第十二章 分式和分式方程压轴训练（单元重点复习 6类压轴）【单元速记】-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十二章 分式和分式方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 1 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 2 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 5 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 10 压轴题型五　与分式有关的新定义型问题 14 压轴题型六　与分式运算的有关的新定义型问题 20 02 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____． 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________． 巩固训练 1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可） 2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________. 3．（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 4．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： (1)第4个等式是 ； (2)用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 2．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 3．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列各式规律． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ……… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ； (2)请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 压轴题型五　与分式有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． (3)拓展：若，求A、B的值． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 压轴题型六　与分式运算的有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)； (2)求分式的“等和积分式”； (3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ； ②用发现的规律解决问题： 若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 1 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 2 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 5 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 10 压轴题型五　与分式有关的新定义型问题 14 压轴题型六　与分式运算的有关的新定义型问题 20 02 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案. 【详解】解： 由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： 由①得： 由②得： 所以： x的取值范围是且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键. 2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____． 【答案】x＞-4且x≠0 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x+4＞0，x≠0， ∴x＞-4且x≠0． 故答案为：x＞-4且x≠0． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，注意此题中的x≠0． 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________． 【答案】或或 【分析】由表示一个负整数，m为整数，可得或或，进而可得答案． 【详解】解：因为表示一个负整数，m为整数， 所以或或， 所以或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出是4的负约数是解题关键． 巩固训练 1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可） 【答案】0或1（答案不唯一） 【分析】分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：∵， 若原分式的值为整数，那么 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； ∴或或0或1， 故答案为：0或1(答案不唯一) 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________. 【答案】7或9 【分析】根据分式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵的值为正整数， ∴或3， ∴整数的值为7或9， 故答案为：7或9． 【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键． 3．（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 4．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算； （1）根据前5个等式规律写出第6个等式； （2）根据前5个等式猜想出第个等式并验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）由题意可猜想得，第个等式为：， 证明： ， 第个等式为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： (1)第4个等式是 ； (2)用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查分式等式的规律，分式的加减混合运算，通过前3个等式找出等式分母的变化规律，是解题的关键． （1）根据规律直接得出 第④个等式； （2）根据规律可以得出第n个等式，然后利用分式的加减混合运算法则计算得出结果． 【详解】（1）； （2）由以上规律可知：， 证明：左边． 右边． ∵左边右边． ∴． 2．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【详解】（1）解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立； 故答案为：． 3．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列各式规律． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ……… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ； (2)请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)．证明见解析 【分析】本题考查了分式规律的探索，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）总结前4个分式的规律，即可得到答案； （2）根据（1）的规律，总结得到，再利用分式的混合运算，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第五个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）猜想，第个等式为． 证明：等式左边 ， 左边=右边， 等式成立． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程：解为第⑥个方程：解为 (2)第个方程：解为． 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 【详解】（1）解：①的解． ②的解． ③的解． ④的解 …… ①，②，③，④ （1）第⑤个方程：的解为 第⑥个方程：的解为 （2）解：第个方程：的解为 方程两边都乘得 解得 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． （3）根据等式的性质，变形为，即可求解． 【详解】（1）猜想关于x的方程的解是 故答案为：． （2）解： 变形得， ∴或 解得： （3）解： ∴ ∴ ∴或 解得：或 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键． （1）根据材料一的规律直接得出答案即可； （2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果； （3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可． 【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，， 故答案为：，； （2）根据材料二： ， ，即， ，， ， 故答案为：，； （3）， ，即， ，， 解得：． 压轴题型五　与分式有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ，即； ， 又是整式， 是“巧分式”． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． (3)拓展：若，求A、B的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解． （1）分别对各式化简，即可得出答案． （2）结合完全平方公式化简即可得出答案． （3）将原式化简，可得，进而可得，的值． 【详解】（1）解：， 故①是“和谐分式”； ， 是整式，不是分式， 故②不是“和谐分式”； ， 故③是“和谐分式”； ， 故④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2） ． 故答案为：． （3） ， ， ，． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或； (3)最小值为 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【详解】（1）由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3） ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 压轴题型六　与分式运算的有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)； (2)求分式的“等和积分式”； (3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ； ②用发现的规律解决问题： 若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①  ②， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，属于创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键． （1）根据“等和积分式”的定义进行判断； （2）设分式的“等和积分式”为A，由“等和积分式”的定义可得，由此可解； （3）①观察互为“等和积分式”中分子、分母的关系，可得答案；②利用规律写出的“等和积分式”，与比较，得出关于m，n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 分式与分式是“等和积分式”， 故答案为：是； （2）解：设分式的“等和积分式”为A，则， ， ， 即分式的“等和积分式”为； （3）解：①分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为M，则， ， ； ②由规律可得的“等和积分式”为， 与互为“等和积分式”， ， 由得：， 将代入，得：， 解得， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①；②． 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式” 故答案为：是； （2）解：设的“关联分式”为，则， ∴，即， ∴； （3）解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得， 解得． 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$