精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

石嘴山市第一中学高二年级2024学年第二学期 期末数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 21 D. 33 4. 已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 5. 已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的个数为（ ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（    ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 三、填空题 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 _____． 13. 已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题 15. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 16. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知定义在上的奇函数，. （1）求； （2）判断并证明在定义域上的单调性. （3）若实数满足，求的取值范围. 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 19. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． （1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学高二年级2024学年第二学期 期末数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求集合，根据集合间的运算以及包含关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，或. 可得，故B错误； 可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误； 可得，故D正确. 故选：D. 2. 已知，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 21 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】由，是二次函数的两个零点， ，所以，是的两个实数根， 所以， 故， 故选：C 4. 已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以的方向向量与平面的法向量垂直，再根据基本不等式，利用常数代换求解. 【详解】依题意，，即， 所以， 又，所以，，所以， 当且仅当时，即时，取到等号， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 5. 已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知A正确，通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 6. 下列说法中，正确的个数为（ ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【详解】设，当时，，故函数在上为减函数. 又因是R上的奇函数，由可知是R上的偶函数， 故在上是增函数. 因，，， ，，，则， 故得，即，故. 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，逐一判断选项即可. 【详解】由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，即函数是奇函数， 由，得的图象关于直线对称， ，因此是以4为周期的周期函数，①正确； 对任意的，均有， 不妨设，则，即，因此在上单调递增， ，，②正确； 由函数是上的奇函数，在上单调递增，得函数在上单调递增， 在上单调递减，上单调递增，③错误； 由，在上单调递增，在上单调递减，得当时，，则有， 又函数是以4为周期的周期函数，因此不等式的解集为，④正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 二、多选题 9. 已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先判断函数在上的单调性，依题意可得在上单调递增，即可得到函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，即可求出的取值范围. 【详解】因为，当时，则在上单调递增， 要使函数为上的单调函数，所以，解得， 所以符合题意的有A、B. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质即可对A项判断；根据一元二次不等式的性质即可对B项判断；根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可对C项判断；根据复合函数的单调性即可对D项判断. 【详解】对于A：函数（且）的图像恒过定点，故A项正确； 对于B：不等式的解集为或， 所以，解得，所以，故B项正确； 对于C项：， 当且仅当时，等号成立，而此方程无解，故C项错误； 对于D项：令，由，得， 所以的定义域为， 所以当时，单调递增，而，单调递增； 当时 ，单调递减，而单调递减； 又因为为减函数，所以的单调递增区间为，故D项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 三、填空题 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“任意，”是真命题， 即在上恒成立， 当时，不等式化为恒成立， 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为： 13. 已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得. 【详解】函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题先判断原函数的奇偶性，然后对抽象不等式按照奇偶性进行等价转换，解出不等式即可. 【详解】因为，易得为偶函数，且在上单调递增， 则 ， 所以任意恒成立， ①对任意恒成立，得， ②对任意恒成立，得， ①②同时成立，则有 综上得. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 16. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的性别对选科分类有影响. （2）的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与临界值对比分析即可求解； （2）根据全概率公式求解男生选化学和地理的概率，然后结合二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别对选科分类没有影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为学生的性别对选科分类有影响. 【小问2详解】 设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史. 由题意，，， 且，， . 则，所以， ， ， ， ， 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 （另解：因为，所以） 17. 已知定义在上的奇函数，. （1）求； （2）判断并证明在定义域上的单调性. （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 是上的单调递减函数，证明如下： 任取、且， 则， 因，故，从而有， 即，所以函数在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的奇函数，则有，得出后再代回检验即可得； （2）由可判断为上的单调递减函数，结合单调性定义证明即可； （3）结合函数单调性与奇偶性应用即可得. 【小问1详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得， 当时，， ，是奇函数， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，故，即， 由在上单调递减，可得， 即，解得或， 即实数的取值范围. 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）6，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间； （2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解； （3）转化为，分，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ，解得， 此时， 令，有或，令，有， 所以是的极值点，满足题意， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知， 当即时，恒成立， 所以在上单调递增； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意 当时，令，有，令，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 当时，不成立. 综上，. 19. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． （1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 【答案】（1） （2）①（且） ②由①知，， 若，则，所以，得， 所以（且） 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， ， 所以不等式的解是且， 所以且时，，采用方案二混合检验方式好， 且时，，采用方案一逐份检验方式好. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解； （2）①根据和的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解； ②根据①的结果，比较和的大小，通过构造函数，利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论. 【小问1详解】 设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件， 事件分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为； 【小问2详解】 ①由已知得，的所有可能取值为1，， 所以， ， 所以， 若，则， 所以，， 所以，得， 所以P关于k的函数关系式（且）； ②略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求和，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $