精品解析：山东省德州市乐陵市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级2023-2024学年第二学期期末质量检测 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你一个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平! 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则可以取的数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（ ） A. 25 B. 144 C. 169 D. 以上都不对 3. 下列函数中，正比例函数是（ ） A. y = B. y = C. y = x+4 D. y = x2 4. “石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，在平行四边形中，垂直于，，则的度数是（　） A. B. C. D. 6. 当时，y与x之间的函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 18 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，可判定四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 一组对边相等、另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 10. 已知直线经过点，点且，则k取值范围是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ） A. （）n B. （）n﹣1 C. （）n D. （）n﹣1 12. 给出下列说法： ①直线与直线的交点坐标是； ②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限； ③函数是一次函数，且y随x增大而增大； ④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为； ⑤直线必经过点． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后的结果，每小题填对得4分． 13. 计算：______． 14. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，若，则________ ． 16. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 17. 对角线互相垂直四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 18. 一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 每年月日为“全国爱眼日”按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于类的学生有________人，类所在扇形的圆心角的度数是________；并补全条形统计图． （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为________类； （3）已知该校共有名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 21. 已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若，则的取值范围是________； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP，延长线段AP交BC于点E；以点C为圆心，BE长为半径作弧交BC的延长线于点F、连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若∠BAF=90°，AB=6，AF=8，求DF． 23. 探究： 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，可通过构造直角三角形利用图①得到结论：．他还利用图②证明了线段的中点的坐标公式：，． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程． 运用： （2）已知点，，求线段的长度； （3）请直接写出以点，，，为顶点平行四边形顶点的坐标． 24. 北京时间年月日上午，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全顺利出舱，身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，又一次引起了“宇航”热，某商场欲购进一批宇航员玩偶，其中黄色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元，蓝色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元． （1）该商场购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，求和的值； （2）该商场决定每周购进两种玩偶共只，且投入的资金不少于元又不多于元，设购进黄色玩偶只，商场把这些玩偶全部销售完的利润为元，写出与的关系式，并求出最大利润． 25. (2014河北)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶．供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米／分． 探究 设行驶时间为t分． (1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A路程y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值； (2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数． 发现 如图2，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A．设CK＝x米． 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车； 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车． 比较哪种情况用时较多．(含候车时间) 决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米／分．当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇． (1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由； (2)设PA＝s(0＜s＜800)米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级2023-2024学年第二学期期末质量检测 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你一个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平! 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 若式子在实数范围内有意义，则可以取的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故符合要求， 故选． 2. 如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（ ） A. 25 B. 144 C. 169 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由图可知正方形的面积为；正方形的面积为；在中，由勾股定理可得，从而得到答案，熟记勾股定理，数形结合表示正方形与正方形的面积之和是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，正方形的面积为；正方形的面积为； 在中，，由勾股定理可得， ， ，即正方形与正方形的面积之和为， 故选：C． 3. 下列函数中，正比例函数是（ ） A. y = B. y = C. y = x+4 D. y = x2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是反比例函数，故本选项错误； B、是正比例函数，故本选项正确； C、y=x+4是一次函数，故本选项错误； D、y= x2是二次函数，故本选项错误． 故选B． 