精品解析：山东省临沂市临沭县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分，考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解沂河的水质 B. 了解全国中学生的睡眠时间 C. 检测嫦娥六号月球探测器的零部件质量 D. 了解某池塘中现有鱼的数量 2. 如图，笔直小路一侧栽种有两棵小树，，小明测得，，则点A到的距离可能为（ ） A. B. C. D. 3. 由，得，则的值可能是（ ） A 1 B. 0.5 C. 0 D. −1 4. 不等式的正整数解的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若一个数的相反数是，则这个数是 C. 若，则 D. 若一个数的立方根是它本身，则这个数一定是非负数 6. 设，当时，；当时，，则k，b的值分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. 1，0 D. ，6 7. 如图，轴，点，，则点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） 过点P画与已知直线l垂直的直线 过点P画与已知直线l相交的直线 过点P画与直线l平行的直线 ① ② ③ A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 9. 如图，在一个边长为10大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，数轴上点A，B对应的数分别为﹣1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数_____． 12. 如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为__________ 13. 刘老师从全校2000名学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分学生的答卷，并将结果统计后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则锻炼时长为小时的学生为__________人． 14. 如果点的坐标满足，那么称点P为“平等点”．若第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________ 15. 运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作． 如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是__________ 16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”， 在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点__________ 三、解答题：（本题共8小题，共72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）解方程组：． 18. 不等式组， （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 19. 已知：，，． （1）在直角坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）已知为轴上一点且与的面积相等，求点的坐标． 20. 在学习完部分统计知识后，某数学兴趣小组对本校九年级女生中考体育项目仰卧起坐的成绩做了随机抽样调查，兴趣小组搜集了该校40名女生的仰卧起坐个数： 35 49 45 49 49 37 43 45 41 41 42 42 44 41 43 49 48 50 48 52 41 41 48 41 49 37 43 45 50 48 39 49 45 43 49 49 48 52 47 42 （1）将抽样调查的40名女生的仰卧起坐个数（记为x）按组距为5将数据分组，列频数分布表，画出频数分布直方图； 分组 划记 频数 （2）根据频数分布表和频数分布直方图，分析数据的分布情况（写出两条信息即可）； （3）若该校共有1000名女生，请你估计仰卧起坐个数不小于40个的人数． 21. 随着人们环保意识的增强，油电混动汽车也成了广大消费者的宠儿，因为油电混动汽车既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶，若某型号油电混动汽车从甲地行驶，到乙地，纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费35元；纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费50元． （1）求该汽车行驶中每千米需要的电费和油费分别是多少元 （2）若该汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油、电费用合计不超过44元，求至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，已知，现有，且轴，另一边所在直线交OA于点P． （1）如图①，当点A，P，E在同一条直线上时，即点P与点E重合时，___________． （2）当点A，P，E不在同一条直线上时，请结合图②③分别求出的度数． 23. 规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： （1）已知，，，则是“关联线”的“坐标点”的 ． （2）若，是“关联线”“坐标点”，求，的值． （3）已知m，n是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分，考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解沂河的水质 B. 了解全国中学生的睡眠时间 C. 检测嫦娥六号月球探测器的零部件质量 D. 了解某池塘中现有鱼的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：．了解沂河的水质，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； ．了解全国中学生的睡眠时间，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； ．检测嫦娥六号月球探测器的零部件质量，适合进行全面调查，故本选项符合题意； ．了解某池塘中现有鱼的数量，适合进行抽样调查，故本选项不合题意； 故选：C． 2. 如图，笔直小路的一侧栽种有两棵小树，，小明测得，，则点A到的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得出结论． 【详解】根据垂线段最短，点到的距离， ∴点A到的距离可能为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，正确的理解题意是解题的关键． 3. 由，得，则的值可能是（ ） A. 1 B. 0.5 C. 0 D. −1 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵，x， 不等号的方向发生改变， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 不等式的正整数解的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解、无理数的估算等知识点，求得不等式的解集是解答本题的关键． 