾， 若，则当时，，当时，，当时，， 即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点，故①错误； 对于②，是方程的两根，从而，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，若存在，使得， 即关于的不等式有解， 而没有最大值， 故原命题等价于关于的不等式有解， 令, 而函数的最小值为1， 所以当且仅当，即满足题意， 即若存在，使得，则，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解. 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值；极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解； （2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解. 【小问1详解】 由，得. 令得或. 当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以当时取极大值；当时取极小值. 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为. 对都有恒成立，所以. 17. 已知等差数列的前n项和为， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：数列的前n项和． 条件①，条件②，条件③. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）选①②或②③时，利用等差数列的通项公式与求和公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；选①③时，利用等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解； （2），利用裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 （1）由于是等差数列，设公差为， 当选①②时：，解得， 所以的通项公式，． 选①③时，解得， 所以的通项公式，． 选②③时，解得， 所以的通项公式，． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 因为，所以. 18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率. 【答案】（1）； （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）依题频率和为1可得答案； （2）求出的取值及相应的概率可得答案； （3）根据独立重复概率公式可得答案. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得高度在和的频率分别为和， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 所以可取0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； 【小问3详解】 从所有花卉中随机抽取3株， 记至少有2株高度在为事件， 则. 19. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造，求导可得，分析的符号可得的单调性，从而可证明； （2）当时，由（1）知，满足题意. 令，求导，分与讨论即可求解. 【小问1详解】 令， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； 小问2详解】 当时，由（1）知，满足题意. 令，则. 当时，若，， 则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数， 所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. 20. 若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”. （1）已知数列是首项为1公比为3 的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值. 【答案】（1）数列是“速增数列”，理由见解析 （2）63 【解析】 【分析】（1）根据“速增数列”的定义判断即可； （2）根据数列为“速增数列”，得可得的答案 【小问1详解】 数列是“速增数列”，理由如下： 由，则， ， 因为，故， 所以数列是“速增数列”； 【小问2详解】 数列为“速增数列”，，，， 任意项， 时， ， 即， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为63. 【点睛】关键点点睛：根据“速增数列”的定义，紧紧围绕不等式进行，当时，利用累加法的思想确定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$