第十二章 分式和分式方程知识归纳与题型突破（单元重点复习 16类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十二章 分式和分式方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 二．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 三．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 四．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 五．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 六．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 七．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 八．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 九．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 十．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 十一．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 十二．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 十三．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 十四．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 十五．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 十六．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 十七．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 十八．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 十九．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 二十．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 03 题型归纳 题型一　分式的识别 例题：（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在，，，，，中分式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，，中，，，中分母是字母，属于分式，共3个， 故选：A． 巩固训练 1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式，其余都不是，故B正确． 故选：B． 2．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）在代数式中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，可以判断出题中六个代数式有个为分式，由此得出结论，解题的关键是正确理解分式的定义，形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式． 【详解】根据分式的定义可知：为分式，共个， 故选：． 题型二　分式有无意义的条件 例题：（2023上·湖南永州·八年级校联考期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，求解即可得到答案，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故选：D． 巩固训练 1．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____． 【答案】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键． 3．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键． 题型三　判断分式变形是否正确 例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答． 【详解】解：，故A正确； 与不一定相等，故B错误； 与不一定相等，故C错误； 当时，，故D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可. 【详解】解：A、，故本选项变形错误； B、，故本选项变形正确； C、，故本选项变形错误； D、，故本选项变形错误； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键. 2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 题型四　利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍 【答案】D 【分析】先用代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：用代替分式中的x、y得 ． 那么这个分式的值扩大2倍． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入． 巩固训练 1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解答． 【详解】解：根据题意，得： ， 即分式的值缩小到原来的， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的 【答案】A 【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答． 【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 题型五　最简分式 例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键． 巩固训练 1．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意； B、，故B不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故D不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(   ) ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式； 综上分析可知，最简分式有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因式的分式是最简分式． 题型六　最简公分母 例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论． 【详解】∵， ∴分式与的最简公分母是． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义即可解答． 【详解】解：分式、、的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式． 2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________ 【答案】 【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解即可． 【详解】解：的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 题型七　已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：等式整理得， ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解． 题型八　分式加减混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可； （2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可． 【详解】（1）解：， = = =1； （2）解： . 【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算； （2）分式的公分母为，先通分，在进行计算； （3）直接进行通分，在进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键． 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可； （3）把看成是一项，为，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可； （4）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 题型九　分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解． 【详解】． 【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：． 【答案】2 【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．（2023秋·八年级课时练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算； （2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题． 题型十　含乘方的分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案； （2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法； （2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法； （3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法； （4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可． 【详解】解：（1）原式=）=； （2）原式==1； （3）原式==； （4）原式==． 【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键． 题型十一　分式化简求值 例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 巩固训练 1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程． 【答案】， 【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形得，，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等知识是解题的关键． 2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中： 【答案】； 【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键． 题型十二　分式方程的定义 例题：（2023上·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 巩固训练 1．（2024上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误； B、，是一元一次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项错误； D、，是分式方程，正确． 故选：D． 2．（2024上·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 题型十三　解分式方程 例题：（2023上·广西桂林·八年级校考阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点． （1）方程两边同时乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答； （2）方程两边同时乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得： ， 检验：当时，， 原方程的解为：； （2）解： 方程两边同时乘以，得： ， 检验：当时，， 原方程的解为：． 巩固训练 1．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 2．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解后再检验即可得出答案； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 题型十四　解分式方程错解复原问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)五，没有对分式方程的根进行检验 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质； （2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：观察可知，上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验， 故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 【答案】(1)B (2)一；去分母时，第二项没有乘以 (3) 【分析】（1）在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， （2）第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， （3）根据解分式方程的方法，即可求解， 本题考查了，解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 【详解】（1）解：在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：B， （2）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， 故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以， （3）解： ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 题型十五　列分式方程 例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________． 【答案】 【分析】设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同列出方程即可． 【详解】解：设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关系式． 巩固训练 1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______． 【答案】 【分析】设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵， 根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程． 2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______． 【答案】 【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天， 根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 题型十六　分式方程的实际应用 例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆 【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可． 【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系． 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 【答案】今年龙虾的平均亩产量． 【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：今年龙虾的平均亩产量． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人 (2)有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资 【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人， 由题意得 ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴． 答：甲公司有150人，乙公司有180人． （2）解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得 ，整理得． 又因为，且、为正整数， 所以，． 答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 二．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 三．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 四．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 五．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 六．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 七．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 八．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 九．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 十．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 十一．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 十二．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 十三．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 十四．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 十五．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 十六．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 十七．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 十八．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 十九．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 二十．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 03 题型归纳 题型一　分式的识别 例题：（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在，，，，，中分式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）在代数式中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　分式有无意义的条件 例题：（2023上·湖南永州·八年级校联考期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 巩固训练 1．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____． 2．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义． 3．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________． 题型三　判断分式变形是否正确 例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 题型四　利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍 巩固训练 1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍 2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的 题型五　最简分式 例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(   ) ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六　最简公分母 例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______． 巩固训练 1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________ 题型七　已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________． 题型八　分式加减混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型九　分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级阶段练习）计算：． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：． 2．（2023秋·八年级课时练习）计算： (1)； (2)． 题型十　含乘方的分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 题型十一　分式化简求值 例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中． 巩固训练 1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程． 2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中： 题型十二　分式方程的定义 例题：（2023上·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 1．（2024上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 2．（2024上·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三　解分式方程 例题：（2023上·广西桂林·八年级校考阶段练习）解方程： (1) (2) 巩固训练 1．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）解方程： (1) (2) 2．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程： (1)； (2)． 题型十四　解分式方程错解复原问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 题型十五　列分式方程 例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________． 巩固训练 1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______． 2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______． 题型十六　分式方程的实际应用 例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$