【点睛】考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答此题的关键． 4. “石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的意义结合题意即可得到乙的销量最好，要多进即可得到答案． 【详解】解：由表格可得， ，众数是乙， 故乙的销量最好，要多进， 故选C． 【点睛】本题考查众数的意义，根据众数最多销量最好多进货． 5. 如图，在平行四边形中，垂直于，，则的度数是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，根据平行四边形对角相等得到，再由垂直的定义得到，则由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵垂直于 ∴， ∴， 故选：A． 6. 当时，y与x之间函数解析式为，当时，y与x之间的函数解析式为，则在同一直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可； 【详解】解：∵当时，， ∴此时函数在第一象限， ∵当时，， ∴此时函数过原点及第二象限， 故选： C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限． 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：， 由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙； ， 由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定； 故选：D． 【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键． 8. 如图，可判定四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 一组对边相等、另一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断即可． 【详解】解：， ， ， 四边形是平行四边形， 理由是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故选项D符合题意． 故选：D． 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 10. 已知直线经过点，点且，则k的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+1增减性解答． 【详解】解：∵y1﹣y2＞0， ∴y1＞y2． 又∵a＜a+1， ∴直线y＝（k﹣2）x+1中的y值随x的增大而减小， ∴k﹣2＜0． 解得k＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性，易错题，难度中等． 11. 如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ） A. （）n B. （）n﹣1 C. （）n D. （）n﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案． 【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1， ∴OA2＝； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴OA3＝2＝； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴OA4＝2＝． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴OA5＝4＝， …… ∴OAn的长度为（）n﹣1， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键． 12. 给出下列说法： ①直线与直线的交点坐标是； ②一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限； ③函数是一次函数，且y随x增大而增大； ④已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为； ⑤直线必经过点． 其中正确有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及求两直线交点坐标等知识，根据一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：联立直线与直线解析式得到，解得，故直线与直线的交点坐标是，①正确； 由一次函数图象与性质，一次函数，若，，那么它的图象过第一、三、四象限，②错误； 函数是一次函数，，则随增大而减小，故③错误； 由一次函数的图象与直线平行，设一次函数为，将代入解析式得到，解得，则此一次函数的解析式为，④错误； 直线，则当，即时，，则直线必经过点正确； 综上所述，题中说法正确的是①⑤共2个， 故选：A． 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后的结果，每小题填对得4分． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解答此题的关键． 14. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】作轴于，则，． 则根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，若，则________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理，先证明四边形是矩形，然后得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点D、E、F分别是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和性质进行解题． 16. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 17. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 18. 一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米． 【答案】200 【解析】 【分析】由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求小玲和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时小玲已经走了25分，还剩5分钟的总程． 【详解】解：由图象得：小玲步行速度：1200÷30=40（米/分）， 由函数图象得出，妈妈在小玲10分后出发，15分时追上小玲， 设妈妈去时的速度为v米/分， （15-10）v=15×40， v=120， 则妈妈回家的时间：=10， （30-15-10）×40=200． 故答案为200． 【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，二次根式的化简，再合并即可； （2）先利用平方差公式与完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 20. 每年月日为“全国爱眼日”按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于类的学生有________人，类所在扇形的圆心角的度数是________；并补全条形统计图． （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为________类； （3）已知该校共有名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 【答案】（1），，图见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． （1）首先利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比，即可求得类学生的人数． （2）用周角乘以类所占的百分比即可． （3）用样本数据估计总体数据即可． 【小问1详解】 解：观察两个统计题知：类有人，占， ∴调查的总人数为人， ∴视力情况属于类的学生有人， 类所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为，． 补全条形统计图为： ． 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，每类人数分别为人，人，人，人，共人， ∴中位数为第人和第人的平均数，均落在了类， ∴本次抽查学生视力数据，中位数所在类别为类， 故答案为． 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为人． 