第十二章 分式和分式方程易错训练（单元重点复习 6类易错）【单元速记】-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十二章 分式和分式方程易错训练 01 易错归纳 目录 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0】 1 易错题型二　整式与分式混合运算易错】 3 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 7 易错题型四　解分式方程不验根 10 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 15 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 17 02 易错题型 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（2024上·云南昭通·八年级统考期末）若分式，则x的值为（    ） A． B． C．1 D． 巩固训练 1．（2024上·广东云浮·八年级罗定中学校联考期末）分式的值为0，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 2．（2023上·内蒙古通辽·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（    ） A．2或 B．2 C． D．4 3．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）①当 时，分式有意义；②当 时，分式的值为0． 4．（2023秋·八年级单元测试）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 易错题型二　整式与分式混合运算易错 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 巩固训练 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 巩固训练 1．（2024·陕西西安·一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值． 2．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 3．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简，并从0，，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值． 易错题型四　解分式方程不验根 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1) ； (2)． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程： (1) (2) 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程无解，则的值为 ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 巩固训练 1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程易错训练 01 易错归纳 目录 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0】 1 易错题型二　整式与分式混合运算易错】 3 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 7 易错题型四　解分式方程不验根 10 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 15 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 17 02 易错题型 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（2024上·云南昭通·八年级统考期末）若分式，则x的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：D． 巩固训练 1．（2024上·广东云浮·八年级罗定中学校联考期末）分式的值为0，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵的值为0， ∴， 解得， 故选：D． 2．（2023上·内蒙古通辽·八年级统考期末）若分式的值为零，则的值是（    ） A．2或 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为零的条件，当分式的值为0时，分子为0，分母不为0，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：且，即 故选：C． 3．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）①当 时，分式有意义；②当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式为零的条件，根据分式有意义分母不为零，分式为零分子为零，分母不为零进行求解即可． 【详解】解：①分式有意义， ，即， ②分式的值为0， ， 得， 故答案为：①；②． 4．（2023秋·八年级单元测试）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或4或8 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可； （3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴， 解得：或； （2）∵分式值为0， ∴， 解得：； （3） ∵分式的值为整数， ∴或5或或， 解得：或8或2或， ∵且， ∴整数x的值为或4或8． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 易错题型二　整式与分式混合运算易错 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键； （1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）； ， ； （2） = ． 4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解决问题的关键． （1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案； （2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式乘法计算即可得到答案； （3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案； （4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， 由题意得，且， ∴时， 原式， ． 巩固训练 1．（2024·陕西西安·一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到且，据此得到，最后代值计算即可． 【详解】解； ， ∵分式有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 2．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 3．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ，， ，， 时，原式． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简，并从0，，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式＝1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算顺序是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 且， 当时，原式． 易错题型四　解分式方程不验根 例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程； （1）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案； （2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解； （2）解：方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的求解能力： （1）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； （2）方程两边同乘以得整式方程，再求解，检验即可； 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以得：， 解得，， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同乘以得： 解得，                经检验，是增根， ∴原方程无解 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （2）根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． （1）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解； （2）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，是增根， 原分式方程无解． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验． （1）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是增根，原分式方程无解； （2）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是原分式方程的根，原分式方程的解为． 【详解】（1）， 方程两边都乘， 得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解这个方程，得， 经检验： 是增根， 故原分式方程无解． （2）， 方程两边都乘， 得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 经检验：是原分式方程的根， 故原分式方程的解为：． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， ， ， 解得，， 经检验，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查解分式方程，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵原方程有增根，     ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得． 故答案为：3． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为，求出的值，然后把分式方程化为整式方程，再将的值代入整式方程，解关于的方程即可． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得：， 增根是， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：， 解得：， 故答案为：，． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查解分式方程和分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根为求解a值即可． 【详解】解：去分母，得：，则， ∵分式方程无解， ∴是分式方程的增根， ∴，则， 故答案为：6． 3．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 4．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2 【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可. 试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10. 因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2. 因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2. 点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 根据题意且 ∴ ∴ ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 巩固训练 1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得：，再根据其解的情况求解即可，注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， 化为整式方程为， 解得：． ∵该分式方程的解为正数， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把看作常数，根据分式方程的解法求出的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵分式方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵， ∴且，解得：且， 综上可知：且， 故答案为：且． 3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案． 【详解】分式两边都乘以，得， 得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴的值为1或2或3， ∴所有满足条件的整数a的值为2或或， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$