1.1.2 空间向量的数量积运算（3知识点+7题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

1.1.2 空间向量的数量积运算 明确学习目标 课标要求 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 重点难点 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法；掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离。 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 向量共线 同向：〈a，b〉＝0；反向：〈a，b〉＝π 注意：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 知识点2 空间向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． 我们规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 2.数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． 3.运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 4.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 5.理解 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 知识点3 空间向量数量积的应用 1.向量垂直：若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； 2.求模长：a·a＝|a|2或|a|＝＝； 推广： 3.求向量夹角：若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； 4.不等式：a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 2提升学科能力 题型一 空间向量数量积的相关概念 例1．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 2．若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型二 数量积的计算 例2．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练2 1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 2．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 题型三 根据数量积求向量夹角余弦值 例3．已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．已知是两个空间向量，若，，则＝ . 3．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .    题型四 根据根据数量积求向量夹角 例4．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在四面体中，，，，，则 ． 题型五 根据数量积求向量的模 例5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．已知空间向量的夹角为，，则 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 3．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 题型六 利用数量积求投影向量 例6．在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 跟踪训练6 1．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    2．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 3．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 题型七 数量积运算求几何长度 例7．已知点为平行四边形所在平面外一点，为对角线，的交点，，，，，，则线段的长为（    ） A． B． C．23 D．47 跟踪训练7 1．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长；(2)直线与所成角的余弦值. 3．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求；(2)求CD的长. 3质量检测评价 一、单选题 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 3．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若，则 C．若，则 D．空间中任何两个向量都是共面向量 4．平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 6．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 8．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 三、填空题 9．已知向量的夹角的余弦值为，则 10．如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 11．已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ． 四、解答题 12．如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 13．如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 14．已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 明确学习目标 课标要求 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 重点难点 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法；掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离。 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 向量共线 同向：〈a，b〉＝0；反向：〈a，b〉＝π 注意：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 知识点2 空间向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． 我们规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 2.数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． 3.运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 4.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 5.理解 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 知识点3 空间向量数量积的应用 1.向量垂直：若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； 2.求模长：a·a＝|a|2或|a|＝＝； 推广： 3.求向量夹角：若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； 4.不等式：a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 2提升学科能力 题型一 空间向量数量积的相关概念 例1．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 跟踪训练1 1．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 2．若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 3．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 题型二 数量积的计算 例2．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 跟踪训练2 1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可. 【详解】底面为菱形，， , 为棱的中点, ， 解得. 故选: A. 2．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解 【详解】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 3．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 题型三 根据数量积求向量夹角余弦值 例3．已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，再将其平方并代入模长即可求得的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故选：D. 跟踪训练3 1．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 2．已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 3．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】设二面角的平面角为，得到，结合，利用向量的运算法则，即可求解. 【详解】在棱上有两个点 ，线段与在这个二面角的两个面内，且， 因为，可得， 设二面角的平面角为， 则，且， 则， 即，解得. 故答案为：. 题型四 根据根据数量积求向量夹角 例4．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 跟踪训练4 1．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 2．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 3．在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 又，，所以， 所以. 又，所以． 故答案为： 题型五 根据数量积求向量的模 例5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定的几何体，用基底向量表示，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】平行六面体的各棱长均为1，，， 则，，又， 因此， 所以. 故选：D 跟踪训练5 1．已知空间向量的夹角为，，则 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答. 【详解】由空间向量的夹角为，，得， 所以. 故答案为： 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 【答案】/ 【分析】 利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示：    因为为的重心，则， 可得，则， 所以， ，故. 故答案为：. 3．已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 题型六 利用数量积求投影向量 例6．在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义结合空间向量的运算即可得结论. 【详解】   由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 跟踪训练6 1．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量. 【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．      故答案为：； 2．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 3．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 题型七 数量积运算求几何长度 例7．已知点为平行四边形所在平面外一点，为对角线，的交点，，，，，，则线段的长为（    ） A． B． C．23 D．47 【答案】B 【分析】利用空间向量的运算及数量积的运算律求解即可. 【详解】如图， 因为为对角线，的交点，所以， 所以 ， 因为，，，，， 所以，，， 所以，即，所以. 故选：B 跟踪训练7 1．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2） 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 3．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 3质量检测评价 一、单选题 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 2．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【详解】. 故选：C 3．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若，则 C．若，则 D．空间中任何两个向量都是共面向量 【答案】D 【分析】由空间向量数量积的定义即可判断A，由空间向量的位置关系即可判断BC，由共面向量的定义即可判断D. 【详解】对于，若夹角为，则成立，错误； 对于，若，则不一定垂直，错误； 对于C，若，当时，不一定平行，C错误 对于D，空间任何两个向量必然共面，D正确. 故选：D. 4．平行六面体 中，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 5．已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 6．如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】不妨设， 由于，所以即为直线，所成的角, 故,又， 所以，因此异面直线，成角余弦值为， 故选：A 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 8．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【答案】BC 【分析】 对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知向量的夹角的余弦值为，则 【答案】 【分析】 先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】 由题意可得， 所以． 故答案为：. 10．如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】根据已知得出.然后表示可得，根据空间向量数量积的运算律，可得，代入求解即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 所以为的平面角， 所以，. 因为， 所以， 所以，. 因为，所以. 所以，， 所以， . 因为，所以， 所以，. 故答案为：. 11．已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】 由向量的位置关系及加减法的几何意义有，，应用向量数量积的运算律及定义求. 【详解】由题设，， 所以 . 故答案为：    四、解答题 12．如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量的线性运算直接求解； （2）结合（1）的结论，由空间向量的数量积公式求模长. 【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． 所以． （2）因为四面体OABC是正四面体，则， ， ， 所以． 13．如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得： ． （2）解：由向量的数量积的运算法则，可得： ． 14．已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可. 【详解】（1）由已知可得， 所以； （2）由， 所以和夹角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$