精品解析：河南省驻马店市驿城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春期八年级质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边变形是因式分解的是（ ） A. B. C D. 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB=CD B. AD∥BC C. OB=OD D. AB∥CD 7. 在中，，，点为边上一点，且点到，的距离相等，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 10. 如图，中，，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 12. 方程的解是______． 13. 八年级举行科普知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明要想使得分不低于86分，他至少答对______道题． 14. 如图，中，，，的平分线交于点，点为边上一点，连接，若把的面积分成相等的两部分，则的长为______． 15. 如图，在中，，，，点为中点，点为边上一个动点，将沿折叠，点的对应点为点，交的直角边于点，当点为直角边的中点时，的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组：，请按下列步骤完成解答． 解：解不等式①，得______． 解不等式②，得．______． 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图． 所以，原不等式组的解集是______． （2）化简：． 17. 如图，已知，点，在线段上，与相交于点，且，．若，求的度数． 18. 如图，在中，点E是的中点，交的延长线于点F．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，， （1）将经过一次平移得到，顶点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为，，请画出平移后的三角形，并求出平移距离； （2）以原点为对称中心；画出与成中心对称的，并直接写出点的对应点的坐标． 20. 夏季天气炎热，某商场计划购进、两种型号的空调扇，已知一台型空调扇的单价比一台型空调扇的单价多160元，投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同． （1）求购进、两种型号空调扇的单价； （2）根据市场需求，商场计划购进两种型号的空调扇共60台，且型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半．在单价不变的前提下，当购进型空调扇多少台时，所需投入的总费用最少？最少费用是多少元？ 21. 如图，已知． （1）利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求四边形的面积． 22. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点，若，，求的长． 23. 八年级某班学生以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）如图1，已知等腰，，，将绕点旋转得到，顶点旋转到了点，连接，点是的中点，连接，则的度数为______，与的数量关系是______． （2）如图2，若将（1）中绕点顺时针旋转时，顶点的对应点正好落在的平分线上，得到，连接，点是的中点，连接，求此时的度数及与的数量关系． （3）如图3，已知等腰，，，将绕点旋转，顶点旋转到了点，得到，连接，点是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期八年级质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据此判断即可． 【详解】解：．为轴对称图形，该选项错误，不符合题意； ．为中心对称图，该选项正确，符合题意； ．轴对称图形，该选项错误，不符合题意； ．为轴对称图形，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：．等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意； ．等式右边不是几个因式积的形式，故不是分解因式，该选项错误，不符合题意； ．等式右边是几个因式积的形式，但分解错误，正确结果为，该选项错误，不符合题意； ．符合因式分解的意义，故是因式分解，该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：．由，得，该选项错误，不符合题意； ．由，得，该选项错误，不符合题意； ．由，得，该选项正确，符合题意； ．由，得，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，，解得， 故选：A． 5. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和， ∴正八边形的外角和为， 故选：C； 【点睛】本题考查多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB=CD B. AD∥BC C. OB=OD D. AB∥CD 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由AB=CD，OA=OC，不能证明△AOB≌△COD， 因此不能得出OB=OD，故该选项符合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OCB， 在△OAD和△OCB中，， ∴△OAD≌△COB（ASA）， ∴OB=OD， 又∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠OAB=∠OCD， 在△AOB和△OCD中，， ∴△AOB≌△OCD（ASA）， ∴OB=OD， 又∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出OB=OD是解题的关键． 7. 在中，，，点为边上一点，且点到，的距离相等，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据题意得，且为的角平分线，进一步求得即可判定的形状． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵点为边上一点，且点到，的距离相等， ∴为的角平分线， ∴， ∴， 则， 即为等腰三角形， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，根据不等式，即为直线的图象在直线图象的下方的的值，根据图象直接解答即可． 【详解】解：由图象得，直线：与直线：交点的横坐标为， 当时，直线的图象在直线图象的下方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 9. 如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键． 如解图中的、D，连接，根据勾股定理即可求出和，然后根据三线合一即可求出，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外一个点，然后同理可找出、、、，从而得出结论． 【详解】解：设如下图所示中的两个格点为、D，连接 根据勾股定理可得 ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴此时点即所求， 过点作平行线，交如图所示的格点于，根据平行线之间的距离处处相等，此时也符合题意； 同理可得：， ∴点即为所求，过点作的平行线，交如图所示的格点于、，根据平行线之间的距离处处相等，此时、、也符合题意． 满足条件的点C共有6个， 故选：C． 10. 如图，中，，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，坐标规律探索，旋转性质，先证明为菱形，得出，根据勾股定理得出，根据旋转得出第1秒点C的坐标为，第2秒点C的坐标为，第3秒点C的坐标为，第4秒点C的坐标为，得出每4秒中点C循环一周，根据，得出第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵中，， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每秒旋转， ∴第1秒点C的坐标为， 第2秒点C的坐标为， 第3秒点C的坐标为， 第4秒点C的坐标为， 第5秒点C的坐标为， … ∴每4秒中点C循环一周， ∵， ∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同， ∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 方程的解是______． 【答案】x=3． 【解析】 【详解】解：去分母得：3﹣x﹣1=x﹣4，﹣2x=﹣6，x=3．经检验x=3是原方程的解．故答案为x=3． 13. 八年级举行科普知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明要想使得分不低于86分，他至少答对______道题． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设他答对x道题，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设他答对x道题，根据题意得： ， 解得：， 答：他答对18道题． 故答案为：18 14. 如图，中，，，的平分线交于点，点为边上一点，连接，若把的面积分成相等的两部分，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据得，继而得到；结合平分得，得到，继而得到；结合，得到，设，，设中中平行线间的距离为h，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴, ∴， 设，，中中平行线间的距离为h， 根据题意，得， 解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，梯形的面积公式，角的平分线，解方程，熟练掌握平行四边形的性质，梯形面积公式，解方程式解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一个动点，将沿折叠，点的对应点为点，交的直角边于点，当点为直角边的中点时，的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，中位线的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论，当G为直角边的中点时，当点G为直角边的中点时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 当G为边的中点时，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G为直角边的中点时，如图所示： 则， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 综上分析可知，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组：，请按下列步骤完成解答． 解：解不等式①，得______． 解不等式②，得．______． 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图． 所以，原不等式组的解集是______． （2）化简：． 【答案】（1）；；图见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式的混合运算； （1）分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：解不等式①，得． 解不等式②，得．． 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图． 所以，原不等式组解集是． （2）原式 17. 如图，已知，点，在线段上，与相交于点，且，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形及三角形内角和定理即可求解，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：， ∴， ， ，，， ， 在中，，， ， ， 在中，． 18. 如图，在中，点E是的中点，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据证明，根据全等的性质再证明，从而证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）将经过一次平移得到，顶点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为，，请画出平移后的三角形，并求出平移距离； （2）以原点为对称中心；画出与成中心对称的，并直接写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查作图中心对称变换和平移变换，勾股定理，熟练掌握中心对称变换、平移变换是解题的关键． （1）利用点A和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点，的坐标，再描点即可； （2）先作出关于原点对称的点，然后描点，连线，再根据点的坐标特征写出的坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求， ∴平移距离； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 20. 夏季天气炎热，某商场计划购进、两种型号的空调扇，已知一台型空调扇的单价比一台型空调扇的单价多160元，投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同． （1）求购进、两种型号空调扇的单价； （2）根据市场需求，商场计划购进两种型号的空调扇共60台，且型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半．在单价不变的前提下，当购进型空调扇多少台时，所需投入的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）240元；400元 （2）20台；20800元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式和一元一次函数的应用， 根据题意设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元，列出分式方程求解即可； 设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，结合（1）得，由“型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半”求得a的范围，，利用一次函数的性质求最小值即可． 【小问1详解】 解：设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， 则（元） 答：购进、两种型号空调扇的单价分别为240元、400元． 【小问2详解】 解：设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，则 由题意可知， ， 随的增大而减小 当时，最小为 答：当购进型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元． 21. 如图，已知． （1）利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图和勾股定理，涉及作一个角等于已知角、截取已知线段和过点作垂线， 根据作一个角等于已知角即可作的直线，结合截取已知线段的做法即可作出直线，利用过点作垂线方法即可作出直线； 根据题意可证明四边形是平行四边形，结合已知条件可求得，利用平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 ， ∴四边形是平行四边形 ，， ， ， 在中，解得， 的面积为． 22. 如图，在中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证明，得，，则，得，即可得出结论； （2）连接，交于点，先由平行四边形的性质得出，再证出，可得为的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得结果． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点，， ， ， ， ，， ， ∴， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， 即， 点为的中点， 为的中位线， ． 23. 八年级某班学生以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）如图1，已知等腰，，，将绕点旋转得到，顶点旋转到了点，连接，点是的中点，连接，则的度数为______，与的数量关系是______． （2）如图2，若将（1）中绕点顺时针旋转时，顶点的对应点正好落在的平分线上，得到，连接，点是的中点，连接，求此时的度数及与的数量关系． （3）如图3，已知等腰，，，将绕点旋转，顶点旋转到了点，得到，连接，点是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）3或 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质即可解答； （2）根据旋转的性质得，由平分可得，可证得是等腰直角三角形，继而得到是等腰直角三角形，即可解答； （3）以下两种情况进行讨论：①当点D在右边时，②当点D在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点D在右边时， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得：， ∵F是的中点， ∴， ∴； 如图，当点D在左边时， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长为或3． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$