第一章 集合重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

第一章 集合重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024·安徽·二模）已知集合，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东汕头·期中）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（    ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数 ，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 3．（22-23高一下·湖南·期中）设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2016·湖北·一模）定义集合，若集合集，则集合的子集个数为 A． B．3 C．4 D．8 7．（23-24高三上·浙江杭州·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一·全国·单元测试）集合A，B是实数集R的子集，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）叫做集合的对称差，若集合A＝{y|y＝（x﹣1）2+1，0≤x≤3}，B＝{y|y＝x2+1，1≤x≤3}，则以下说法正确的是（　　） A．A*B＝[2，5] B．A﹣B＝[1，2） C．B﹣A＝（5，10] D．A*B＝（1，2]∪（5，10] 10．（23-24高一上·全国·单元测试）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（    ）    A．a的值可为2 B．a的值可为 C．a的值可为 D．a的值可为 11．（23-24高一上·全国·单元测试）已知集合A，B均为全集的子集，集合，则满足的集合B可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 13．（2007高三·湖北·竞赛）设表示不大于x的最大整数，集合，则 . 14．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知全集，集合，. （1）求； （2）若集合，满足，，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·河北唐山·期中）设全集为,，．求. 17．（23-24高三·湖北荆州·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 18．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为R，，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 19．（23-24北京西城·二模）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024·安徽·二模）已知集合，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得出，再根据自己概念即可得解. 【详解】由已知，所以，又，所以， 故选:C. 2．（23-24高一上·广东汕头·期中）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（    ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数 ，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【分析】由，得到，可判定A不正确；分和，两种情况讨论，得到，可判定B不正确；由，时，可判定C不正确；由时，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，，可得， 因为，即，所以，所以A不正确； 对于B中，由，， 当时，可得； 当时，可得， 所以不存在实数 ，使得，所以B不正确； 对于C中，由知：，则且， 但是不一定成立，例如：，，所以C不正确； 对于D中，由，，取，可得， 对任意的实数，总存在使之成立，所以D正确. 故选：D. 3．（22-23高一下·湖南·期中）设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故选：B. 4．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】转化为方程在时有解,进而求解即可 【详解】若,即方程在时有解, 则或, 所以或, 所以, 故选:C 【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查转化思想 5．（23-24·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 6．（2016·湖北·一模）定义集合，若集合集，则集合的子集个数为 A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】试题分析：表示的是属于集合，但是不属于集合的元素，故,其子集有个. 考点：集合子集. 【易错点晴】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．注意区间端点的取舍.个元素的集合的子集个数为个，真子集为个. 7．（23-24高三上·浙江杭州·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合的交集运算求解即可. 【详解】解：因为，， 所以 故选：D 8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一·全国·单元测试）集合A，B是实数集R的子集，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）叫做集合的对称差，若集合A＝{y|y＝（x﹣1）2+1，0≤x≤3}，B＝{y|y＝x2+1，1≤x≤3}，则以下说法正确的是（　　） A．A*B＝[2，5] B．A﹣B＝[1，2） C．B﹣A＝（5，10] D．A*B＝（1，2]∪（5，10] 【答案】BC 【分析】先解出集合A、B,结合定义求出A﹣B，B﹣A，A*B的集合进行计算即可． 【详解】A＝{y|y＝（x﹣1）2+1，0≤x≤3}＝{y|1≤y≤5}，B＝{y|y＝x2+1，1≤x≤3}＝{y|2≤y≤10}， 则A﹣B＝{y|1≤y＜2}，故B正确； B﹣A＝{y|5＜y≤10}，故C正确； 则A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）＝{y|1≤y＜2或5＜y≤10}，故A，D错误． 故选：BC． 10．（23-24高一上·全国·单元测试）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（    ）    A．a的值可为2 B．a的值可为 C．a的值可为 D．a的值可为 【答案】BC 【分析】确定集合表示以四个点，，，为顶点的正方形，如在第一象限直线方程为，在第四象限直线方程为，集合表示四条直线和，它们有八个交点，是正八边形的八个顶点，求出交点坐标（只需相邻三个即可，题中求出了四个），由边长相等可求得． 【详解】集合A表示以四个点，，，为顶点的正方形， 集合B：或， 所以当是平面上正八边形的顶点所构成的集合时， 轴右边的4个交点为，，，， 由，解得（舍去）， 由，解得（舍去）， 故选：BC． 【点睛】本题考查集合交集的概念，正确理解集合的意义是解题关键． 11．（23-24高一上·全国·单元测试）已知集合A，B均为全集的子集，集合，则满足的集合B可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由集合的运算分析集合一定有哪些元素，一定没有哪些元素，然后判断各选项． 【详解】∵，∴，即， 结合选项可知应选CD． 故选：CD． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的概念是解题基础． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【答案】; 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 13．（2007高三·湖北·竞赛）设表示不大于x的最大整数，集合，则 . 【答案】{－1， } 【分析】由，得到只可能取值，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，不等式，解得，所以， 若，则，所以只可能取值， 若，则，没有实数解； 若，则＝1，得； 若，则＝3，没有符合条件的解； 若，则＝5，没有符合条件的解； 若，则＝7，有一个符合条件的解，， 所以． 【点睛】本题主要考查了集合的运算及其应用，其中解答中根据，得到方程组，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 14．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【详解】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知全集，集合，. （1）求； （2）若集合，满足，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或.；（2）. 【分析】（1）求出以及后可得. （2）根据集合等式关系可得，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题，或， 或. （2）由得，则，解得， 由得，则，解得， ∴实数的取值范围为． 【点睛】本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题. 16．（23-24高一上·河北唐山·期中）设全集为,，．求. 【答案】或 【分析】根据补集的定义求出,再有并集的定义对和集合取并集即可. 【详解】因为， 所以由补集定义知, , 因为， 所以作图如下： 由图可知, . 故答案为:或 【点睛】本题主要考查集合交、补混合运算;熟练掌握各自定义是求解本题关键;对于此类题目学生应掌握画数轴辅助解题,画数轴时应注意实点和虚点的区别;属于中档题,常考题型. 17．（23-24高三·湖北荆州·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 【答案】（1）；(2)或 【分析】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围. 【详解】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素， ∴A=B， ∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； （2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R} ∴A={0，﹣4}， ∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A． 故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A； 当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； 综上所述a=1或a≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 18．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为R，，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）根据全集，补集，交集，并集的定义，进行集合的运算即可； （2）先求出，再根据子集的概念，分，两种情况，列出不等式组求解的取值范围即可. 【详解】（1）由题知，，， ，； （2）， 若，则，解得：，符合， 若，又，则有，解得：， 综上：实数的取值范围为或. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，利用子集的概念求参数的取值范围，考查了借助数轴求解集合运算的方法，考查了数形结合的思想. 19．（23-24北京西城·二模）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【答案】(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 学科网（北京）股份有限公司 $$