精品解析：黑龙江省大庆第一中学2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

大庆一中2023—2024学年下学期初三期末考试 数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积相同，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 在，，，四个点中，只有的横纵坐标之积为； 故选A． 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图都是长方形确定为柱体，再结合俯视图为圆即可得出答案． 【详解】解：由主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱， 故选：A． 3. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 4. 对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 抛物线可由向右平移1个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键． 根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D． 【详解】∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意； 将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意； 故选D． 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故此选项不合题意； B、∵，， ∴，故此选项不合题意； C、∵， ∴，， ，故此选项不合题意； D、不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 6. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， ， 与轴的正半轴相交， ， 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交轴于，作轴于，交于，由题意知，，，证明，则，即，可求，进而可求点B的坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于，作轴于，交于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B． 8. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线得性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：B． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 若是，则的值等于________________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 13. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，开口向上， ， 离对称轴较近， ． 故答案为：． 14. 若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程． 根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为，确定，即可得出最短边长． 【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7， ∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7， 设这个三角形三边为， ∵与它相似的三角形的最长边为， ∴， 则， 最短边长为， 故答案为：12． 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【详解】由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x， ∴tanA＝=． 故答案为． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 16. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为， ∴，整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：2 ． 17. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴． 18. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）． 【答案】①②③． 【解析】 【分析】由折叠的性质可得由平行线的性质可得 可证 可判断①；通过证明可得 可判断②；由中线的性质可得 可判断③；设则利用x表示 GH ， BH， HG 的长，可求可判断④，即可求解． 【详解】解：①∵将沿AC翻折到 ∴四边形是菱形． 故①正确． ② 又 又 ∵E是AC的中点， 故②正确． ③ 故③正确． ④如图所示：过点G作交BA延长线于H， 设则 ∵四边形是菱形， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题%是解题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 20. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能， ∴选中东关街的概率是， 故案䅁为：； 【小问2详解】 列表如下： 小亮 小明 C D E C D E 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， ∴小明和小亮选到相同景区的概率：； 答：小明和小亮选到相同景区的概率． 21. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求储存室的容积V的值； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】（1） （2）当16≤≤25时，400≤S≤625 【解析】 【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案； （2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2， ∴=500米2×20米=10000米3； 【小问2详解】 由（1）得： ， 则（），S随着的增大而减小， 当时，S=625； 当时，S=400； ∴当16≤≤25时，400≤S≤625． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键． 22. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及菱形的性质． （1）根据菱形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 23. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．如果小于3，求m的取值范围； 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； 【小问1详解】 解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； 【小问2详解】 解：如图， ∵点P，Q在直线上， ∴设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 25. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 26. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）不等式的解集为________________； （3）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）直线解析式为，双曲线解析式为 （2）或 （3）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 联立，解得：或， ∴直线与双曲线的两个交点的横坐标为， 由图象可知：的解集为：或． 【小问3详解】 ∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 27. 如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． （1）当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． （2）当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． （3）设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； 【小问3详解】 解：若，则，与矛盾，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元二次方程等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 28. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2）10 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ， ， ， ， ， 又且 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点 ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中2023—2024学年下学期初三期末考试 数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 长方体 3. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 抛物线可由向右平移1个单位得到 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 12. 若是，则的值等于________________． 13. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：_________ (填“>”“<”或“=”)． 14. 若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为______． 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 16. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为_________． 17. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________________． 18. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）． 三、解答题（满分66分） 19. 计算：； 20. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 21. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求储存室的容积V的值； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 22. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．如果小于3，求m的取值范围； 24. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 25. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 26. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）不等式的解集为________________； （3）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 27. 如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． （1）当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． （2）当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． （3）设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 28. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $