第21讲 两条平行直线间的距离（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第21讲 两条平行直线间的距离 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离公式 2 题型02 两条平行直线间的距离 4 题型03 平行直线间的距离的最值问题 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 22 一、点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝______________. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的________________的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝__________________. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同 题型01点到直线的距离公式 【解题策略】 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的 【典例分析】 课本例5　求点P(－1,2)到直线l：3x＝2的距离． 【例1】已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·云南曲靖·期末）点到直线的距离为 ． 【变式3】10．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程． 题型02 两条平行直线间的距离 【解题策略】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝.　 【典例分析】 课本例7　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离． 【例2】　(1)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离． (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东珠海·期末）直线与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知直线，，则与的距离为 . 【变式3】（23-24高二上·上海·阶段练习）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 题型03 平行直线间的距离的最值问题 【解题策略】 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围 【典例分析】 【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 ． 【变式3】（20-21高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）若，分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 6．（23-24高二下·辽宁·开学考试）对于直线，则（    ） A．的充要条件是或 B．当时， C．直线经过第二象限内的某定点 D．点到直线的距离的最大值为 三、填空题 7．（23-24高二上·广东广州·期中）点到直线的距离为 ． 8．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 9．（23-24高二上·云南楚雄·阶段练习）已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为. （1）求的最小值； （2）当直线与轴平行时，求的值. 11．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）已知的顶点，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 二、多选题 5．（23-24高二上·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线与直线的倾斜角相等 C．直线与直线的斜率之和为0 D．点到直线的距离为 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点到原点的距离为 B．点到直线的距离为1 C．不论实数取何值，直线：都经过点 D．是直线的一个方向向量的坐标 三、填空题 7．（23-24高二上·广东广州·期中）直线过定点，则点到直线的距离是 ． 8．（23-24高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 9．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）若M，N分别为平行直线与上任意一点，则a的值为 ，的最小值为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·课后作业）求平行直线与之间的距离． 11．（2023高二上·江苏·专题练习）直线与直线平行且点到直线的距离为3，求直线的方程. 12．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离； (2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 三、填空题 3．（23-24高二上·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线与. (1)当时，求a的值并求这两条直线之间的距离； (2)试判断与能否垂直.若能，求a的值；若不能，试说明理由. 5．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 两条平行直线间的距离 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离公式 2 题型02 两条平行直线间的距离 4 题型03 平行直线间的距离的最值问题 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 22 一、点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同 题型01点到直线的距离公式 【解题策略】 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的 【典例分析】 课本例5　求点P(－1,2)到直线l：3x＝2的距离． 解　点P(－1,2)到直线l：3x－2＝0的距离 d＝＝. 【例1】已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程． 解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0， 由点到直线的距离公式得＝2， 解得k＝， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 【变式2】（21-22高二上·云南曲靖·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式3】10．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程． 解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即kx－y＝0，由已知得＝， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a， 由题意得＝，整理得|a－4|＝2， 解得a＝6或a＝2， 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 题型02 两条平行直线间的距离 【解题策略】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝.　 【典例分析】 课本例7　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离． 解　先求l1与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4,0)．点A到直线l2的距离 d＝＝＝， 所以l1与l2间的距离为. 【例2】　(1)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离． 解　l1：2x－4y＋7＝0即x－2y＋＝0， 所以l1，l2间的距离为 d＝＝＝. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB|＝＝. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东珠海·期末）直线与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两平行线间的距离公式计算即可得. 【详解】由、，故， 则. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知直线，，则与的距离为 . 【答案】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求得直线与的距离. 【详解】由题意可知，，所以，直线与的距离为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·上海·阶段练习）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； （2）若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为 题型03 平行直线间的距离的最值问题 【解题策略】 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围 【典例分析】 【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得. 【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B， 因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知， 当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为， 又由两点间的距离公式可知，. 故选：D 【变式2】（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】由直线知过定点，又,则直线与之间距离的最大值为两定点距离.用两点间距离公式计算即可. 