21. 已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若，则的取值范围是________； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把把代入，得出，再代入，解出，然后当时求出； （2）运用数形结合思想， 时，则的取值范围是，即可作答． （3）运用数形结合思想，不等式的解集为，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得出直线：且 结合图象，时，则的取值范围是； 【小问3详解】 解：由（1）得则， 即， 此时的不等式的解集为． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP，延长线段AP交BC于点E；以点C为圆心，BE长为半径作弧交BC的延长线于点F、连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若∠BAF=90°，AB=6，AF=8，求DF． 【答案】（1）见解析 （2）DF=4.8 【解析】 【分析】（1）由作法可知CF＝BE，得EF＝BC，再根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AD＝EF，可得四边形AEFD是平行四边形，最后由作法可知AE⊥BC，可证四边形AEFD是矩形； （2）先根据勾股定理求出BF=10，再等积法求出AE，根据矩形性质，即可求出AE的长． 【小问1详解】 解：由作法可知CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC， 即EF＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD＝BC， ∴，AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 由作法可知AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形． 【小问2详解】 ∵∠BAF=90°，AB=6，AF=8， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵四边形AEFD是矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是证明四边形AEFD是平行四边形． 23. 探究： 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，可通过构造直角三角形利用图①得到结论：．他还利用图②证明了线段的中点的坐标公式：，． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程． 运用： （2）已知点，，求线段的长度； （3）请直接写出以点，，，为顶点的平行四边形顶点的坐标． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）用的坐标分别表示出和的长,即可证得结论． （2）直接利用两点间距离公式可求得的长． （3）分为对角线，可求得其中点的坐标，再利用中点坐标公式可求得点坐标． 【详解】（1）证明：如下图，过点分别作轴的垂线，垂线分别交轴于，过点作的垂线，交于点，交于点，连接 ∴，， ∴四边形为矩形， 又∵，为线段的中点， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴为为直角三角形的中位线， ∵，， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直角三角形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴线段的中点的坐标公式为，． （2）解：将点，代入到中， ∴， 化简可得． （3）解：∵，，， ∴当为平行四边形的对角线时，其对称中点坐标为， 设， 则，， 解得，， ∴此时点坐标为； 当为对角线时，同理可求得点坐标为； 当为对角线时，同理可求得点坐标为； 综上可知点坐标为或或； 故答案为或或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形及两点间的距离公式，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行四边形和轴对称图形的性质，理解题意，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键． 24. 北京时间年月日上午，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全顺利出舱，身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，又一次引起了“宇航”热，某商场欲购进一批宇航员玩偶，其中黄色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元，蓝色玩偶的批发价为每只元，售价为每只元． （1）该商场购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，求和的值； （2）该商场决定每周购进两种玩偶共只，且投入的资金不少于元又不多于元，设购进黄色玩偶只，商场把这些玩偶全部销售完的利润为元，写出与的关系式，并求出最大利润． 【答案】（1）的值为，的值为 （2），时，最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，购进黄色玩偶只和蓝色玩偶只共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据投入的资金不少于元又不多于元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，利用售出黄色玩偶的利润售出蓝色玩偶的利润，得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 解得：， 答：的值为，的值为． 【小问2详解】 解：设购进黄色玩偶只，则购进蓝色玩偶只， ∵投入的资金不少于元又不多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 25. (2014河北)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶．供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米／分． 探究 设行驶时间为t分． (1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值； (2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数． 发现 如图2，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A．设CK＝x米． 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车； 情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车． 比较哪种情况用时较多．(含候车时间) 决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米／分．当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇． (1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由； (2)设PA＝s(0＜s＜800)米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？ 【答案】见解析 【解析】 【详解】探究 (1)y1＝200t，y2＝－200t＋1600． 相遇前相距400米时， y2－y1＝400，即－200t＋1600－200t＝400． 解得t＝3． 相遇后相距400米时， y1－y2＝400，即200t－(－200t＋1600)＝400．解得t＝5． (2)当1号车第三次恰好经过景点C时，有 200t＝800×2＋800×4×2． 解得t＝40． 这一段时间内它与2号车相遇过5次． 发现 情况一用时：； 情况二用时：． ∵x＞0，∴， ∴情况二用时较多． 决策 (1)由题意知，此时1号车正行驶在CD边上，乘1号车到达点A的路程小于2个边长，而乘2号车的路程却大于3个边长，所以乘1号车用时比乘2号车用时少(两车速相同)． (2)若步行比乘1号车用时少，则． 解得s＜320． ∴当0＜s＜320时，选择步行． 同理可得： 当320＜s＜800时，选择等候乘1号车； 当s＝320时，选择步行或等候乘1号车． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$