第十二章 分式和分式方程单元重点综合测试【单元速记】-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十二章 分式和分式方程单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 3．下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果   的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（    ） A． B． C． D． 6．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 11．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 12．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 14．已知,且，则为（　　） A． B． C． D． 15．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 16．已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（    ） A．1 B．9 C．3或9 D．1或7 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算： (1)； (2)． 21．解方程： (1) (2)． 22．先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； (3)请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 23．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． (1)求每件、奖品的单价； (2)学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 24．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)请写出第6个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 25．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 26．如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，直接根据分式的概念判断即可． 【详解】根据分式概念，、、的分母中不含字母，它们是整式，分母中含有字母，是分式， 故选：C． 2．分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：由题意知，最简公分母为， 故选：C． 3．下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、分子分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 4．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【详解】解：A，，变形错误； B，，变形错误； C，，变形正确； D，的分子和分母不能约分，，变形错误； 故选C． 5．如果   的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【详解】 解：   因为运算的结果为整式， 所以  中式子一定含有的单项式， 故只有B项符合． 故选：B． 6．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减法和乘法，以及分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意；     C、原式，不符合题意；     D、原式，符合题意．     故选：D． 8．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 9．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 10．对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的求值，根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 、当时，原式，故本选项不符合题意； 、， ∴当时，，即， 当时，无意义， 时，， 故本选项不符合题意； 、当时，越大，的值越接近于，故本选项符合题意； 故选：． 11．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 12．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，设6210元购买椽的数量为x株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：B． 13．分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 14．已知,且，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【详解】解：， ， ， ， 这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环， ， ． 故选C． 15．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 16．已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（    ） A．1 B．9 C．3或9 D．1或7 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的加减，结合已知条件列式并进行变形是解题的关键． 由题意列式可得，整理后可得，然后进行变形即可解答． 【详解】解：∵点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和， ∴, ， ∵的长为整数， ∴或9． 故选C． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程； （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可． 【详解】解：（1）分式方程的根是， ， 解得， 的值为； （2）①去分母得：， 当时，方程无解， ， ②当分式方程有增根， 或， 当时，， 当时，， ， 的值为； ， 若分式方程无解，的值为或． 19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据分式的乘方以及分式的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据分式的加减与除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 21．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解,然后再检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解,然后再检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：，解得：． 检验：把代入． ∴原方程的解为：． （2）解： 方程两边同时乘以，得：，解得：． 检验：把代入． ∴原方程无解． 22．先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； (3)请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 【答案】(1)①三，分式的基本性质；②一，添括号时括号里面的第二项没有变号 (2)，原式 (3)见解析 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握约分的依据以及分式的运算法则． （1）①根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案；②观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． （3）根据分式化简的步骤，写出对应的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意可知：①化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是：分式的基本性质； 故答案为：三，分式的基本性质； ②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：添括号时，括号里面的第二项没有变号． 故答案为∶一，添括号时，括号里面的第二项没有变号． （2）解： 当时，原式； （3）解：通分时若有常数项，要记得给常数项乘以最简公分母（答案不唯一）． 23．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． (1)求每件、奖品的单价； (2)学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 【答案】(1)奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件 (2)最多可购买50件奖品 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）先设购买件奖品，则购买件奖品，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， . 奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件； （2）解：设购买件奖品，则购买件奖品， 根据题意得： ， 解得， 最多可购买50件奖品. 24．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)请写出第6个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键． （1）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母、分子之间的关系发现：等式中分母为，等号左边分数分子为，等号右边分数分子为，即可解答； （2）左右两边分别计算，即可证明； 【详解】（1）解：将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母、分子之间的关系发现：等式中分母为，等号左边分数分子为，等号右边分数分子为， 故第n个等式为， 故第6个等式为， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：等式左边为， 等式右边为， 等式左边等于等式右边， 等式成立． 25．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义得到，即得，； （2）根据新定义得到，得到或，即得； （3）根据新定义得到，，得到． 【详解】（1）∵为“十字分式方程”， ∴， ，； 故答案为：，； （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴； （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴，， ∴． 26．如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 【答案】(1)是， (2)1 (3)①②或 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，分式求值，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义的法则，进行计算，判断即可； （2）根据新定义，推出，代入分式进行求解即可； （3）①根据新定义，进行求解即可；②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：是； ， ∴“信度值”； （2）由题意，得： ， ∴， ∴， ∴； （3）①由题意，得： ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴或， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$