精品解析：山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

2023—2024学年第二学期阶期末检测 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第Ⅰ卷，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. -2 B. C. D. 2 4. 某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ） A. 100，50 B. 100，1050 C. 200，50 D. 200，1050 5. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9 已知复数，z满足，，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为 10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 11. 如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，．下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥．折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ）． A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为 B. 按照折法①，存满足 C. 按照折法②﹐三棱锥体积的最大值为 D. 按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 这10名同学数学成绩的分位数是___________. 13. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足______.（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 14. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，中，，四边形ABED是正方形，平面平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面平面ACD. 16. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试的平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且，，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）若，求点到平面的距离： （3）直线上是否存在一点，使得，，，四点共面?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 将平面直角坐标系中的一列点记为.设，其中为与轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数，都有，则称为点列. （1）判断是否为点列，并说明理由； （2）若为点列，且.任取其中连续三点，证明为钝角三角形； （3）若为点列，对于正整数，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期阶期末检测 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第Ⅰ卷，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 2. 正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可. 【详解】由题意，作正方体，如下图所示： 连接，， ∴异面直线与即所成的角为. 由题可得为等边三角形，. ∴异面直线与所成的角为60°. 故选：B. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式即可. 【详解】，由向量平行的坐标公式可得： 故选：B. 4. 某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ） A. 100，50 B. 100，1050 C. 200，50 D. 200，1050 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形图，即可样本容量，再计算初中生人数，再根据条形图计算初中生的近视人数. 【详解】由分层抽样的概念可得样本容量为，则该地区的初中生有人，所以该地区的初中生近视人数为. 故选:D 5. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以， 又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确. 故选：D 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意可知，且， 则， 故该圆锥的体积为， 故选：A 7. 某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数和方差的公式推理得出这五个数，进而得出答案. 【详解】设这五个数为，则. 因为为正整数，所以这五个数必有3个3，另外两个为或. 又，所以这五个数为. 故选：B 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知复数，z满足，，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合复数运算解方程可求，判断A，根据共轭复数定义及复数乘法求判断B，根据复数的几何意义判断C，根据复数的模的几何意义判断D. 【详解】因为， 所以，A 错误； 所以，所以，B正确； 所以复平面内对应的向量为，C正确； 设复数在复平面上的对应点为， 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 又复数在复平面上对应点的坐标为， 的几何意义为点的距离， 所以的最小值为，D正确. 故选：BCD. 10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可； 对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断； 对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可. 【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误； 对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确； 对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故， 由选项B知， 而事件包含的基本事件有共2件，故， 所以，故与独立，故C正确； 对于D，事件基本事件有件，故，由选项B知， 而事件包含的基本事件有共3件，故， 所以，故与不独立，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，．下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥．折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ）． A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为 B. 按照折法①，存在满足 C. 按照折法②﹐三棱锥体积的最大值为 D. 按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断A；由棱锥的结构特征判断B；由棱锥体积判断C；由线面角的定义求出大小判断D. 【详解】由题意知， 取的中点,由于和是直角三角形且全等， 故, 故在折法①的折叠过程中,三棱锥的外接球的球心为,半径为1, 故该球的表面积恒为,故A选项正确； 按照折法①,在折起过程中,点在平面内的投影在线段上(不包括端点), 而线段 (不包括端点)不存在使得，故不存在满足，故B选项错误； 按照折法②，取的中点，， 当平面平面时，三棱锥体积取得最大值， 此时体积,故C选项正确; 当时，，， 故此时,, 又因为平面, 故平面, 故为与平面所成线面角, 则，故D选项正确. 故选:ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 这10名同学数学成绩的分位数是___________. 【答案】146 【解析】 【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可. 【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列： 140,142,142,143,144,145,147,147,148,150 根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147； 10名同学数学成绩分位数为：. 故答案为：146 13. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足______.（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【答案】②③ 【解析】 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱的延长线交于一点，令此点为， 由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线、直线都相交，①错误，②③正确. 故答案为：②③ 14. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得 的坐标，再由求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 设，则，，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，中，，四边形ABED是正方形，平面平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面平面ACD. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理即得. （2）由已知可得，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得平面，再利用面面垂直的判定推理即得. 【小问1详解】 连接，由是正方形对角线的中点，得是的中点， 而是的中点，则，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，得，则， 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而平面，则，又， 平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 16. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 【答案】（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案. （2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【小问1详解】 由田径队的频率分布直方图得：， 解得，同理可得． 其中“田径队”的平均成绩为： ， “足球队”的平均成绩为： . 【小问2详解】 “田径队”中90分以上的有（人）， “足球队”中90分以上有（人）． 所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d； 在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C． 从中任选2人包含的基本事件有： ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个， 正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果； （2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解，在与中分别使用正弦定理并结合求得结果． 小问1详解】 由余弦定理可得, 由正弦定理可得, 由于,所以， 【小问2详解】 设，则． ，，故， ， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，同理， ， ，即，整理得， 又,故 所以的值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）若，求点到平面的距离： （3）直线上是否存在一点，使得，，，四点共面?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直即可求证线线垂直， （2）根据等体积法，结合棱锥的体积公式即可求解， （3）根据线线平行可得线面平行，进而根据中位线，由线线平行的传递性即可求解. 【小问1详解】 连接相交于，由于底面是菱形，所以， 又平面，平面,所以, 平面,所以平面, 平面,所以 【小问2详解】 由题意可知：点到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由于，平面,所以, 所以, , ， 【小问3详解】 取中点为，连接,延长,使得，连接, 由于均为中点，所以且, 又,所以且， 故四边形为平行四边形，故, 由于是的中点，是中点，所以, 因此,所以,,,四点共面，故 19. 将平面直角坐标系中的一列点记为.设，其中为与轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数，都有，则称为点列. （1）判断是否为点列，并说明理由； （2）若为点列，且.任取其中连续三点，证明为钝角三角形； （3）若为点列，对于正整数，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）为点列，理由见解析 （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用点列的定义进行判断即可； （2）利用为点列，得到对中连续三点、、，都有，分析得出，即可证明； （3）利用为点列，得，，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得，再由，，即可判断得到答案. 【小问1详解】 为点列，理由如下： 由题意可知，，，所以， ，即，， 所以、、、、、为点列； 【小问2详解】 由题意可知，，，所以， 因为为点列，所以，， 又因，所以 所以对中连续三点、、，都有， 因为，， 因为，故与不共线，即、、不共线， 因为， 所以，则为钝角， 所以为钝角三角形； 【小问3详解】 由， 因为为点列，由（2）知，， 所以，，， ， 两边分别相加可得， 所以， 所以，所以， 又，， 所以，， 所以 【点睛】方法点睛：判断的内角为钝角的方法如下： （1）余弦定理：计算得出； （2）向量法：计算得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$