2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两平行线间的距离（2知识点+7题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两平行线间的距离 明确学习目标 课标要求 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离． 重点难点 1.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用； 2.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 点到直线的距离公式 1.点到直线的距离公式的推导 (1)直接法： 点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点 Q， ∴|PQ|＝. (2)向量法： 可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－， 所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量． (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)． (2)在直线l上任取点M(x，y)，P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0)． (3)|PQ|＝||＝|·n|＝. 2.点到直线的距离公式：d＝. 3.理解 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 4.点到坐标轴等特殊直线的距离 (1)点到轴的距离； (2)点到轴的距离； (3)点到直线的距离； (4)点到直线的距离． 知识点2 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2.两条平行直线间的距离公式的推导 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离 d＝. 4.理解 (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 5.求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 2提升学科能力 题型一 点到直线的距离 例1．求点到下列直线的距离． (1)； (2)； (3)． 跟踪训练1 1．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 2．根据下列条件，求点到直线的距离． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 3．已知的三个顶点，求的边上的高． 题型二 直线围成的面积 例2．已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 跟踪训练2 1．已知、、，则的面积为 ． 2．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 3．已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 题型三 已知点到直线距离求参数 例3．过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ． 跟踪训练3 1．已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程． 题型四 平行线间的距离 例4．已知直线，,则下列说法中错误的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时，与重合 D．当时，、之间的距离为 跟踪训练4 1．若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 3．已知直线：，直线：，则与之间的距离为 . 题型五 点关于直线对称 例5．已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 跟踪训练5 1．点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 . 3．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 ． 题型六 直线关于点对称 例6．求直线关于点对称的直线l的方程． 跟踪训练6 1．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 2．直线关于点的对称直线方程是 ． 3．已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 题型七 直线关于直线对称 例7．试求直线关于直线对称的直线l的方程． 跟踪训练7 1．下列说法中，正确的有（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．直线与之间的距离为 2．直线关于直线对称的直线方程是 . 3．已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 3质量检测评价 一、单选题 1．原点到直线的距离为（　　） A．1 B． C．2 D．3 2．点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 5．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 6．若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 二、多选题 7．下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为-2 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 8．关于直线，以下说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．时，直线l过第一，二，三象限 C．时，直线l不过第三象限 D．原点到直线l的距离的最大值为1 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 三、填空题 10．点关于直线的对称点的坐标为 ． 11．点到的距离是，则 ． 12．（1）直线与间的距离是 ． （2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为 ． 四、解答题 13．直线的方程为,直线的方程为． (1)若直线与直线垂直,求实数a的值; (2)若直线与直线平行,求这两条平行直线间的距离． 14．已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两平行线间的距离 明确学习目标 课标要求 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离． 重点难点 1.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用； 2.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 点到直线的距离公式 1.点到直线的距离公式的推导 (1)直接法： 点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点 Q， ∴|PQ|＝. (2)向量法： 可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－， 所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量． (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)． (2)在直线l上任取点M(x，y)，P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0)． (3)|PQ|＝||＝|·n|＝. 2.点到直线的距离公式：d＝. 3.理解 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 4.点到坐标轴等特殊直线的距离 (1)点到轴的距离； (2)点到轴的距离； (3)点到直线的距离； (4)点到直线的距离． 知识点2 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2.两条平行直线间的距离公式的推导 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离 d＝. 4.理解 (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 5.求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 2提升学科能力 题型一 点到直线的距离 例1．求点到下列直线的距离． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得答案； （2）直线方程可化为一般式，由点到直线的距离公式可得答案； （3）解法一：由点到直线的距离公式可得答案； 解法二：直线与x轴平行，数形结合可得答案. 【详解】（1）由点到直线的距离公式知 ； （2）因为直线方程可化为， 所以； （3）解法一：由点到直线的距离公式得； 解法二：因为直线与x轴平行， 所以由下图知．    跟踪训练1 1．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】联立两直线方程，即， 由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为. 故选：D 2．根据下列条件，求点到直线的距离． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）只需考虑横坐标即可； （2）只需考虑纵坐标即可； （3）（4）将直线方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以点到直线的距离. （2）因为，， 所以点到直线的距离. （3）因为，，即， 所以点到直线的距离. （4）因为，，即， 所以点到直线的距离. 3．已知的三个顶点，求的边上的高． 【答案】 【分析】利用直线的截距式方程及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为, 所以所在直线的截距式方程为,即， 所以一般式方程为， 所以的边上的高为． 题型二 直线围成的面积 例2．已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标可得答案； （2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    跟踪训练2 1．已知、、，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据两点间距离公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由、可得直线方程为， 由、可得， 点到直线的距离为：， 所以的面积为， 故答案为： 2．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解； （2）求出的长，用面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即. 故点到直线的距离即为边上的高的长，    所以. （2）因为 ， 所以的面积为：. 3．已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形，则，则， 所以，直线的方程为，即. （2）解：直线的方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以，平行四边形的面积为. 题型三 已知点到直线距离求参数 例3．过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】联立直线方程求出，的交点坐标，设直线方程，由点到直线距离公式建立方程得解，注意对斜率不存在讨论. 【详解】解析：由解得 所以l1，l2的交点为. 显然，直线满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得. 所以所求直线方程为或． 故答案为：或． 跟踪训练3 1．已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】 由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 2．已知点到直线的距离等于4，求实数的值． 【答案】或 【分析】 利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】因为点到直线的距离等于4， 所以，解得或. 3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程． 【答案】或． 【分析】利用待定系数列与点线距离公式即可得解. 【详解】依题意，所求直线过点，且斜率存在， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于， 所以，解得或． 故直线方程为或． 题型四 平行线间的距离 例4．已知直线，,则下列说法中错误的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时，与重合 D．当时，、之间的距离为 【答案】C 【分析】 对A：将点代入即可得；对B、C、D，将对应的代入即可得. 【详解】对A：将点代入，有，故正确； 对B：当时，， 即，， ， 即，， 有，即，故正确； 对C：当时，， 即，即， ，即，与平行，故错误； 对D：当时，， ，即， ，故正确. 故选：C. 跟踪训练4 1．若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 此时，可化为， 则与之间的距离. 故选：D. 2．已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； （2）若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 3．已知直线：，直线：，则与之间的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意，与之间的距离为. 故答案为： 题型五 点关于直线对称 例5．已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】解：设点，直线的斜率为，线段的中点为， 由题意可得，解得，故点. 跟踪训练5 1．点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点和斜率来求得点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得． 所以点Q的坐标为. 故选：A 2．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 . 【答案】 【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【详解】设对称点，线段中点为， 则，解得， 点关于直线的对称点坐标为. 故答案为：. 3．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 设点关于直线的对称点为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 可得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 题型六 直线关于点对称 例6．求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 跟踪训练6 1．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 2．直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 3．已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 题型七 直线关于直线对称 例7．试求直线关于直线对称的直线l的方程． 【答案】. 【分析】求出直线的交点坐标，再在直线取点，并求出该点关于直线对称点坐标即可求解作答. 【详解】由，解得，即直线交于点，显然点在直线上， 在直线上取点，设该点关于直线对称点，则，解得， 点在直线上，因此直线的斜率， 所以直线的方程为，即.    跟踪训练7 1．下列说法中，正确的有（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．直线与之间的距离为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果. 【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确； 直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确； 直线关于对称的直线方程是，所以不正确； 直线与之间的距离为，所以正确； 故选：． 2．直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】 在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】 设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 3．已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标， （2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程 【详解】（1）设点，则由题意可得， 解得， 所以点B的坐标为， （2）由，得，所以两直线交于点， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则 ，解得，即， 所以， 所以直线为，即， 所以直线关于直线的对称直线方程为 3质量检测评价 一、单选题 1．原点到直线的距离为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】直线，即， 故原点到直线的距离为. 故选：B. 2．点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用垂线段的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】原点到直线的距离为， 根据垂线段的性质可知的最小值是， 故选：A 3．已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 5．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求. 【详解】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值， 其最小值为平行直线 与的距离， 直线的方程可化为， 所以 故选：C. 6．若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【详解】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 二、多选题 7．下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为-2 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】AC 【分析】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确； 经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误， 当时，可整理为：，恒过定点； 当时，即为，过点； 故直线必过定点，C正确， 直线与直线平行，则， 此时即，也即， 则两平行线间的距离，故D错误. 综上所述，正确的选项是：. 故选：. 8．关于直线，以下说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．时，直线l过第一，二，三象限 C．时，直线l不过第三象限 D．原点到直线l的距离的最大值为1 【答案】ABD 【分析】由确定定点坐标，根据a的符号判断直线所过的象限，根据时原点到直线l的距离的最大求最大距离. 【详解】由过定点，A正确； 当，过一、二、三象限，B正确； 当，过二、三、四象限，C错误； 要使原点到直线l的距离的最大，只需，即距离等于，D正确. 故选：ABD 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 【答案】AC 【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可. 对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横纵坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确. 对B, 在轴上的截距为.故B错误. 对C,直线的斜率为,故倾斜角满足, 即.故C正确. 对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点坐标为，然后由斜率乘积等于，和的中点在直线上，列方程组可求得结果. 【详解】设的对称点坐标为， 则，解得， 即所求对称点的坐标是． 故答案为： 11．点到的距离是，则 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到的距离： ， ， ， ， 或 故答案为：或 12．（1）直线与间的距离是 ． （2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为 ． 【答案】 【分析】空1：利用平行线距离公式直接计算即可；空2：根据平行得到关于的方程，解出其值，再利用平行线距离公式计算即可. 【详解】（1）可化为， 所以直线与之间的距离． （2）由两条直线平行可得，解得． 则直线，即， 由两条平行直线间的距离公式得． 故答案为：；. 四、解答题 13．直线的方程为,直线的方程为． (1)若直线与直线垂直,求实数a的值; (2)若直线与直线平行,求这两条平行直线间的距离． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)根据直线与直线垂直,列出等式,解出即可; (2)根据直线与直线平行,列出等式,解出a的值,再根据平行直线距离公式代入即可求得距离. 【详解】（1）由题知,, 因为直线与直线垂直, 所以, 即,所以或; （2）因为直线与直线平行,所以, 即,解得或, 经检验,当时两直线重合,故, 此时直线的方程为, 直线的方程为,即, 所以这两条平行直线间的距离． 14．已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； （2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． （2）由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$