精品解析：安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023-2024学年高二下学期7月三市联合期末检测数学试题

2023-2024学年第二学期三市联合期末检测高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 2. 某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 8种 D. 6种 3. 安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ） A B. C. D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 6 B. 192 C. 或192 D. 6或 5. 已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. D. 过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为 11. 已知数列满足，（），数列前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中x的一次项系数为，则实数a的值为_____________. 13. 双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为_____________. 14. 已知正实数x，y满足，则最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求. 16. 如图，四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，为中点且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求取值范围. 18. 某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其中打中十环的数量为. （1）若，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）； （2）要使的值最大，求n的值； （3）设随机变量X数学期望及方差都存在，则，，，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值. 19. 已知函数，，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时； （3）对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期三市联合期末检测高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用经验在归方程经过点,即可求出结果. 【详解】将代入方程，解得. 故选：B. 2. 某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 8种 D. 6种 【答案】D 【解析】 【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有1种顺序， ②将甲乙整体与丙丁全排列，有种情况， 则有种排法. 故选：D 3. 安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，则， 所以. 故选：C 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 6 B. 192 C. 或192 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式进行求解，即可求出答案. 【详解】由题意，，在等比数列中，，， 设公比为q，∴，即， 解得或， ∴， 当时，， 当时，. 故选：D. 5. 已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】由题意，可设圆的方程为， 令，得， 设，则，， ， 解得， ∴圆的方程是，即. 故选：C 6. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出BD的中点O为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可. 【详解】如图，取BD的中点为O， 由正方形ABCD的边长为2，则， 因此O为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r， 则有，即， 当截面时，d最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 此时， 所以截面面积最小值. 故选：A 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，不等式转化为，构造函数，求导得到单调性，结合，得到，根据单调性解不等式，求出解集. 【详解】令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 8. 已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】AB选项，根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，；CD选项，根据期望和方差的性质得到，得到答案. 【详解】AB选项，由分布列的性质，可得①， 因为，所以②， 联立①②解得，，A正确，B错误； CD选项，因为， 所以，，C错误，D正确. 故选：AD 10. 定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. D. 过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出， 对于B，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断， 对于C，由函数对称中心得，结合此结论求解即可， 对于D，设切点为，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于的方程有3个不等的根，结合图象求解即可. 【详解】对于A，由，可得，则， 因为是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知， 且，解得，，所以A正确； 对于B，由，，可知，则， 令，可得或， 当，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，，， 所以函数只有两个零点，所以B错误； 对于C，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以， 即 ，所以C正确； 对于D，设切点为，由，得，则 切线的斜率为，所以切线方程为， 即， 因为切线经过点，所以， 化简得， 由题意可知关于的方程有3个不等的根， 令，则， 由，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递减，在上递增， 所以的极小值为， 极大值为， 所以的大致图象如图所示， 由图象可知当时，直线与的图象有3个交点， 所以当时，关于的方程有3个不等的根， 所以当时，过可以作三条直线与图象相切，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，根据新定义解决问题，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 11. 已知数列满足，（），数列前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的单调性判断A，应用累加法求通项范围判断B,C选项，应用前n项和判断D. 【详解】∵，， 又，可得，∴， ∴，数列单调递减，故选项A正确； 当时，； 当时，，故选项D正确； ∵，∴， ∴，，∴， ∴，，故选项B正确； 又，∴， ∴，，…，，∴， ∴，∴（）；当时，. 综上，.故选项C错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据已知化简裂项，结合累加法得出通项公式的不等关系判断选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中x的一次项系数为，则实数a的值为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出，从而可表示出一次项系数，列方程可求出a的值 【详解】的展开式通项为（，）， ∴令，解得， ∴的展开式的常数项为， ∴，. 故答案为：2 13. 双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得四边形矩形，在直角三角形中，利用勾股定理列方程化简可求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，可得， 即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，， 即有，可得， 即. 故答案为： 14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】等价变形已知条件为，构造函数，然后利用单调性，由，得出，从而可以将所求式子构造新的函数，再一次借助导数求最值即可. 【详解】等式两边同乘，得，则， 因为，，，所以， 令（），则，所以在上单调递增， 所以由，即，得，所以， 所以， 令（），则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，即可求得答案； （2）结合（1）可得表达式，利用裂项相消法求和，即得答案. 【小问1详解】 由题意知，， 所以等比数列的首项为，公比为3， 故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得 ， 故 . 16. 如图，四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，为中点且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到两次线面垂直，再利用面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， ，，故， 所以，因为，面， ，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为等边三角形，所以， 因为，面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 设中点为，以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 故. 17. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求的值，从而得解； （2）分的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用弦长公式求出两个弦长，然后用二次函数知识求出范围即可得解. 【小问1详解】 已知，故， 的周长为， 故，， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 ①当的斜率不存在时，则的斜率为0， 设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程， 解得，同理可得，所以，AB为长轴， ∴； ②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得： ，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 令，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，即. 综上①②可知，的取值范围为. 18. 某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其中打中十环的数量为. （1）若，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）； （2）要使的值最大，求n的值； （3）设随机变量X的数学期望及方差都存在，则，，，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值. 【答案】（1） （2） （3）360 【解析】 【分析】（1）应用n次独立重复实验求出概率即可； （2）把概率最大列出不等式组计算即可得出范围； （3）根据二项分布的期望和方差结合由切比雪夫不等式计算即得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 由题意有，则， 解得， 由于n为整数，故； 【小问3详解】 ，则，. 由题意，， 即，，也即. 由切比雪夫不等式，有， 从而，解得， 故估计n的最小值为360. 19. 已知函数，，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时； （3）对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令，对函数求导，再令，求导后无法判断导数的正负，再令，对其求导后可判断单调递增，从而可判断单调递增，单调递增，进而可证得结论； （3）令，求导后可判断时，在上单调递增，满足题意，当时，再分，和讨论即可. 【小问1详解】 解：时，，， 则切点为， ，， 故切线方程为； 【小问2详解】 证明：令，， 令，则， 令，恒成立， 故单调递增，，即， 所以单调递增，，即， 得单调递增，， 所以原不等式成立； 【小问3详解】 解：令， ， 求导得， 当时，，，则在上单调递增， ，满足题意， 当时，设，则， 因此函数，即在上单调递增， 而， ①当时，，在上单调递增， 于是，满足题意； ②当，即时， 对，，则在上单调递减， 此时，不合题意， ③当时，因为在上单调递增， 且， 于是，使，且当时，单调递减， 此时，不合题意， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立的问题，第（3）问解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数求出其最小值大于等于零即可，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$