专题03 交集、并集重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题03 交集、并集重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 Venn图 题型九 集合的应用 题型十 根据交并补混合运算确定集合或参数 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 . （2）符号语言： . （3）图形语言：如图所示. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）如何理解“且”的含义？ （2）能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ （3）下列关系式成立吗？①；②；③； （4）与A有什么关系？与B呢？ （5）若，则与A有什么关系？ 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·福建·期末）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，若，则实数 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，．若，实数的取值范围． 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知集合，则的所有元素之和为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ （1） （2）是有理数｝，是无理数｝，是实数｝． 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，或，若，求的取值范围． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若全集，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当全集分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024·青海·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设全集，集合或，，则 ． 3.（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，集合，，求，，． 【经典例题八 Venn图】 【例8】（2024·新疆·三模）如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 1．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【经典例题九 集合的应用】 【例9】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有（    ）人 A．2 B．3 C．4 D．5 1．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，第三天售出20种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少种数为（    ） A．83 B．70 C．67 D．60 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 【经典例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例10】（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 5．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 6．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 7．（22-23高一上·湖北·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．若集合有个子集，则 B．若集合，则 C．若集合，，若，则的取值范围是 D．若集合，，则 8．（21-22高一上·江苏常州·期中）对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 9．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 11．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 12．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 13．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 14．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 15．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 16．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 18．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围. 19．（22-23高一上·北京·期中）已知， (1)写出集合A的所有真子集； (2)设全集，求：，； (3)若，求集合. 20．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 交集、并集重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 Venn图 题型九 集合的应用 题型十 根据交并补混合运算确定集合或参数 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质和交集定义即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的 . （2）符号语言： . （3）图形语言：如图所示. 【答案】 交集 且 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）如何理解“且”的含义？ （2）能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ （3）下列关系式成立吗？①；②；③； （4）与A有什么关系？与B呢？ （5）若，则与A有什么关系？ 【答案】（1）答案见解析；（2）不能；（3）答案见解析；（4）； （5）； 【分析】（1）利用交集的概念求解即可.（2）利用交集的概念求解即可. （3）利用交集的概念求解即可.（4）利用交集的概念求解即可.（5）利用子集和交集的概念求解. 【详解】（1）交集中的元素既属于集合A，又属于集合B ，是由两个集合的公共元素组成的集合. （2）不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时. （3）成立；①；②；③； （4）；； （5）若，则 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为. 故选：B. 1．（23-24高二下·福建·期末）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由集合的运算结果，列出不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为集合，，且，则，且， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意． 【详解】，则，所以，，此时满足题意． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，．若，实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由二次函数性质确定出集合，再交集的结论得出参数范围． 【详解】∵，， ∴，且，∴， ∴实数的取值范围是． 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例3】（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求出集合，再求. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：C. 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集进行求解即可. 【详解】集合，， 则， 故选：D. 2．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知集合，则的所有元素之和为 . 【答案】 【分析】求出集合B，再求，然后可得. 【详解】由题知，， 所以， 所以的所有元素之和为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ （1） （2）是有理数｝，是无理数｝，是实数｝． 【答案】答案见解析 【详解】（1）集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的. （2）集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（2024·云南·二模）使成立的集合一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】列举出的可能结果，得到答案. 【详解】或，共2个. 故选：B 1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，以及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 由，得或； 由得，所以．此时符合题意， 故选：B． 2．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，或，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据，列出不等式组进行求解即可，列不等式的时候注意能否取等号． 【详解】解：∵集合，或，， ， 解得：． 的取值范围为． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例5】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 1．（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若全集，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的概念运算可得答案． 【详解】解：，全集， 所以或， 即． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当全集分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据补集的定义，结合不同的全集，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，，所以. （3）因为，，所以. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 1．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 2．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 【经典例题七 交并补混合运算】 【例7】（2024·青海·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集和交集概念解出结果 【详解】因为，，所以. 故选：C. 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求集合，再求集合的混合运算. 【详解】，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设全集，集合或，，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合的补集，再求出. 【详解】因为全集，集合或， 所以或， 因为， 所以. 故答案为： 3.（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，集合，，求，，． 【答案】，或，． 【分析】根据集合交集，并集，补集的定义进行求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以或，或， ，所以或， ． 【经典例题八 Venn图】 【例8】（2024·新疆·三模）如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】A 【分析】根据补集的运算性质及维恩图得解. 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 1．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，再由集合的运算求解即可. 【详解】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，或， 所以. 故答案为：C 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【分析】易知图中阴影的部分表示为集合，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【答案】8 【分析】借助Venn图计算即可. 【详解】 由题意：赞成的人数30，赞成的人数为33，设对都赞成的学生数为，则对都不赞成的学生数，如图可得：，所以，. 故答案为：8. 【经典例题九 集合的应用】 【例9】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有（    ）人 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的知识求得正确答案. 【详解】依题意，这两种都没买的有人. 故选：A 1．（20-21高一上·浙江温州·阶段练习）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，第三天售出20种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少种数为（    ） A．83 B．70 C．67 D．60 【答案】C 【分析】由题意可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少. 【详解】由题意，第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有40-3=37种，第二天售出但第一天未售出的商品有30-3=27种，所以前两天共售出的商品有40+27=67种， 第三天售出20种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有20-4=16种，当这16种商品都在第一天售出时，三天售出的商品种数最少，有67种. 故选：C 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解. 【详解】设该班级的总人数构成全集，报名田赛的学生构成集合，报名径赛的学生构成集合，既不报名田赛也不报名径赛构成集合， 则， 则人. 故答案为：. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 【答案】8 【分析】两次进货的总的种数减去两次都进的货的种数，即可得答案. 【详解】由题意知，两次进货都进了圆珠笔、方便面， 因此两次一共进了种货. 【经典例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例10】（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 又全集， 所以. 故选：D. 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 2．（2023高三·全国·专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ . 【答案】 【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B. 【详解】由题意，，    ∵A⋂(CUB)，， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析集合所过定点，并绘制对应函数图象，则中的元素个数为两个图象交点 【详解】因为函数过点，过点，结合二次函数，绝对值函数和反比例函数图象画法， 故A，B对应的函数图象如下图所示:    显然，两个图象有3个交点，所以中有3个元素．     故选：C. 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解. 【详解】因为集合，， 则或，所以或． 故选：B． 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 5．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 6．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 7．（22-23高一上·湖北·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．若集合有个子集，则 B．若集合，则 C．若集合，，若，则的取值范围是 D．若集合，，则 【答案】BD 【分析】分析可知集合只有一个元素，求出的值，可判断A选项；利用集合相等求出、、的值，可判断B选项；利用几何的包含关系求出参数的取值范围，可判断C选项；利用并集的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若集合有个子集，则关于的方程只有一个实数解. 当时，则有，解得，合乎题意， 当时，则，解得. 因此，若集合有个子集，则或，A错； 对于B选项，若集合，则，即，故，B对； 对于C选项，集合，，且，则，C错； 对于D选项，因为集合， ， 所以，集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，故，D对. 故选：BD. 8．（21-22高一上·江苏常州·期中）对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，且，C正确； 和均表示集合中阴影部分，D正确. 故选：ACD. 9．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可. 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 10．（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 【答案】BCD 【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D. 【详解】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误； 对于B，， ， 显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式， 其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，， 故可得，故B正确； 对于C，存在满足， 对于；对于，C正确； 对于D，选项B中集合， 使得对于，则； ，比如取3，5，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则实数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【分析】依题意有，即，且，分类讨论求的值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 12．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 14．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 15．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】画出图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解. 【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人， 则，解得， 所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人， 只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人， 报名两门课程的有人. 故答案为：②③④.    16．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 【答案】(1)当时，；当时，不存在； (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果. （3）当时，，，，，，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论. 【详解】（1）若，则，其中， 否则， 若，当时，，， 所以，则相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则相差5， 所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在， 当时， ，，，，，， 则相差不可能1，2，3，4，5，6，这与矛盾， 故不都存在. 18．（23-24高二下·江苏无锡·期末）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出集合，然后求出集合,最后求出； （2）先把题目条件转化成，然后根据和分类讨论. 【详解】（1）当时，. 又， ， . （2）由“，”为真命题，即. 当时，，即，符合题意； 当时，或，即或. 综上所述，实数的取值范围是. 19．（22-23高一上·北京·期中）已知， (1)写出集合A的所有真子集； (2)设全集，求：，； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）依据真子集定义去写出集合A的所有真子集； （2）利用集合间的运算规则去求解即可解决； （3）将集合C转化为列举法表示即可解决 【详解】（1）集合的所有真子集为： （2），， 则，又， 则， （3）由， 可得 20．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 【答案】(1)是，是，否 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意直接判断即可； （2）由题意可得，因为，所以中必有一个负数一个正数，分类整合即可求解； （3）取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可. 【详解】（1）由题意可判断：是，是，否 （2）因为，且是“对称的”， 所以可取，设满足，即， 因为，所以中必有一个负数一个正数， 而X中只有一个负数，所以必有一个是， 若则，但且，与题意矛盾； 若则，其中，当时，，不符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 所以. （3）证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是X中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为，所以； 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，而正数，故即，与矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.分类整合进行推理判断是解决第三问的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$