精品解析：黑龙江省大庆市第六十九中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

大庆市第六十九中学 2023—2024学年度下学期期末考试初三年级 数学试题 考生注意： 1.考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3.非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4.考试时间120分钟． 5.全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y关于x二次函数是（ ） A. B. C D. 2. 已知是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 学校为了外出参加某项演出活动，计划先由甲、乙两个班各选两名学生，学校再从这4名学生中挑选出两名学生代表学校参加演出活动，被抽选到的这两名学生分别来自不同班级的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（ ） A 4 B. C. 2 D. 9. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若tan（a+10°）=，则锐角a=____． 12. 若是关于的二次函数，则的值为_______． 13. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是_______． 14. 如图，平行四边形中，E为的中点，与交于点F．则与的面积比为______． 15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______． 16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的值为__________． 17. 已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为_______． 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，且，当最大时， ______． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，期中． 21. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有________名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 22. 如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 23. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 24. 小明在点测得点在点的北偏西方向，并由点向南偏西方向行走到达点测得点在点的北偏西方向，继续向正西方向行走后到达点，测得点在点的北偏东方向，求两点之间的距离．（结果保留，参数数据） 25. 中，于点，于点，交于点，连接．求证： （1）； （2）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P是反比例函数图象上一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 27. 在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． （1）求点A，B的坐标． （2）若的面积为，求a的值． （3）如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆市第六十九中学 2023—2024学年度下学期期末考试初三年级 数学试题 考生注意： 1.考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3.非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4.考试时间120分钟． 5.全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 已知是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键．由题干条件即可得出的度数，从而即可得到的值． 【详解】解：是锐角，， ， ， 故选：D． 3. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可． 【详解】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意； D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； 故选：D． 4. 函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； 故选：A． 5. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：，即． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变换规律，掌握位似变换中的坐标变换规律是解决此题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小得到线段， ∴A点与点是对应点， ∵点的对应点A的坐标为位似比为：， ∴点的坐标为：或． 故选：D． 7. 学校为了外出参加某项演出活动，计划先由甲、乙两个班各选两名学生，学校再从这4名学生中挑选出两名学生代表学校参加演出活动，被抽选到的这两名学生分别来自不同班级的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，设甲班学生为，，乙班学生为，，列出所有的情况，再看可能得情况有几种，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设甲班学生为， ，乙班学生为， ， 则从4名学生中挑选两名学生有： ，，，，，共6种情况， 其中两名学生来自不同班级的情况有4种， 所以被抽选到的两名学生分别来自不同班级的概率是． 故选：D． 8. 如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【详解】解：作于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ， 而， ， 故选：A． 9. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：由在中，， 设，， 则， 则； 又， ； 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若tan（a+10°）=，则锐角a=____． 【答案】 【解析】 【分析】由列得a+10=60，解方程求出a. 【详解】∵，tan（a+10°）= ∴a+10=60， 解得a=， 故答案为：. 【点睛】此题考查锐角三角函数值，一元一次方程的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 12. 若是关于的二次函数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解；∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为；． 13. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是_______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得＝30%， 解得n＝30， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故答案为30． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 14. 如图，平行四边形中，E为的中点，与交于点F．则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形，平行四边形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，是解题关键． 利用平行四边形的性质得出，，得到，再利用相似三角形的面积比等于相似比平方，即得． 【详解】∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，高为，三棱柱的高为，即可求解． 【详解】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，高为，三棱柱的高为， 所以其表面积为 故答案为． 【点睛】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理与逆定理等知识，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，且，当最大时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由矩形性质得，易得，则可求得，进而得；而，当最小时，最大，从而最大；利用二次函数的性质即可求得的最小值，从而求得的值． 【详解】解：设； 四边形是矩形， ， ； ， ， ； ， ， ， ， ； ， 当最小时，最大，从而最大； ， 当时，最小，从而最大，最大； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正切函数，二次函数的最值问题；由最大转化为最大是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，期中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值化简代入计算可得． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 【点睛】此题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则 21. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有________名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）全校选择游泳的学生约有500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）足球人数除以占比，求出总人数，进而求出乒乓球的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 乒乓球的人数为：； 补全图形如图： 故答案为：40． 【小问2详解】 （人）； 答：全校选择游泳的学生约有500人． 【小问3详解】 画出树状图如图： 一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8个， ∴． 22. 如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 23. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】（1）12；（2）19.6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标； （2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案． 【详解】（1）设CD段是反比例函数图象的一部分 ∵D(24,10)， ∴ 解得， （2）直线与交点N坐标为 ∵ ∴直线AB解析式为 ∴直线与直线AB 的交点M坐标为 ∴MN横坐标差为 即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【点睛】本题考查了反比例函数应用，解答时应注意临界点的应用． 24. 小明在点测得点在点的北偏西方向，并由点向南偏西方向行走到达点测得点在点的北偏西方向，继续向正西方向行走后到达点，测得点在点的北偏东方向，求两点之间的距离．（结果保留，参数数据） 【答案】km 【解析】 【分析】根据题中给出的角度证明△CDB为等腰三角形，得到CB=DB=2，再证明△CBA为30°，60°，90°直角三角形，最后根据即可求出AC的长． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°， 在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°， ∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°， ∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形， ∴CB=DB=2， 在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°， ∴△CBA为直角三角形， 又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°， ∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形， ∴，代入， ∴(km)， 故两点之间的距离为km． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB为等腰三角形是解题的关键． 25. 中，于点，于点，交于点，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，结合即可得出； （2）由得出，证明得出，证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ； 小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题： （1）把A点横坐标代入正比例函数解析式可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式； （2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得的面积． （3）根据的面积是的面积的2倍，求得P到的距离为8，进而求得P的横坐标，代入解析式即可求得P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ，解得：， ∴点A坐标为， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，点A坐标为， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴B点坐标为， ∴B到的距离为4， ∴； 【小问3详解】 解：∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∵， ∴P到的距离为8， ∴P的横坐标为10或， ∴P点坐标为或． 27. 在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF； （3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，CD是中线， ∴，， ∴． 在与中，， ∴． ∴； （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，即． （3）如图，过D作于点G， 则，． 当，时， 由，得． 在中， ． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C． （1）求点A，B的坐标． （2）若的面积为，求a的值． （3）如图，已知点，，，，当抛物线与正方形只有2个公共点时，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或者 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）现根据抛物线对称轴为求出对称轴，再令，可得，结合轴对称的性质可得； （2）将抛物线化为顶点式可得，根据，，可得，且轴，先得出顶点C距离线段的距离为：，再根据，问题得解； （3）画出满足条件的简图，点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同，据此可得点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为，当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点，据此即可作答． 【小问1详解】 抛物线的对称轴为：， 当时，， ∴， ∵点B与点A关于该抛物线的对称轴对称， ∴； 【小问2详解】 将抛物线化为顶点式为：， ∴， ∵，， ∴，且轴， ∵， ∴抛物线开口朝上， ∴顶点C距离线段的距离为：， ∵的面积为，， ∴， ∴； 【小问3详解】 将抛物线化为顶点式为：， 即顶点坐标为：， 如图， 根据正方形的性质可知：点M的纵坐标与点的纵坐标相同，点N的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点M的纵坐标为0，点N的纵坐标为， 即当顶点在点M与点N之间（不含端点）时，或者抛物线刚好经过点E、F时，抛物线与正方形只有2个公共点， 当顶点在点M与点N之间（不含端点）时 ∴， 解得：， 即此时a取值范围为：； 当抛物线刚好经过点、F时， 将代入，可得：， 解得：； 综上所述：a的取值范围为：或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$