先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中确定正整数解的个数即可． 【详解】解：由可得：， ∵， ∴ ∴正整数解为：，有3个． 故选A． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若一个数的相反数是，则这个数是 C. 若，则 D. 若一个数的立方根是它本身，则这个数一定是非负数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题真假，根据相反数、绝对值、算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：A. 若，则，原命题错误； B. 若一个数的相反数是，则这个数是，正确； C. 若，则，原命题错误； D. 若一个数的立方根是它本身，则这个数是0或，原命题错误； 故选：B． 6. 设，当时，；当时，，则k，b的值分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. 1，0 D. ，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，把时，；当时，，代入，得出关和的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：当时，；当时，，代入得： 解得： 故选B． 7. 如图，轴，点，，则点N坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的平移，考查学生的几何直观，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点M向下平移3个单位即可求解． 【详解】解：由题意得，将点M向下平移3个单位，纵坐标为， ∴， 故选：B． 8. 按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） 过点P画与已知直线l垂直的直线 过点P画与已知直线l相交的直线 过点P画与直线l平行的直线 ① ② ③ A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 9. 如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先求出小正方形和大正方形的边长，再求出剩余部分的面积，再对无理数进行估算即可求解，掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵较小正方形的面积为9， ∴较小正方形的边长为3， ∵大正方形边长为10， ∴右边较大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积为， ∴新正方形的边长为， ∵，， ∴新正方形的边长最接近的整数为6， 故选：B． 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵2023、2024、2025、2026四个数中只有2025是5的倍数， ∴的值可能是2025． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，数轴上点A，B对应的数分别为﹣1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数_____． 【答案】（答案不唯一，无理数在﹣1与2之间即可） 【解析】 【分析】根据点C表示的数大于-1且小于2解答即可． 【详解】解：由C点可得此无理数应该在﹣1与2之间， 又∵1<<2， 故可以是， 故答案为（答案不唯一，无理数在﹣1与2之间即可）． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 12. 如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为__________ 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等和平行线的性质，根据对顶角相等得到的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 刘老师从全校2000名学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分学生的答卷，并将结果统计后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的，则锻炼时长为小时的学生为__________人． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图；用每天锻炼时长为1小时的学生人数除以所占的百分比求出抽取的学生总人数，然后用总人数减去其余各组的人数可得锻炼时长为小时的学生人数． 【详解】解：抽取的学生总人数为（人）， 则锻炼时长为小时的学生为（人）， 故答案为：85． 14. 如果点的坐标满足，那么称点P为“平等点”．若第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据题意可得，再由“平等点”的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3， ∴， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为． 故答案为： 15. 运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作． 如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键． 根据题意，先计算第一次，得到结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 第一次计算得：； 第二次计算得：； ∵如果程序操作进行了二次才停止，则有 解得：， ∴的取值范围是； 故答案为：． 16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”， 在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， 经过4次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：循环圈为， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组： （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用加减消元法即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ． 小问2详解】 ， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 原不等式组的解集为：． 18. 不等式组， （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），数轴见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法及无解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组无解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 19. 已知：，，． （1）在直角坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）已知为轴上一点且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）P（-6，0）或（10，0） 【解析】 【分析】（1）根据题意在平面直角坐标系中确定点A、B、C的位置，顺次连接即可求解； （2）作CD⊥x轴与D，利用割补法即可求解； （3）根据题意得△ABP的面积=4，求出PB=8，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图所示： （2）如图，作CD⊥x轴于D， 则S△ABC=S梯形OACD-S△OAB-S△BCD=(1+3)×4-×1×2-×2×3=8-1-3=4； （3）由题意可知△ABP的面积=×PB×OA=4， ∵OA=1， ∴PB=8， ∴P坐标为（-6，0）或（10，0）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，图形面积的求法等知识，熟知平面直角坐标系点的坐标的特点是解题关键，解第（3）题时要注意最后点P的坐标有两种情况，不要遗漏． 20. 在学习完部分统计知识后，某数学兴趣小组对本校九年级女生中考体育项目仰卧起坐的成绩做了随机抽样调查，兴趣小组搜集了该校40名女生的仰卧起坐个数： 35 49 45 49 49 37 43 45 41 41 42 42 44 41 43 49 48 50 48 52 41 41 48 41 49 37 43 45 50 48 39 49 45 43 49 49 48 52 47 42 （1）将抽样调查的40名女生的仰卧起坐个数（记为x）按组距为5将数据分组，列频数分布表，画出频数分布直方图； 分组 划记 频数 （2）根据频数分布表和频数分布直方图，分析数据的分布情况（写出两条信息即可）； （3）若该校共有1000名女生，请你估计仰卧起坐个数不小于40个的人数． 【答案】（1）见解析；见解析 （2）仰卧起坐个数位于组的人数最多；仰卧起坐个数位于组的人数最少（答案不唯一） （3）900人 【解析】 【分析】本题考查整理数据的过程和方法，频数分布表，频数分布直方图，从统计表和统计图中获取信息，用样本估计总体，掌握列频数分布表和画频数分布直方图的方法和步骤是解题的关键． （1）分组后，列出频数分布表，频数分布直方图即可； （2）根据频数分布表和频数分布直方图，写出两条数据的分布情况即可； （3）用样本中仰卧起坐个数不小于40个的人数的比例乘以1000即可． 【小问1详解】 解：∵组距为5， ∴分组如下：， 完成频数分布表，如下： 分组 划记 频数 4 14 18 4 画出频数分布直方图，如下： 【小问2详解】 解：根据题意得：仰卧起坐个数位于组的人数最多；仰卧起坐个数位于组的人数最少； 【小问3详解】 解：人， 即仰卧起坐个数不小于40个的人数为900人． 21. 随着人们环保意识的增强，油电混动汽车也成了广大消费者的宠儿，因为油电混动汽车既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶，若某型号油电混动汽车从甲地行驶，到乙地，纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费35元；纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费50元． （1）求该汽车行驶中每千米需要的电费和油费分别是多少元 （2）若该汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油、电费用合计不超过44元，求至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 【答案】（1）汽车行驶中每千米需要的电费是0.1元，每千米需要的油费是0.4元 （2）至少需要纯电模式下行驶120千米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设汽车行驶中每千米需要的电费是x元，每千米需要的油费是y元，根据“纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费35元；纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费50元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设汽车在纯电模式下行驶了m千米，则在纯油模式下行驶了千米，根据所需的油电费用合计不超过44元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 设汽车行驶中每千米需要的电费是x元， 每千米需要的油费是y元，则， 解之得 答：汽车行驶中每千米需要电费是0.1元，每千米需要的油费是0.4元． 【小问2详解】 设汽车用电行驶了m千米，则用油行驶了千米； 由题意得， 解之得． 答：至少需要纯电模式下行驶120千米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，已知，现有，且轴，另一边所在直线交OA于点P． （1）如图①，当点A，P，E在同一条直线上时，即点P与点E重合时，___________． （2）当点A，P，E不在同一条直线上时，请结合图②③分别求出的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，即可求解； （2）如图②，过点P作轴，可得轴，从而得到，即可；如图③，过点P作轴，可得轴，从而得到，即可． 【小问1详解】 解：∵轴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图②，过点P作轴， 图② ∵轴， ∴轴， ∴， ∴； 如图③，过点P作轴， 图③ ∵轴， ∴轴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 23. 规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： （1）已知，，，则是“关联线”的“坐标点”的 ． （2）若，是“关联线”的“坐标点”，求，的值． （3）已知m，n是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），的最小值为3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的非负性； （1）分别把，，代入进行验证即可； （2）把，分别代入，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组可得答案； （3）根据“关联线”定义求出，由已知得出，代入求得，然后根据算术平方根的非负性可得的最小值． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴不是“关联线”的“坐标点”； 把代入得：， ∴是“关联线”的“坐标点”； 把代入得：， ∴不是“关联线”的“坐标点”； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得， 解得：； 【小问3详解】 ∵是“关联线”的一个“坐标点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$