【详解】解：由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点；则过点作直线，且， 则最大距离． 故答案为： 【变式3】（20-21高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由图可知两直线距离显然满足. （2）当两直线均与垂直时d取最大值，求出再写出两直线方程. 【详解】（1）如图，一般地，过A，B的两直线，其距离显然满足.      而， 故所求d的变化范围是. （2）由图知，当均与垂直时d取最大值，而， 所以所求直线的斜率为. 故所求的直线方程为和， 即和 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】. 故选：D. 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 4．（23-24高二上·北京·期中）若，分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离. 【详解】由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离， 直线可变形为 则的最小值为． 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】根据直线平行和垂直的斜率公式求解k判断选项AB，对直线方程变形即可求解定点判断C，利用时距离最大判断D. 【详解】对于A，当直线与直线平行时， ，解得，正确； 对于B，当直线与直线垂直时， ，解得，正确； 对于C，直线方程转化为：，令，解得， 所以直线过定点，错误； 对于D，由选项C知直线过定点，则垂直于直线时，原点到直线的距离最大， 最大值为，正确. 故选：ABD 6．（23-24高二下·辽宁·开学考试）对于直线，则（    ） A．的充要条件是或 B．当时， C．直线经过第二象限内的某定点 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】求出的充要条件即可判断A；根据两直线垂直得充要条件即可判断B；求出直线经过的定点即可判断C；判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】对于A，若， 则，解得或， 经检验，符合题意，所以或， 所以的充要条件是或，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B正确； 对于C，由，得， 令，解得， 所以直线经过定点，位于第二象限，故C正确； 对于D，由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 当时，点到直线的距离的最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·广东广州·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式计算. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 8．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【分析】根据直线过定点，得到，进而得到答案. 【详解】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·云南楚雄·阶段练习）已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，直线，即， 则两直线斜率均为-2，且两直线不重合， 所以直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，所以， 故答案为： 四、解答题 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为. （1）求的最小值； （2）当直线与轴平行时，求的值. 【答案】（1）3；（2）5. 【分析】（1）由题可得和的距离即为的最小值； （2）可得此时直线的方程为，求出交点坐标即可求出距离. 【详解】（1）由题可得当且时，取得最小值，即和的距离， 由两平行线间的距离公式，得， 所以的最小值为3. （2）当直线与轴平行时，的方程为， 设直线与直线，分别交于点，， 则，， 所以，即， 所以. 11．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）已知的顶点，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）求出直线的斜率，直接利用点斜式化简即可； （2）求出点A到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果. 【详解】（1）直线的斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得. （2）点到直线的距离， 且， 则. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【详解】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求. 【详解】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值， 其最小值为平行直线 与的距离， 直线的方程可化为， 所以 故选：C. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线与直线的倾斜角相等 C．直线与直线的斜率之和为0 D．点到直线的距离为 【答案】CD 【分析】利用倾斜角与斜率的关系、斜率公式、直线的方程和点到直线的距离公式，依次计算即可得出结果. 【详解】已知点， 可知直线的斜率不存在，倾斜角为，A错误； 由已知可求得，，,直线与直线的倾斜角不相等，所以B错误；，所以C正确； 因为可得直线的方程为：，即，到直线的距离为，所以D正确. 故选：CD 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点到原点的距离为 B．点到直线的距离为1 C．不论实数取何值，直线：都经过点 D．是直线的一个方向向量的坐标 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得. 【详解】由，解得，则点， 对于A，到原点距离，A正确； 对于B，到直线的距离，B错误； 对于C，，当时，直线不过点，C错误； 对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确. 故选：AD 三、填空题 7．（23-24高二上·广东广州·期中）直线过定点，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】先求出定点，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由，得， 令，解得， 即定点， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案. 【详解】设，则由， 因为，所以， 的最小值为点到线段的距离， 的最小值为. 故答案为： 9．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）若M，N分别为平行直线与上任意一点，则a的值为 ，的最小值为 . 【答案】 3； 4. 【分析】根据两直线平行，列方程可求出a的值，利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得， 则直线为， 因为M，N分别为平行直线，上任意一点， 所以的最小值为两平行线间的距离， 即， 故答案为：3；4. 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·课后作业）求平行直线与之间的距离． 【答案】 【分析】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离， 为方便计算，我们在直线上取一个特殊点， 则点到直线的距离为， 所以直线与之间的距离为． 11．（2023高二上·江苏·专题练习）直线与直线平行且点到直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】或 【详解】由直线平行于直线， 可设的方程为， 因为点到的距离为3，所以，即， 解得或. 故所求直线方程为或. 12．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离； (2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程． 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 二、多选题 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 【答案】ACD 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确. 【详解】对于，两条直线的方程分别为与， 当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误； 对于，当，则，解得，故正确； 对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 3．（23-24高二上·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线与. (1)当时，求a的值并求这两条直线之间的距离； (2)试判断与能否垂直.若能，求a的值；若不能，试说明理由. 【答案】(1)；当时，两直线之间的距离为 ；当时，两直线之间的距离为 ； (2)直线与能垂直； 【分析】（1）由题意可得，解得，从而可得两直线的方程，再利用平行线的距离公式即可求解； （2）令，求解即可判断. 【详解】（1）因为，所以，即，解得. 当时，直线，直线，即， 此时直线与之间的距离为； 当时，直线即， 直线，即， 此时直线与之间的距离为. （2）直线与能垂直，理由如下： 令， 解得. 所以当时，直线与能垂直. 5．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 解　(1)联立 解得 即m与n的交点为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案； （2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案. 【详解】（1）可化为， 令，得， 所以，直线过定点. （2）当时，， 联立方程组，解得， 即. 因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为， 所以，， 故以为直径的圆的标准方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$